Индекс алгебры Ли

редактировать

В алгебре пусть g будет алгеброй Ли над полем K. Пусть дополнительно $ξ ∈ g ∗ {\ displaystyle \ xi \ in {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ $\ xi \ in {\ mathfrak {g} } ^ {*}$ будет одноформой на g . Стабилизатор gξалгебры ξ - это подалгебра Ли элементов из g, аннулирующих ξ в коприсоединенном представлении. Индекс алгебры Ли равен

ind ⁡ g: = min ξ ∈ g ∗ dim ⁡ g ξ. {\ displaystyle \ operatorname {ind} {\ mathfrak {g}}: = \ min \ limits _ {\ xi \ in {\ mathfrak {g}} ^ {*}} \ dim {\ mathfrak {g}} _ { \ xi}.}

{\ displaystyle \ operatorname {ind} {\ mathfrak {g}}: = \ min \ limits _ {\ xi \ in {\ mathfrak {g}} ^ {*}} \ dim {\ mathfrak {g}} _ {\ xi}.}

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Редуктивные алгебры Ли
- 1.2 Алгебра Ли Фробениуса
- 1.3 Алгебра Ли алгебраической группы
2 Ссылки

Примеры

Редуктивные алгебры Ли

Если g является редуктивным, то индекс g также является рангом g, потому что сопряженное и коприсоединенное представление изоморфны, а rk g - минимальная размерность стабилизатора элемента в g . Фактически это размерность стабилизатора любого регулярного элемента в g.

алгебре Ли Фробениуса

. Если ind g = 0, то g называется алгеброй Ли Фробениуса.. Это эквивалентно тому, что $K ξ: g ⊗ g → K: (X, Y) ↦ ξ ([X, Y]) {\ displaystyle K _ {\ xi} \ двоеточие {\ mathfrak {g \ otimes g}} \ to \ mathbb {K}: (X, Y) \ mapsto \ xi ([X, Y])}$ $K _ {\ xi} \ двоеточие {\ mathfrak {g \ otimes g}} \ to { \ mathbb {K}} :( X, Y) \ mapsto \ xi ([X, Y])$ неособое для некоторого ξ в g . Другое эквивалентное условие, когда g является алгеброй Ли алгебраической группы G, состоит в том, что g является Фробениусом тогда и только тогда, когда G имеет открытую орбиту в g в коприсоединенном представлении.

Алгебра Ли алгебраической группы

Если g является алгеброй Ли алгебраической группы G, то индекс g является степенью трансцендентности поля рациональных функций на g, которые инвариантны под действием G.

Ссылки

Это статья включает материал из указателя алгебры Ли на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.