Теорема о пересекающихся аккордах

Связывает четыре отрезка линии, образованные двумя пересекающимися хордами с i в круге $|\; A\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; C\; |\; =\; |\; B\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; D\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; AS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SC\; |\; =\; |\; BS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SD\; |\}$ $|\; A\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; C\; |\; =\; |\; B\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; D\; |\; знак\; равно\; (г\; +\; d)\; \cdot \; (г\; -\; d)\; знак\; равно\; р\; 2\; -\; d\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; |\; AS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SC\; |\; =\; |\; BS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SD\; |\; \backslash \backslash \; =\; (\; r\; +\; d)\; \backslash \; cdot\; (rd)\; =\; r\; ^\; \{2\}\; -d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ $△\; ASD\; \sim \; △\; BSC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ASD\; \backslash \; sim\; \backslash \; треугольник\; BSC\}$

Теорема о пересекающихся аккордах или просто Теорема о хордах - это утверждение в элементарной геометрии, которое описывает отношение четырех отрезков прямых, созданных двумя пересекающимися хордами внутри круг. В нем говорится, что произведения длин отрезков на каждом хорде равны. Это предложение 35 книги 3 Элементов.

Евклида. Точнее, для двух хорд AC и BD, пересекающихся в точке S, выполняется следующее уравнение:

$|\; A\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; C\; |\; =\; |\; B\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; D\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; AS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SC\; |\; =\; |\; BS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SD\; |\}$

Верно и обратное, т. е. если для двух отрезков AC и BD, пересекающихся в S, справедливо приведенное выше уравнение, тогда их четыре конечные точки A, B, C и D лежат на общей окружности. Или, другими словами, если диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в S и удовлетворяют приведенному выше уравнению, то это циклический четырехугольник.

. Значение двух произведений в теореме о хорде зависит только от расстояния до точки пересечения. S от центра круга и называется абсолютным значением степени S, точнее можно сказать, что:

$|\; A\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; C\; |\; =\; |\; B\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; D\; |\; =\; r\; 2\; -\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; AS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SC\; |\; =\; |\; BS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SD\; |\; =\; r\; ^\; \{2\}\; -d\; ^\; \{2\}\}$

, где r - радиус окружности, а d - расстояние между центром окружности и точкой пересечения S. Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хорде к третьей хорде, проходящей через S и центр окружности M (см. рисунок).

Теорема может быть доказана с использованием подобных треугольников (с помощью теоремы о вписанном угле ). Рассмотрим углы треугольников ASD и BSC:

$\angle \; ADS\; =\; \angle \; BCS\; (вписанные\; углы\; над\; AB)\; \angle \; DAS\; =\; \angle \; CBS\; (вписанные\; углы\; над\; CD)\; \angle \; ASD\; =\; \angle \; BSC\; (противоположные\; углы)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровненный\}\; \backslash \; угол\; ADS\; =\; \backslash \; угол\; BCS\; \backslash ,\; (\{\backslash \; text\; \{вписанные\; углы\; над\; AB\}\})\; \backslash \backslash \backslash \; angle\; DAS\; =\; \backslash \; angle\; CBS\; \backslash ,\; (\{\backslash \; text\; \{вписанные\; углы\; над\; CD\}\})\; \backslash \backslash \backslash \; угол\; ASD\; =\; \backslash \; angle\; BSC\; \backslash ,\; (\{\backslash \; text\; \{противоположные\; углы\}\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это означает, что треугольники ASD и BSC похожи и, следовательно,

$ASSD\; =\; BSSC\; \iff \; |\; A\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; C\; |\; =\; |\; B\; S\; |\; \cdot \; |\; S\; D\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{AS\}\; \{SD\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{BS\}\; \{SC\}\}\; \backslash \; Leftrightarrow\; |\; AS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SC\; |\; =\; |\; BS\; |\; \backslash \; cdot\; |\; SD\; |\}$

Рядом с теорема о касательных и секущих и теорема о пересекающихся секущих теорема о пересекающихся хордах представляет собой один из трех основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности - степень теоремы о точке.

• Пол Глейстер: Теорема о пересекающихся аккордах: 30 лет спустя. Математика в школе, Vol. 36, No. 1 (январь 2007 г.), с. 22 (JSTOR )
• Брюс Шоуер: Исследования в геометрии. Мировая наука, 2010, ISBN 9789813100947, стр. 14
• Ганс Шупп: Элементаргеометрия. Шенинг, Падерборн 1977, ISBN 3-506-99189-2, p. 149 (немецкий).
• Schülerduden - Mathematik I. Bibliographisches Institut FA Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, стр. 415-417 (немецкий)

• Пересекающиеся аккорды Теорема на cut-the-knot.org
• Теорема о пересекающихся аккордах на proofwiki.org
• Вайсштейн, Эрик У. «Аккорда». MathWorld.
• Две интерактивные иллюстрации: [1] и [2pting