Теорема Дуба – Мейера о разложении

редактировать

Теорема о разложении Дуба – Мейера - это теорема в стохастическом исчислении, устанавливающая условия, при которых субмартингал может быть разложен в уникальный как сумма мартингейла и возрастающего предсказуемого процесса. Он назван в честь Джозефа Л. Дуба и Пола-Андре Мейера.

Содержание

1 История
2 Супермартингалы класса D
3 Теорема
4 См. Также
5 Примечаний
6 Источники

История

В 1953 году Дуб опубликовал теорему о разложении Дуба, которая дает уникальное разложение для определенных мартингалов с дискретным временем. Он выдвинул гипотезу о версии теоремы для непрерывного времени и в двух публикациях в 1962 и 1963 годах Поль-Андре Мейер доказал такую теорему, которая стала известна как разложение Дуба-Мейера. В честь Дуба Мейер использовал термин «класс D» для обозначения класса супермартингалов, к которому применима его уникальная теорема разложения.

Супермартингалы класса D

A càdlàg супермартингейл $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ относится к классу D, если $Z 0 = 0 {\ displaystyle Z_ {0} = 0}$ $Z_ {0} = 0$ и коллекция

{ZT ∣ T конечное время остановки} {\ displaystyle \ {Z_ {T} \ mid T {\ text {конечное время остановки}} \}}

{\ displaystyle \ {Z_ {T} \ mid T {\ text {a конечное время остановки}} \}}

равномерно интегрируемо.

Теорема

Пусть $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ будет кадлагом субмартингалом класса D. Тогда существует единственный, возрастающий, предсказуемый процесс $A {\ displaystyle A}$ $A$ с $A 0 = 0 {\ displaystyle A_ {0} = 0}$ $A_ {0} = 0$ так, что $M t = Z t + A t {\ displaystyle M_ {t} = Z_ {t} + A_ {t}}$ ${\ displaystyle M_ {t} = Z_ {t} + A_ {t}}$ - равномерно интегрируемый мартингал.

См. Также

теорема о разложении Дуба

Примечания

Ссылки

Дуб, JL (1953). Случайные процессы. Wiley.
Мейер, Поль-Андре (1962). «Теорема разложения для супермартингалов». Иллинойсский журнал математики. 6 (2): 193–205. Цитата содержит пустые неизвестные параметры: | month =и | coauthors =()
Мейер, Пол-Андре (1963). «Разложение супермартингалов: теорема единственности». Иллинойсский журнал математики. 7 (1): 1–17. У цитаты есть пустые неизвестные параметры: | month =и | соавторы =()
Protter, Philip (2005). Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения. Springer-Verlag. Pp.. 107 –113. ISBN 3-540-00313-4.