Предел распределений

редактировать

В математике, особенно в теории обобщенных функций, предел последовательности distributions - это распределение, к которому приближается последовательность. Подходящим образом определенное количественно расстояние до ограничивающего распределения можно сделать сколь угодно малым, выбрав распределение достаточно далеко вдоль последовательности. Это понятие обобщает a; предел как распределение может существовать, когда предела функций нет.

Это понятие является частью обобщенной формы исчисления, основанного на понятии распределений, в отличие от классического исчисления, основанного на более узкой концепции функции.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Осцилляторный интеграл
4 См. также
5 Ссылки

Определение

Заданная последовательность распределений $fi {\ displaystyle f_ {i}}$ $f_{i}$ , его предел $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это распределение, задаваемое

f [φ] = lim i → ∞ fi [φ] {\ displaystyle f [\ varphi] = \ lim _ {i \ to \ infty} f_ {i} [\ varphi]}

{\ displaystyle f [\ varphi] = \ lim _ {i \ to \ infty} f_ {i} [\ varphi]}

для каждой тестовой функции $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ при наличии раздачи. Наличие ограничения $f {\ displaystyle f}$ $f$ означает, что (1) для каждого $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ предел последовательность чисел $fi [φ] {\ displaystyle f_ {i} [\ varphi]}$ ${\ displaystyle f_ {i} [\ varphi ]}$ существует и что (2) линейный функционал $f {\ displaystyle f}$ $f$ , определяемый приведенной выше формулой, является непрерывным по топологии на пространстве тестовых функций.

В более общем смысле, как и в случае с функциями, можно также рассматривать предел семейства распределений.

Примеры

Предел распределения может все еще существовать, когда классический предел отсутствует. Рассмотрим, например, функцию:

ft (x) = t 1 + t 2 x 2 {\ displaystyle f_ {t} (x) = {t \ over 1 + t ^ {2} x ^ {2} }}

f_ {t} (x) = {t \ over 1 + t ^ {2} x ^ {2}}

Поскольку интегрированием по частям

⟨ft, ϕ⟩ = - ∫ - ∞ 0 arctan ⁡ (tx) ϕ ′ (x) dx - ∫ 0 ∞ arctan ⁡ (tx) ϕ ′ (x) dx, {\ displaystyle \ langle f_ {t}, \ phi \ rangle = - \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ arctan (tx) \ phi '(x) \, dx- \ int _ { 0} ^ {\ infty} \ arctan (tx) \ phi '(x) \, dx,}

\langle f_{t},\phi \rangle =-\int _{-\infty }^{0}\arctan(tx)\phi '(x)\,dx-\int _{0}^{\infty }\arctan(tx)\phi '(x)\,dx,

имеем: $lim t → ∞ ⟨ft, ϕ⟩ = ⟨π δ 0, ϕ⟩ { \ displaystyle \ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ langle f_ {t}, \ phi \ rangle = \ langle \ pi \ delta _ {0}, \ phi \ rangle}$ $\ displaystyle \ lim _ {{t \ to \ infty}} \ langle f_ {t}, \ phi \ rangle = \ langle \ pi \ delta _ {0}, \ phi \ rangle$ . Таким образом, предел $ft {\ displaystyle f_ {t}}$ $f_{t}$ as $t → ∞ {\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ равен $π δ 0 {\ displaystyle \ pi \ delta _ {0}}$ $\ pi \ delta _ {0}$ .

Пусть $f (x + i 0) {\ displaystyle f (x + i0)}$ $f ( х + i0)$ обозначает предел распределения $f (x + iy) {\ displaystyle f (x + iy)}$ $f(x+iy)$ as $y → 0 + {\ displaystyle y \ to 0 ^ {+}}$ $y \ to 0 ^ {+}$ , если он существует. Распределение $f (x - i 0) {\ displaystyle f (x-i0)}$ $f ( x-i0)$ определяется аналогично.

Имеется

(x - i 0) - 1 - (x + i 0) - 1 = 2 π i δ 0. {\ displaystyle (x-i0) ^ {- 1} - (x + i0) ^ {- 1} = 2 \ pi i \ delta _ {0}.}

(x-i0) ^ {{- 1}} - (x + i0) ^ {{- 1}} = 2 \ pi i \ delta _ {0}.

Пусть $Γ N = [- N - 1/2, N + 1/2] 2 {\ displaystyle \ Gamma _ {N} = [- N-1/2, N + 1/2] ^ {2}}$ $\ Gamma _ {N} = [- N-1/2, N + 1/2] ^ {2}$ - прямоугольник с положительной ориентацией, с целым числом N. По формуле вычета ,

IN = def ∫ Γ N ϕ ^ (z) π cot ⁡ (π z) dz = 2 π i ∑ - NN ϕ ^ (n). {\ displaystyle I_ {N} {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {\ Gamma _ {N}} {\ widehat {\ phi}} (z) \ pi \ cot (\ pi z) \, dz = {2 \ pi i} \ sum _ {- N} ^ {N} {\ widehat {\ phi}} (n).}

{\ displaystyle I_ {N} {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {\ Gamma _ {N}} {\ widehat {\ phi} } (z) \ pi \ cot (\ pi z) \, dz = {2 \ pi i} \ sum _ {- N} ^ {N} {\ widehat {\ phi}} (n).}

С другой стороны,

∫ - RR ϕ ^ (ξ) π cot ⁡ (π ξ) d = ∫ - RR ∫ 0 ∞ ϕ (x) e - 2 π I x ξ dxd ξ + ∫ - RR ∫ - ∞ 0 ϕ (x) e - 2 π I x ξ dxd ξ = ϕ, детская кроватка ⁡ (⋅ - i 0) - детская кроватка ⁡ (⋅ - i 0)⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- R} ^ {R} {\ widehat { \ phi}} (\ xi) \ pi \ operatorname {cot} (\ pi \ xi) \, d = \ int _ {- R} ^ {R} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi ( x) e ^ {- 2 \ pi Ix \ xi} \, dx \, d \ xi + \ int _ {- R} ^ {R} \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ phi (x) e ^ {- 2 \ pi Ix \ xi} \, dx \, d \ xi \\ = \ langle \ phi, \ cot (\ cdot -i0) - \ cot (\ cdot -i0) \ rangle \ end { выровнено}}}

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- R} ^ {R} {\ widehat {\ phi}} (\ xi) \ pi \ operatorname {cot} (\ pi \ xi) \, d = \ int _ {- R} ^ {R} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi (x) e ^ {- 2 \ pi Ix \ xi} \, dx \, d \ xi + \ int _ { -R} ^ {R} \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ phi (x) e ^ {- 2 \ pi Ix \ xi} \, dx \, d \ xi \\ = \ langle \ phi, \ cot (\ cdot -i0) - \ cot (\ cdot -i0) \ rangle \ end {align}}}

Осциллирующий интеграл

См. также

Распределение (теория чисел)

Ссылки

Демейлли, комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия
Хёрмандер, Ларс, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Springer-Verlag