Эластичность функции

В математике, эластичность или точечная эластичность положительной дифференцируемой функции f положительной переменной (положительный вход, положительный выход) в точке a определяется как

$E\; f\; (a)\; =\; af\; (a)\; f\; \prime \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; Ef\; (a)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{f\; (a)\}\}\; f\; \text{'}(a)\}$

$=\; lim\; x\; \to \; af\; (x)\; -\; f\; (a)\; x\; -\; aaf\; (a)\; =\; lim\; x\; \to \; af\; (x)\; -\; f\; (a)\; f\; (a)\; ax\; -\; a\; =\; lim\; x\; \to \; a\; 1\; -\; f\; (x)\; f\; (a)\; 1\; -\; xa\; \approx \%\; \Delta \; f\; (a)\%\; \Delta \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; a\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; -f\; (a)\}\; \{xa\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{f\; (a)\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; a\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{f\; (x)\; -f\; (a)\}\; \{f\; (a)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{xa\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; a\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; f\; (x)\}\; \{f\; (a)\}\}\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{a\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \%\; \backslash \; Delta\; f\; (a)\}\; \{\backslash \%\; \backslash \; Delta\; a\}\; \}\}$

или эквивалентно

$E\; f\; (x)\; =\; d\; log\; \; f\; (x)\; d\; log\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; Ef\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; log\; f\; (x)\}\; \{d\; \backslash \; log\; x\}\}.\}$

Таким образом, это отношение относительного (процентного) изменения в выходе функции $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$по отношению к относительному изменению входных данных $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$для бесконечно малых изменений от точки $(а,\; е\; (а))\; \{\backslash \; Displaystyle\; (а,\; е\; (а))\}$. Эквивалентно, это отношение бесконечно малого изменения логарифма функции по отношению к бесконечно малому изменению логарифма аргумента. Обобщения для случаев с несколькими входами и несколькими выходами также существуют в литературе.

Эластичность функции является постоянной $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$тогда и только тогда, когда функция имеет вид $f\; (x)\; =\; C\; x\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; Cx\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$для константы $C>0\; \{\backslash \; displaystyle\; C>0\}$.

Эластичность в точке - это предел эластичности дуги между двумя точками, поскольку расстояние между этими двумя точками приближается к нулю.

Концепция эластичности заключается в широко используется в экономике ; подробнее см. эластичность (экономика).

• 1 Правила
• 2 Оценка точечной эластичности
• 3 Полуэластичность
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Правила определения эластичности продуктов и коэффициентов проще, чем для деривативов. Пусть f, g дифференцируемы. Тогда

$E\; (f\; (x)\; \cdot \; g\; (x))\; =\; E\; f\; (x)\; +\; E\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (f\; (x)\; \backslash \; cdot\; g\; (x))\; =\; Ef\; (x)\; +\; Например,\; (x)\}$

$E\; f\; (x)\; g\; (x)\; =\; E\; f\; (x)\; -\; E\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; =\; Ef\; (x)\; -Eg\; (x)\}$

$E\; (f\; (x)\; +\; g\; (x))\; =\; f\; (x)\; \cdot \; E\; (f\; (x))\; +\; g\; (x)\; \cdot \; E\; (g\; (x))\; е\; (Икс)\; +\; г\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (е\; (х)\; +\; г\; (х))\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; (х)\; \backslash \; CDOT\; E\; (е\; (х))\; +\; г\; (х)\; \backslash \; CDOT\; E\; (g\; (x))\}\; \{f\; (x)\; +\; g\; (x)\}\}\}$

$E\; (f\; (x)\; -\; g\; (x))\; =\; f\; (x)\; \cdot \; E\; (f\; (x))\; -\; г\; (Икс)\; \cdot \; Е\; (г\; (Икс))\; е\; (Икс)\; -\; г\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (е\; (х)\; -g\; (х))\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; (х)\; \backslash \; CDOT\; E\; (е\; (x))\; -\; g\; (x)\; \backslash \; cdot\; E\; (g\; (x))\}\; \{f\; (x)\; -g\; (x)\}\}\}$

Производная может быть выражена в терминах эластичности как

$D\; f\; (Икс)\; знак\; равно\; Е\; е\; (Икс)\; \cdot \; е\; (Икс)\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; Df\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{Ef\; (x)\; \backslash \; cdot\; f\; (x)\}\; \{x\}\}\}$

Пусть а и b быть константами. Тогда

$E\; (a)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (a)\; =\; 0\; \backslash \}$

$E\; (a\; \cdot \; f\; (x))\; =\; E\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (a\; \backslash \; cdot\; f\; (x))\; =\; Ef\; (x)\}$,

$E\; (bxa)\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (bx\; ^\; \{a\})\; =\; a\; \backslash \}$.

В экономике ценовая эластичность спроса относится к эластичности функции спроса Q (P) и может быть выражена как (dQ / dP) / (Q (P) / P) или как отношение значение маргинальной функции (dQ / dP) до значения средней функции (Q (P) / P). Эта взаимосвязь обеспечивает простой способ определения, является ли кривая спроса эластичной или неэластичной в определенной точке. Во-первых, предположим, что кто-то следует обычному математическому соглашению о построении графика независимой переменной (P) по горизонтали и зависимой переменной (Q) по вертикали. Тогда наклон линии, касательной к кривой в этой точке, будет значением предельной функции в этой точке. Наклон луча , проведенного из исходной точки через точку, является значением средней функции. Если абсолютное значение наклона касательной больше, чем наклон луча, тогда функция упруга в точке; если наклон секущей больше, чем абсолютное значение наклона касательной, тогда кривая неэластична в этой точке. Если касательная линия продолжается до горизонтальной оси, проблема заключается просто в сравнении углов, образованных линиями и горизонтальной осью. Если краевой угол больше среднего угла, функция упруга в точке; если краевой угол меньше среднего угла, тогда функция неэластична в этой точке. Если, однако, следовать соглашению, принятому экономистами, и построить график независимой переменной P на вертикальной оси и зависимой переменной Q на горизонтальной оси, тогда будут применяться противоположные правила.

Та же графическая процедура может быть применена к функции снабжения или другим функциям.

Полуэластичность (или полуупругость) дает процентное изменение f (x) с точки зрения изменения (не процентного) x. Алгебраически полуэластичность S функции f в точке x равна

$S\; f\; (x)\; =\; 1\; f\; (x)\; f\; \prime \; (x)\; =\; d\; ln\; \; f\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; Sf\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\}\}\; f\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; f\; (x)\}\; \{dx\}\}\}$

Полуэластичность будет постоянной для экспоненциальных функций формы $f\; (x)\; =\; C\; \alpha \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; C\; \backslash \; alpha\; ^\; \{x\}\}$поскольку,

$ln\; \; f\; =\; ln\; \; C\; \alpha \; x\; =\; ln\; \; C\; +\; x\; ln\; \; \alpha \; ⟹\; d\; ln\; \; fdx\; =\; ln\; \; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \{f\}\; =\; \backslash \; ln\; \{C\; \backslash \; alpha\; ^\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; ln\; \{C\}\; +\; x\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; подразумевает\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; \{f\}\}\; \{dx\}\; \}\; =\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; alpha\}.\}$

Примером полуэластичности является модифицированная дюрация при торговле облигациями.

Термин «полуэластичность» также иногда используется для изменения, если f (x) в терминах процентного изменения x, которое будет

$df\; (x)\; d\; ln\; \; (x)\; =\; df\; (x)\; dxx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (x)\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (x)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (x)\}\; \{dx\}\}\; x\}$

• Эластичность дуги
• Эластичность (экономика)
• Однородная функция

• Нивергельт, Ив (1983). «Понятие эластичности в экономике». SIAM Обзор. 25 (2): 261–265. doi :10.1137/1025049.