Интеграция диска

Интеграция диска, также известная в интегральном исчислении как дисковый метод, представляет собой метод вычисления объема твердого тела вращения твердотельного материала при интегрировании вдоль оси, "параллельной" ось вращения. Этот метод моделирует полученную трехмерную форму в виде стопки из бесконечного числа дисков разного радиуса и бесконечно малой толщины. Также можно использовать те же принципы с кольцами вместо дисков («метод шайбы ») для получения полых тел вращения. Это отличается от интеграции оболочки, которая интегрируется вдоль оси, перпендикулярной оси вращения.

• 1 Определение
  • 1.1 Функция x
  • 1.2 Функция y
  • 1.3 Метод промывки
• 2 См. Также
• 3 Ссылки

Функция от x

Если функция, которую нужно повернуть, является функцией x, следующий интеграл представляет объем тела вращения:

$\pi \; \int \; ab\; R\; (x)\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; R\; (x)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dx\}$

где R (x) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения горизонтальна (пример: y = 3 или некоторая другая константа).

Функция от y

Если функция, которую нужно повернуть, является функцией y, следующий интеграл будет определять объем тела вращения:

$\pi \; \int \; cd\; R\; (y)\; 2\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{d\}\; R\; (y)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dy\}$

, где R (y) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения вертикальна (пример: x = 4 или некоторая другая константа).

Метод шайбы

Чтобы получить полое тело вращения («метод шайбы»), необходимо взять объем внутреннего тела вращения и вычесть его из объема внешнее твердое тело революции. Это можно вычислить с помощью одного интеграла аналогично следующему:

$\pi \; \int \; ab\; (RO\; (x)\; 2\; -\; RI\; (x)\; 2)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\}\; (x)\; ^\; \{2\}\; -R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{I\}\}\; (x)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\}$

где R O (x) - функция, которая наиболее удалена от оси вращения, а R I (x) - функция, которая находится ближе всего к оси вращения. Например, на следующем рисунке показано вращение по оси x красного «листа», заключенного между квадратным корнем и квадратичной кривыми:

Объем этого твердого тела:

$\pi \; \int \; 0\; 1\; ((x)\; 2\; -\; (x\; 2)\; 2)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,.\}$

Следует проявлять осторожность при оценке не квадрата разницы двух функций, а оценки разности квадратов двух функций.

$RO\; (x)\; 2\; -\; RI\; (x)\; 2\; \ne \; (RO\; (x)\; -\; RI\; (x))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\}\; (x)\; ^\; \{2\}\; -R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{I\}\}\; (x)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\}\; (x)\; -R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{I\}\}\; (x)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

(Эта формула работает только для оборотов вокруг оси x.)

Чтобы повернуть вокруг любой горизонтальной оси, просто вычтите из этой оси каждую формулу. Если h - значение горизонтальной оси, то объем равен

$\pi \; \int \; a\; b\; ((h\; -\; R\; O\; (x))\; 2\; -\; (h\; -\; R\; I\; (x))\; 2)\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (h-R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\}\; (x)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (h-R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{I\}\}\; (x)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,.\}$

Например, чтобы повернуть область между y = −2x + x и y = x вдоль оси y = 4, можно проинтегрировать следующим образом:

$\pi \; \int \; 0\; 3\; ((4\; -\; (-\; 2\; x\; +\; x\; 2))\; 2\; -\; (4\; -\; x)\; 2)\; dx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пи\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (4-\; \backslash \; left\; (-2x\; +\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; (4-x)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,.\}$

Границами интегрирования являются нули первого уравнения за вычетом второго. Обратите внимание, что при интегрировании по оси, отличной от x, график функции, которая находится дальше всего от оси вращения, может быть не таким очевидным. В предыдущем примере, даже несмотря на то, что график y = x относительно оси x расположен выше графика y = −2x + x, относительно оси вращения функция y = x является внутренняя функция: ее график ближе к y = 4 или уравнению оси вращения в примере.

То же самое можно применить как к оси Y, так и к любой другой вертикальной оси. Просто нужно решить каждое уравнение относительно x, прежде чем вставлять их в формулу интегрирования.

• Тело вращения
• Интеграция оболочки