Неравенство Гаусса

В теории вероятностей, неравенство Гаусса (или неравенство Гаусса ) дает верхнюю оценку на вероятности того, что унимодальный случайная величина лежит больше, чем любое заданное расстояние от его режима.

Пусть X - унимодальная случайная величина с режимом m, а τ  ² - ожидаемое значение ( X  -  m ) ². ( Τ  ² также может быть выражен в виде ( ц  -  т ) ²  +  σ  ², где μ и σ являются средним значением и стандартным отклонением от X ). Тогда для любого положительного значения к,

${\ Displaystyle \ Pr (| Xm |gt; k) \ leq {\ begin {cases} \ left ({\ frac {2 \ tau} {3k}} \ right) ^ {2} amp; {\ text {if}} k \ geq {\ frac {2 \ tau} {\ sqrt {3}}} \\ [6pt] 1 - {\ frac {k} {\ tau {\ sqrt {3}}}} и {\ text {если }} 0 \ leq k \ leq {\ frac {2 \ tau} {\ sqrt {3}}}. \ End {case}}}$

Теорема была впервые доказана Карлом Фридрихом Гауссом в 1823 году.

• Неравенство Высочанского – Петунина, аналогичный результат для расстояния от среднего, а не для моды
• Неравенство Чебышева касается расстояния от среднего без требования одномодальности
• Неравенство концентрации - сводка хвостовых границ случайных величин.

• Гаусс, CF (1823). "Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 5.
• Аптон, Грэм; Кук, Ян (2008). «Неравенство Гаусса». Статистический словарь. Издательство Оксфордского университета.
• Селлке, ТМ; Sellke, SH (1997). «Неравенства Чебышева для унимодальных распределений». Американский статистик. Американская статистическая ассоциация. 51 (1): 34–40. DOI : 10.2307 / 2684690. JSTOR   2684690.
• Пукельсхайм, Ф. (1994). «Правило трех сигм». Американский статистик. Американская статистическая ассоциация. 48 (2): 88–91. DOI : 10.2307 / 2684253. JSTOR   2684253.