Распределение Делапорта

Делапорте

Вероятностная функция масс . Когда $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$равны 0, распределение - Пуассон.. Когда $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$равно 0, распределение является отрицательным биномом.
Кумулятивная функция распределения . Когда $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$равны 0, распределение является пуассоновским.. Когда $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$равно 0, распределение является отрицательным биномом.
Параметр rs	$\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda>0\}$(фиксированное среднее) $\alpha ,\; \beta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta>0\}$(параметры среднего значения переменной)
Поддержка	$к\; \in \; \{0,\; 1,\; 2,\dots \}\; \{\backslash \; Displaystyle\; к\; \backslash \; в\; \backslash \; \{0,1,2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$
PMF	$\sum \; я\; =\; 0\; к\; \Gamma \; (\alpha \; +\; i)\; \beta \; я\; \lambda \; k\; -\; т.е.\; -\; \lambda \; \Gamma \; (\alpha )\; i!\; (1\; +\; \beta )\; \alpha \; +\; я\; (к\; -\; я)!\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +\; i)\; \backslash \; beta\; ^\; \{i\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{ki\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha)\; i!\; (1+\; \backslash \; beta)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; i\}\; (ki)!\}\}\}$
CDF	$\sum \; j\; =\; 0\; k\; \sum \; i\; =\; 0\; j\; \Gamma \; (\alpha \; +\; i)\; \beta \; я\; \lambda \; j\; -\; т.е.\; -\; \lambda \; \Gamma \; (\alpha )\; i!\; (1\; +\; \beta )\; \alpha \; +\; я\; (j\; -\; я)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +\; i)\; \backslash \; beta\; ^\; \{i\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{ji\; \}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha)\; i!\; (1+\; \backslash \; beta)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; i\}\; (ji)!\}\}\}$
Среднее	$\lambda \; +\; \alpha \; \beta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}$
Mode	$\{z,\; z\; +\; 1\; \{z\; \in \; Z\}:\; z\; =\; (\alpha \; -\; 1)\; \beta \; +\; \lambda \; \lfloor \; z\; \rfloor \; иначе\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; case\}\; z,\; z\; +\; 1\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \}:\; \backslash ;\; z\; =\; (\backslash \; alpha\; -1)\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \backslash \; lfloor\; z\; \backslash \; rfloor\; \{\backslash \; textrm\; \{иначе\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$
Дисперсия	$\lambda \; +\; \alpha \; \beta \; (1\; +\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; (1+\; \backslash \; beta)\}$
Асимметрия	См. #Properties
Пример. эксцесс	См. #Properties
MGF	$e\; \lambda \; (et\; -\; 1)\; (1\; -\; \beta \; (et\; -\; 1))\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; lambda\; (e\; ^\; \{t\}\; -1)\}\}\; \{(1-\; \backslash \; beta\; (e\; ^\; \{t\}\; -1))\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\}$

Распределение Делапорте является дискретным распределение вероятностей, которому уделялось внимание в актуарной науке. Его можно определить с помощью свертки отрицательного биномиального распределения с распределением Пуассона. Так же, как отрицательное биномиальное распределение можно рассматривать как распределение Пуассона, где средний параметр сам по себе является случайной величиной с гамма-распределением, распределение Делапорта можно рассматривать как составное распределение, основанное на распределении Пуассона, где есть два компонента среднего параметра: фиксированный компонент с параметром $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$и гамма- компонент с распределенной переменной, который имеет параметры $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$. Распределение названо в честь Пьера Делапорта, который проанализировал его в связи с количеством претензий по автокатастрофам в 1959 году, хотя в другой форме оно появилось еще в 1934 году в статье Рольфа фон Людерса, где оно было названо распределением Formel II. 137>Содержание

• 1 Свойства
• 2 Ссылки
• 3 Дополнительная литература
• 4 Внешние ссылки

асимметрия распределения Делапорте:

$\lambda \; +\; \alpha \; \beta \; (1\; +\; 3\; \beta \; +\; 2\; \beta \; 2)\; (\lambda \; +\; \alpha \; \beta \; (1\; +\; \beta ))\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; (1\; +\; 3\; \backslash \; beta\; +\; 2\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\})\}\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; (1+\; \backslash \; beta)\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\}\}$

Избыточный эксцесс распределения равен:

$\lambda \; +\; 3\; \lambda \; 2\; +\; \alpha \; \beta \; (1\; +\; 6\; \lambda \; +\; 6\; \lambda \; \beta \; +\; 7\; \beta \; +\; 12\; \beta \; 2\; +\; 6\; \beta \; 3\; +\; 3\; \alpha \; \beta \; +\; 6\; \alpha \; \beta \; 2\; +\; 3\; \alpha \; \beta \; 3)\; (\lambda \; +\; \alpha \; \beta \; (1\; +\; \beta ))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; +3\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; (1\; +\; 6\; \backslash \; lambda\; +6\; \backslash \; lambda\; \backslash \; beta\; +7\; \backslash \; beta\; +12\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; +6\; \backslash \; beta\; ^\; \{3\}\; +3\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; +6\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; +3\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; ^\; \{3\})\}\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; (1+\; \backslash \; be\; ta)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

• Murat, M.; Шинал, Д. (1998). «О моментах счета распределений, удовлетворяющих рекурсии k-го порядка, и их составных распределениях». Журнал математических наук. 92 (4): 4038–4043. DOI : 10.1007 / BF02432340. S2CID 122625458.