Двойное число Мерсенна

редактировать

Двойные простые числа Мерсенна
Количество известных терминов	4
Предполагаемый нет. терминов	4
Первые термины	7, 127, 2147483647
Наибольший известный термин	170141183460469231731687303715884105727
OEIS индекс	A077586 a (n) = 2 ^ (2 ^ prime (n) - 1) - 1

В математике двойное число Мерсенна является числом Мерсенна формы

MM p = 2 2 p - 1-1 {\ displaystyle M_ {M_ {p}} = 2 ^ {2 ^ {p} -1} -1}

{\ displaystyle M_ {M_ {p}} = 2 ^ {2 ^ {p} -1} -1}

где p простое число.

Содержание

1 Примеры
2 Двойные простые числа Мерсенна
3 Гипотеза каталонского числа Мерсенна
4 В популярной культуре
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Примеры

Первые четыре члена последовательности двойных чисел Мерсенна (последовательность A077586 в OEIS ):

ММ 2 = M 3 = 7 {\ displaystyle M_ {M_ {2}} = M_ {3} = 7}

M_ {M_2} = M_3 = 7

MM 3 = M 7 = 127 {\ displaystyle M_ {M_ {3} } = M_ {7} = 127}

M_ {M_3} = M_7 = 127

MM 5 = M 31 = 2147483647 {\ displaystyle M_ {M_ {5}} = M_ {31} = 2147483647}

M_ {M_5} = M_ {31} = 2147483647

MM 7 = M 127 = 170141183460469231731687303715884105727 {\ displaystyle M_ {M_ {7}} = M_ {127} = 170141183460469231731687303715884105727}

M_ {M_7} = M_ {127} = 170141183460469231731687303715884105727

Двойные простые числа Мерсенна

Двойное число Мерсенна, которое является простым, называется двойным простым числом Мерсенна . Поскольку число Мерсенна M p может быть простым, только если p простое (см. простое число Мерсенна для доказательства), двойное число Мерсенна $MM p {\ displaystyle M_ { M_ {p}}}$ $M_ {M_p}$ может быть простым, только если M p само является простым числом Мерсенна. Для первых значений p, для которых M p простое число, $MM p {\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ , как известно, является простым для p = 2., 3, 5, 7, а явные факторы $MM p {\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ были найдены для p = 13, 17, 19 и 31.

$п {\ displaystyle p}$ $p$	$M p = 2 p - 1 {\ displaystyle M_ {p} = 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle M_ {p} = 2 ^ {p} -1}$	$MM p = 2 2 p - 1-1 {\ displaystyle M_ { M_ {p}} = 2 ^ {2 ^ {p} -1} -1}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {p}} = 2 ^ {2 ^ {p} -1} -1}$	факторизация $MM p {\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$
2	3	prime	7
3	7	prime	127
5	31	prime	2147483647
7	127	prime	170141183460469231731687303715884105727
11	непростое	непростое	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 ×...
13	8191	не простое число	338193759479 × 2102068267541811032070284156176228809... 102>	231733529 × 64296354767 ×...
19	524287	не простое число	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 82427157960287711450 8714150039 × 65997004087015989956123720407169 ×...
23	непростое	непростое	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 ×...
29	непростое	непростое	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 ×...
31	2147483647	не простое число	295257526626031 × 87054709261955177 × 241225571361518649... непростое	непростое
41	непростое	непростое
43	непростое	непростое
47	непростое	непростое
53	непростое	непростое
59	непростое	непростое
61	2305843009213693951	неизвестно

Таким образом, наименьший кандидат на следующее двойное простое число Мерсенна - $MM 61 {\ displaystyle M_ {M_ {61}}}$ $M_ {M_ {61}}$ , или 2 - 1. Будучи приблизительно 1,695 × 10, это число слишком велико для любого известного в настоящее время теста простоты. У него нет простого множителя меньше 4 × 10. Вероятно, не существует других двойных простых чисел Мерсенна, кроме четырех известных.

Наименьший простой множитель $ММ p {\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {p}}}$ (где p - n-е простое число):

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 8638863, 470172290, × 10) (последовательность A309130 в OEIS )

гипотеза числа Каталонии – Мерсенна

рекурсивно определенная последовательность

c 0 = 2 { \ displaystyle c_ {0} = 2}

{\ displaystyle c_ {0} = 2}

cn + 1 = 2 cn - 1 = M cn {\ displaystyle c_ {n + 1} = 2 ^ {c_ {n}} - 1 = M_ {c_ {n} }}

{\ displaystyle c_ {n + 1} = 2 ^ {c_ {n }} - 1 = M_ {c_ {n}}}

называется числами Каталонии – Мерсенна . Первые члены последовательности (последовательность A007013 в OEIS ):

c 0 = 2 {\ displaystyle c_ {0} = 2}

{\ displaystyle c_ {0} = 2}

c 1 = 2 2 - 1 = 3 {\ displaystyle c_ {1} = 2 ^ {2} -1 = 3}

{\ displaystyle c_ {1} = 2 ^ {2} - 1 = 3}

c 2 = 2 3 - 1 = 7 {\ displaystyle c_ {2} = 2 ^ {3} -1 = 7}

{\ displaystyle c_ {2} = 2 ^ {3} -1 = 7}

c 3 = 2 7 - 1 = 127 {\ displaystyle c_ {3} = 2 ^ {7} -1 = 127}

{\ displaystyle c_ {3} = 2 ^ {7} -1 = 127}

c 4 = 2 127 - 1 = 170141183460469231731687303715884105727 {\ displaystyle c_ {4} = 2 ^ {127} -1 = 170141183460469231731687303715884105727}

{\ displaystyle c_ {4} = 2 ^ {127} -1 = 170141183460469231731687303715884105727}

c 5 = 2 17014118346046923173168730371588410571660469231731687303715884105716604692317317316873037158841057166046923173173168730371588410571660410534 10365345 10365345 10365345 10365345 10365345 10365245 10365345_041894_5.48 {170141183460469231731687303715884105727} -1 \ приблизительно 5,454 \ раз 10 ^ {512175997193696818750060546250516349} \ приблизительно 10 ^ {10 ^ {37.7094}}}

{\ displaystyle c_ {5} = 2 ^ {170141183460469231731687303715884105727} -1 \ приблизительно 5,454 \ раз 10 ^ {51217599719369681875006054625051616349} \ приблизительно 10 ^ {10 ^ {37.7094}}}

Каталанец придумал эту последовательность после открытия примитивности $M 127 = c 4 {\ displaystyle M_ {127} = c_ {4}}$ ${\ displaystyle M_ {127} = c_ {4}}$ от Лукаса в 1876 году. Каталонцы предположили, что они просты «до определенного предела». Хотя первые пять членов являются простыми, никакие известные методы не могут доказать, что любые другие члены являются простыми (в любое разумное время) просто потому, что они слишком велики. Однако, если $c 5 {\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ не является простым, есть шанс обнаружить это, вычислив $c 5 {\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ по модулю некоторого малого простого числа $p {\ displaystyle p}$ $p$ (с использованием рекурсивного модульного возведения в степень ). Если результирующий остаток равен нулю, $p {\ displaystyle p}$ $p$ представляет коэффициент $c 5 {\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ и, таким образом, опровергает его первобытность. Поскольку $c 5 {\ displaystyle c_ {5}}$ ${\ displaystyle c_ {5}}$ является числом Мерсенна, такой простой множитель $p {\ displaystyle p}$ $p$ должен иметь вид $2 kc 4 + 1 {\ displaystyle 2kc_ {4} +1}$ ${\ displaystyle 2kc_ {4} +1}$ . Кроме того, поскольку $2 n - 1 {\ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ $2 ^ {n} -1$ является составным, когда $n {\ displaystyle n}$ $n$ является составным, открытие составного термина в последовательности исключает возможность любых дополнительных простых чисел в последовательности.

В массовой культуре

В фильме Футурама Зверь с миллиардом спины двойное число Мерсенна $ММ 7 {\ displaystyle M_ {M_ {7}}}$ $M_ {M_7}$ кратко рассматривается в «элементарном доказательстве гипотезы Гольдбаха ». В фильме это число известно как «марсианское простое число».

См. Также

Ссылки

Далее чтение

Диксон, LE (1971) [1919], История теории чисел, Нью-Йорк: Chelsea Publishing.

Внешние ссылки