Принцип максимума Хаусдорфа

редактировать

В математике принцип максимума Хаусдорфа является альтернативной и более ранней формулировкой Лемма Цорна доказана Феликсом Хаусдорфом в 1914 году (Moore 1982: 168). В нем говорится, что в любом частично упорядоченном множестве каждое полностью упорядоченное подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве.

Принцип максимума Хаусдорфа - одно из многих утверждений, эквивалентных аксиоме выбора над ZF (теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора). Этот принцип также называется теоремой Хаусдорфа о максимальности или леммой Куратовского (Kelley 1955: 33).

Содержание

1 Утверждение
2 Примеры
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Утверждение

Принцип максимума Хаусдорфа утверждает, что в любом частично упорядоченном множестве, каждое полностью упорядоченное подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве (полностью упорядоченном подмножестве, которое при любом увеличении не остается полностью упорядоченным). В общем, может быть много максимальных полностью упорядоченных подмножеств, содержащих данное полностью упорядоченное подмножество.

Эквивалентная форма принципа максимума Хаусдорфа состоит в том, что в каждом частично упорядоченном множестве существует максимальное полностью упорядоченное подмножество. Чтобы доказать, что это утверждение следует из исходного вида, пусть A - частично упорядоченное множество. Тогда $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ является полностью упорядоченным подмножеством A, следовательно, существует максимальное полностью упорядоченное подмножество, содержащее $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ , поэтому, в частности, A содержит максимальное вполне упорядоченное подмножество. В обратном направлении, пусть A - частично упорядоченное множество, а T - полностью упорядоченное подмножество A. Тогда

{S ∣ T ⊆ S ⊆ A и S полностью упорядочены} {\ displaystyle \ {S \ mid T \ substeq S \ substeq A {\ t_dv {и S полностью упорядочено}} \}}

\ { S \ mid T \ substeq S \ substeq A \ t_dv {и S полностью упорядочены} \}

частично упорядочено включением множества $⊆ {\ displaystyle \ substeq}$ $\ substeq$ , поэтому оно содержит максимальное полностью упорядоченное подмножество P. Тогда набор $M = ⋃ P {\ displaystyle M = \ bigcup P}$ $M = \ bigcup P$ удовлетворяет желаемым свойствам.

Доказательство эквивалентности принципа максимума Хаусдорфа лемме Цорна очень похоже на это доказательство.

Примеры

ПРИМЕР 1. Если A представляет собой любую совокупность множеств, отношение «является надлежащим подмножеством» является строгим частичным порядком на A. Предположим, что A - это совокупность всех круговых областей (внутренностей кругов) на плоскости. Одна максимальная полностью упорядоченная подгруппа A состоит из всех круговых областей с центрами в начале координат. Другая максимальная полностью упорядоченная подгруппа состоит из всех круговых областей, ограниченных окружностями, касающимися справа к оси y в начале координат.

ПРИМЕР 2. Если (x 0, y 0) и (x 1, y 1) равны две точки плоскости ℝ, определите (x 0, y 0) < (x1, y 1)

, если y 0 = y 1 и x 0< x1. Это частичное упорядочение, при котором две точки сравнимы, только если они лежат на одной и той же горизонтальной линии. Максимальные полностью упорядоченные множества - это горизонтальные линии в.

Ссылки

John Kelley (1955), Общая топология, Фон Ностранд.
Грегори Мур (1982), аксиома выбора Цермело, Спрингер.
Джеймс Манкрес (2000), Топология, Пирсон.

Внешние ссылки