Hofstadter points

В треугольнике геометрии, точка Хофштадтера - это особая точка, связанная с каждой плоскостью треугольник. На самом деле с треугольником связано несколько точек Хофштадтера. Все они являются центрами треугольников. Два из них, нулевая точка Хофштадтера и одна точка Хофштадтера, особенно интересны. Это два трансцендентных треугольных центра. Нулевая точка Хофштадтера - это центр, обозначенный как X (360), а точка после одной точки Хофста - это центр, обозначенный как X (359) в Энциклопедии треугольных центров Кларка Кимберлинга. Нулевая точка Хофштадтера была обнаружена Дугласом Хофштадтером в 1992 году.

• 1 Треугольники Хофштадтера
  • 1.1 Частный случай
  • 1.2 Трилинейные координаты вершин треугольников Хофштадтера
• 2 точки Хофштадтера
  • 2.1 Трилинейные координаты r-точки Хофштадтера
• 3 Нулевые и одноточечные точки Хофштадтера
• 4 Ссылки

Пусть ABC - заданный треугольник. Пусть r - положительная действительная константа.

Поверните отрезок BC вокруг B на угол rB к A, и пусть L BC будет отрезком, содержащим этот отрезок. Затем поверните отрезок BC вокруг C на угол rC к A. Пусть L 'BC будет отрезком, содержащим этот отрезок. Пусть прямые L BC и L 'BC пересекаются в точке A (r). Аналогично строятся точки B (r) и C (r). Треугольник, вершинами которого являются A (r), B (r), C (r), является r-треугольником Хофштадтера (или треугольником r-Хофштадтера) треугольника ABC.

Частный случай

• 1/3-треугольник Хофштадтера треугольника ABC - это первый треугольник Морли треугольника ABC. Треугольник Морли всегда является равносторонним треугольником.
• 1/2 треугольника Хофштадтера - это просто центр треугольника.

Трехлинейные координаты вершин треугольников Хофштадтера

Трилинейные координаты вершин r-треугольника Хофштадтера приведены ниже:

A (r) = (1, sin rB / sin (1 - r) B, sin rC / sin (1 - r) C)

B (r) = (sin rA / sin (1 - r) A, 1, sin rC / sin (1 - r) C)

C (r) = (sin rA / sin (1 - r) A, sin (1 - r) B / sin rB, 1)

Анимация, показывающая различные точки Хофштадтера. H 0 - нулевая точка Хофштадтера. H 1 - это одноточечная шкала Хофштадтера. Маленькая красная дуга в центре треугольника - это геометрическое место r-точек Хофштадтера для 0 < r < 1. This locus passes through the incenter I of the triangle.

. Для положительной действительной константы r>0 пусть A (r) B (r) C (r) будет Hofstadter r -треугольник треугольника ABC. Тогда прямые AA (r), BB (r), CC (r) параллельны. Точка совпадения - это r-точка Хофстдтера треугольника ABC.

Трилинейные координаты r-точки Хофштадтера

Трилинейные координаты r-точки Хофштадтера приведены ниже.

(sin rA / sin (A - rA), sin rB / sin (B - rB), sin rC / sin (C - rC))

Трилинейные координаты этих точек нельзя получить, подставляя значения 0 и 1 для r в выражения для трилинейных координат для r-точки Хофстдтера.

Нулевая точка Хофштадтера - это предел r-точки Хофштадтера, когда r приближается к нулю.

Одна точка Хофштадтера - это предел r-точки Хофштадтера, когда r приближается к единице.

Трилинейные координаты нулевой точки Хофштадтера

= lim r → 0 (sin rA / sin (A - rA), sin rB / sin (B - rB), sin rC / sin (C - rC))

= lim r → 0 (sin rA / r sin (A - rA), sin rB / r sin (B - rB), sin rC / r sin (C - rC))

= lim r → 0 (A sin rA / rA sin (A - rA), B sin rB / rB sin (B - rB), C sin rC / rC sin ( C - rC))

= (A / sin A, B / sin B, C / sin C)), поскольку lim r → 0 sin rA / rA = 1 и т. Д.

= (A / a, B / b, C / c)

Трилинейные координаты одной точки Хофштадтера

= lim r → 1 (sin rA / sin ( A - rA), sin rB / sin (B - rB), sin rC / sin (C - rC))

= lim r → 1 ((1 - r) sin rA / sin (A - rA), (1 - r) sin rB / sin (B - rB), (1 - r) sin rC / sin (C - rC))

= lim r → 1 ((1 - r) A sin rA / A sin (A - rA), (1 - r) B sin rB / B sin (B - rB), (1 - r) C sin rC / C sin (C - rC))

= (sin A / A, sin B / B, sin C / C)) как lim r → 1 (1 - r) A / sin (A - rA) = 1 и т. Д.

= (a / A, b / B, c / C)