Диофант II.VIII

Диофант II.VIII: пересечение линии CB и круга дает рациональную точку (x 0,y0).

Восьмая задача второй книги Арифметика Диофанта состоит в том, чтобы разделить квадрат на сумму двух квадратов.

• 1 Решение, данное Диофантом
• 2 Геометрическая интерпретация
• 3 Обобщение решения Диофанта
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Диофант принимает квадрат равным 16 и решает задачу следующим образом:

Разделить данный квадрат на сумму двух квадратов.

Разделить 16 на сумму двух квадратов.

Пусть первое слагаемое будет $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\}$, а значит, второе $16\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 16-x\; ^\; \{2\}\}$. Последний должен быть квадратом. Я формирую квадрат разности произвольного кратного x, уменьшенного на корень [of] 16, то есть уменьшенного на 4. Я формирую, например, квадрат 2x - 4. Это $4\; x\; 2\; +\; 16–16\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 4x\; ^\; \{2\}\; +\; 16-16x\}$. Я положил это выражение равным $16\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 16-x\; ^\; \{2\}\}$. Я прибавляю к обеим сторонам $x\; 2\; +\; 16\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 16x\}$и вычитаю 16. Таким образом я получаю $5\; x\; 2\; =\; 16\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 5x\; ^\; \{2\}\; =\; 16x\}$, следовательно, $x\; =\; 16/5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 16/5\}$.

Таким образом, одно число равно 256/25, а другое 144/25. Сумма этих чисел равна 16, и каждое слагаемое представляет собой квадрат.

Геометрически мы можем проиллюстрировать этот метод, нарисовав окружность x + y = 4 и линию y = 2x - 4. Тогда искомая пара квадратов будет x 0 и y 0, где (x 0, y 0) - точка не на оси y, где пересекаются линия и круг. Это показано на диаграмме рядом.

Диофант II.VIII: Обобщенное решение, в котором стороны треугольника OAB образуют рациональную тройку, если линия CB имеет рациональный градиент t.

Мы можем обобщить решение Диофанта для решения проблема для любого данного квадрата, который мы алгебраически представим как a. Кроме того, поскольку Диофант относится к произвольному кратному x, мы будем считать произвольное кратное tx. Тогда:

$(tx\; -\; a)\; 2\; =\; a\; 2\; -\; x\; 2\; \Rightarrow \; t\; 2\; x\; 2-2\; atx\; +\; a\; 2\; =\; a\; 2\; -\; x\; 2\; \Rightarrow \; x\; 2\; (t\; 2\; +\; 1)\; =\; 2\; atx\; \Rightarrow \; x\; =\; 2\; att\; 2\; +\; 1\; или\; x\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (tx-a)\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; t\; ^\; \{2\; \}\; x\; ^\; \{2\}\; -2atx\; +\; a\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; x\; ^\; \{2\}\; (t\; ^\; \{2\}\; +1)\; =\; 2atx\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2at\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \{\backslash \; text\; \{or\}\}\; x\; =\; 0.\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, мы находим, что одно из слагаемых: $x\; 2\; =\; (2\; att\; 2\; +\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{2at\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$, а второй - $(tx\; -\; a)\; 2\; =\; (a\; (t\; 2-1)\; t\; 2\; +\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (tx-a)\; ^\; \{2\; \}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{a\; (t\; ^\; \{2\}\; -1)\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$. Сумма этих чисел равна $a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\}$, и каждое слагаемое представляет собой квадрат. Геометрически мы пересекли окружность x + y = a с линией y = tx - a, как показано на диаграмме рядом. Записывая длины OB, OA и AB сторон треугольника OAB в виде упорядоченного кортежа, мы получаем тройку

$[a;\; 2\; а\; т\; т\; 2\; +\; 1;\; a\; (t\; 2\; -\; 1)\; t\; 2\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [a;\; \{\backslash \; frac\; \{2at\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\};\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (t\; ^\; \{2\}\; -1))\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right]\}$.

Конкретный результат, полученный Диофантом, может быть получен, если взять a = 4 и t = 2:

$[a;\; 2\; а\; т\; т\; 2\; +\; 1;\; a\; (t\; 2\; -\; 1)\; t\; 2\; +\; 1]\; =\; [20\; 5;\; 16\; 5;\; 12\; 5]\; =\; 4\; 5\; [5;\; 4;\; 3].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [a;\; \{\backslash \; frac\; \{2at\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\};\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (t\; ^\; \{2\}\; -1)\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{20\}\; \{5\}\};\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{5\}\};\; \{\backslash \; frac\; \{12\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{\; 5\}\}\; \backslash \; left\; [5;\; 4;\; 3\; \backslash \; right].\}$

Мы видим, что частное решение Диофанта на самом деле является тонко замаскированной (3, 4, 5) тройкой. Однако, поскольку тройка всегда будет рациональной, пока a и t рациональны, мы можем получить бесконечное количество рациональных троек, изменив значение t и, следовательно, изменив значение произвольного кратного x.

Этому алгебраическому решению требуется только один дополнительный шаг, чтобы прийти к платонической последовательности $[t\; 2\; +\; 1\; 2;\; т;\; t\; 2–1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; tfrac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{2\}\};\; t;\; \{\backslash \; tfrac\; \{t\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{2\}\}]\}$, то есть умножить все стороны тройки выше на коэффициент $t\; 2\; +\; 1\; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; tfrac\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{2a\}\}\}$. Также обратите внимание, что если a = 1, стороны [OB, OA, AB] уменьшаются до

$[1;\; 2\; т\; т\; 2\; +\; 1;\; т\; 2\; -\; 1\; т\; 2\; +\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [1;\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\};\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{t\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right].\}$

В современных обозначениях это просто $(1,\; sin\; \; \theta ,\; cos\; \; \theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; (1,\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta,\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta),\}$для θ, показанного на приведенном выше графике, записанного в терминах котангенса t θ / 2. В конкретном примере, приведенном Диофантом, t имеет значение 2, произвольный множитель x. После очистки знаменателей это выражение будет генерировать тройки Пифагора. Любопытно, что произвольный множитель x стал краеугольным камнем выражения (я) генератора.

Диофант II.IX достигает того же решения еще более быстрым путем, который очень похож на «обобщенное решение» выше. И снова задача состоит в том, чтобы разделить 16 на два квадрата.

Пусть первое число будет N, а второе - произвольным кратным N, уменьшенным на корень (из) 16. Например, 2N - 4. Тогда:

$N\; 2\; +\; (2\; N\; -\; 4)\; 2\; =\; 16\; \Rightarrow \; 5\; N\; 2\; +\; 16\; -\; 16\; N\; =\; 16\; \Rightarrow \; 5\; N\; 2\; =\; 16\; N\; \Rightarrow \; N\; =\; 16\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; N\; ^\; \{2\}\; +\; (\; 2N-4)\; ^\; \{2\}\; =\; 16\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; 5N\; ^\; \{2\}\; +\; 16-16N\; =\; 16\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; 5N\; ^\; \{2\}\; =\; 16N\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; N\; =\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{5\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Историческая справка: знаменитый комментарий Ферма, который позже стал Великой теоремой Ферма, оказывается зажатым между Quaestio VIII 'и' Quaestio IX 'на стр. 61 издания Arithmetica 1670 года.

• Великую теорему Ферма и Диофант II.VIII