Цепные вращения Дэвенпорта

В физике и инженерии, Цепные вращения Давенпорта - это три связанных внутренних вращения вокруг фиксированных осей тела. Вращения Эйлера и вращения Тейта – Брайана являются частными случаями разложения общего вращения Давенпорта. Углы поворота называются углами Давенпорта, потому что общая проблема разложения вращения на последовательность из трех была впервые изучена Полом Б. Дэвенпортом.

Не ортогональная вращающаяся система координат может можно вообразить жестко прикрепленным к твердому телу. В этом случае ее иногда называют локальной системой координат. Поскольку оси вращения солидарны с движущимся телом, обобщенные вращения можно разделить на две группы (здесь x, y и z относятся к неортогональной подвижной системе отсчета):

Обобщенные вращения Эйлера

(zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy)

Обобщенные вращения Тейта – Брайана

(xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz).

Большинство случаев относятся к для второй группы, будучи обобщенными вращениями Эйлера, представляют собой вырожденный случай, когда первая и третья оси перекрываются.

• 1 Теорема Давенпорта о вращении
• 2 Полная система вращений
• 3 Цепные вращения Тейта – Брайана
• 4 Цепные вращения Эйлера
• 5 Преобразование во внешние вращения
• 6 Связь с физическими движения
  • 6.1 Внутренние вращения
  • 6.2 Внешние вращения
  • 6.3 Преобразование между внутренним и внешним вращениями
    • 6.3.1 Доказательство преобразования в случае предварительного умножения
• 7 См. также
• 8 Ссылки

Возможные оси Дэвенпорта для шагов 1 и 3 с учетом Z как шага 2

Общая проблема разложения вращения на три составных движения вокруг внутренних осей была изучена П. Дэвенпорт, под названием «обобщенные углы Эйлера », но позже эти углы были названы М. Шустером и Л. Маркли «углами Дэвенпорта».

Общая проблема состоит в получении матричное разложение вращения по трем известным осям. В некоторых случаях одна из осей повторяется. Эта проблема эквивалентна задаче разложения матриц.

Дэвенпорт доказал, что любая ориентация может быть достигнута путем составления трех элементарных вращений с использованием неортогональных осей. Повороты элементов могут происходить либо вокруг осей фиксированной системы координат (внешние вращения), либо вокруг осей вращающейся системы координат, которая изначально выровнена с фиксированной и изменяет свою ориентацию после каждого вращения элемента (собственное вращение).

Согласно теореме Дэвенпорта, уникальное разложение возможно тогда и только тогда, когда вторая ось перпендикулярна двум другим осям. Следовательно, оси 1 и 3 должны быть в плоскости, ортогональной оси 2.

Следовательно, разложения в цепных вращениях Эйлера и цепных вращениях Тейта – Брайана являются частными случаями этого. Случай Тейта – Брайана возникает, когда оси 1 и 3 перпендикулярны, а случай Эйлера появляется, когда они перекрываются.

Изображение 2: Самолет, покоящийся на плоскости

Набор поворотов Давенпорта считается завершенным, если его достаточно для создания любого вращения пространства по композиции. Выражаясь в терминах матрицы, он является полным, если может генерировать любую ортонормированную матрицу пространства, определитель которой равен +1. Из-за некоммутативности матричного произведения систему вращения необходимо заказывать.

Иногда порядок определяется геометрией основной проблемы. Например, при использовании для транспортных средств, у которых есть специальная ось, указывающая в направлении «вперед», полезна только одна из шести возможных комбинаций поворотов. Интересная композиция - это та, которая способна управлять курсом и углом возвышения самолета с одним независимым вращением каждый.

На соседнем чертеже композиция рыскания, тангажа и крена (YPR) позволяет регулировать направление самолета с двумя первыми углами. Другой состав, такой как YRP, позволил бы установить направление оси крыльев, что, очевидно, в большинстве случаев бесполезно.

Изображение 1: главные оси самолета

Вращения Тейта – Брайана являются частным случаем, в котором первая и третья оси перпендикулярны между их. Предполагая опорный кадр с условным обозначением , как на изображении 2, и плоскость с осями, как на изображении 1, лежащую горизонтально на плоскость в начале, после выполнения внутренних поворотов Y, P и R по осям рыскания, тангажа и крена (в этом порядке) мы получаем нечто похожее на изображение 3.

Изображение 3: Курс, высота и крен углы после рыскания, тангажа и крена вращений (Z-Y'-X «»)

в начале:

• оси самолета рулон по оси х опорного кадра
• ось тангажа самолета на оси у опорного кадра
• ось плоскости поворота вокруг вертикальной оси на оси г опорного кадра

повороты применяются для того, рыскания, тангажа и крена . В этих условиях курс (угол в горизонтальной плоскости) будет равен приложенному рысканью, а высота будет равна тангажу.

Матричные выражения для трех вращений Тейта – Брайана в трех измерениях:

$R\; x\; (\varphi )\; =\; R\; oll\; (\varphi )\; =\; [1\; 0\; 0\; 0\; cos\; \; \varphi \; -\; sin\; \; \varphi \; 0\; sin\; \; \varphi \; cos\; \; \varphi ]\; R\; y\; (\theta )\; =\; P\; itch\; (\theta )\; =\; [cos\; \; \theta \; 0\; sin\; \; \theta \; 0\; 1\; 0\; -\; sin\; \; \theta \; 0\; cos\; \; \theta ]\; R\; z\; (\psi )\; =\; Y\; aw\; (\psi )\; =\; [\; cos\; \; \psi \; -\; sin\; \; \psi \; 0\; sin\; \; \psi \; cos\; \; \psi \; 0\; 0\; 0\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{x\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Roll\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{y\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Pitch\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{z\}\; (\backslash \; psi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Yaw\}\; (\backslash \; psi)\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; psi\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; psi\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Матрица составленных поворотов составляет

$M\; =\; Y\; aw\; (\psi )\; P\; itch\; (\theta )\; R\; oll\; (\varphi )\; =\; R\; z\; (\psi )\; R\; y\; (\theta )\; R\; x\; (\varphi ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; M\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Yaw\}\; (\backslash \; psi)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{Pitch\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{Roll\}\; (\backslash \; phi)\; \backslash \backslash \; =\; R\_\; \{z\}\; (\backslash \; psi)\; R\_\; \{y\}\; (\backslash \; theta)\; R\_\; \{x\}\; (\backslash \; phi).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Из шести возможных комбинаций рысканья, тангажа и крена эта комбинация является единственной у которого курс (направление оси крена) равен одному из поворотов (рыскание), а высота (угол наклона оси крена с горизонтальной плоскостью) равна другому из поворотов (тангажу).

Начальное положение самолета для применения правильных углов Эйлера

вращения Эйлера появляются как частный случай, в котором первая и третья оси вращения перекрываются. Эти вращения Эйлера связаны с собственными углами Эйлера, которые, как считалось, изучали движение твердого тела, такого как планета. Угол, определяющий направление оси крена, обычно называется «долгота оси вращения» или «долгота линии узлов», а не «курс», что не имеет смысла для планеты.

В любом случае, вращение Эйлера все еще можно использовать, говоря о транспортном средстве, хотя оно будет иметь странное поведение. Так как вертикальная ось является началом углов, она называется «наклон», а не «высота». Как и раньше, при описании положения транспортного средства считается, что ось направлена ​​вперед, и поэтому будет полезна только одна из возможных комбинаций поворотов.

Комбинация зависит от того, как берется ось и каково начальное положение плоскости. Используя тот, что на чертеже, и комбинируя повороты таким образом, что ось повторяется, только крен – тангаж – крен позволит управлять долготой и наклоном с одним вращением каждое.

Три матрицы для умножения:

$R\; z\; (\varphi )\; =\; R\; oll\; 1\; (\varphi )\; =\; [cos\; \; \varphi \; -\; sin\; \; \varphi \; 0\; sin\; \; \varphi \; cos\; \; \varphi \; 0\; 0\; 0\; 1]\; R\; y\; (\theta )\; =\; P\; itch\; (\theta )\; =\; [cos\; \; \theta \; 0\; sin\; \; \theta \; 0\; 1\; 0\; -\; sin\; \; \theta \; 0\; cos\; \; \theta ]\; R\; z\; (\psi )\; =\; R\; oll\; 2\; (\psi )\; =\; [cos\; \; \psi \; -\; sin\; \; \psi \; 0\; sin\; \; \psi \; cos\; \; \psi \; 0\; 0\; 0\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\_\; \{z\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Roll\}\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{y\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Pitch\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{z\}\; (\backslash \; psi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Roll\}\; \_\; \{2\}\; (\; \backslash \; psi)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; psi\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; psi\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\; \}$

В этом соглашении Roll 1 определяет «курс», Pitch - это «наклон» (дополняющий высоту), а Roll 2 накладывает «наклон».

Вращение, представленное углами Эйлера (α, β, γ) = (−60 °, 30 °, 45 °), с использованием внутренних вращений z-x'-z ″ То же вращение, представленное (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), с использованием внешних вращений zxz

вращения Давенпорта обычно изучаются как внутренняя композиция вращения из-за важности оси прикреплены к движущемуся телу, но они могут быть преобразованы во внешнюю композицию вращения, если она может быть более интуитивной.

Любое внешнее вращение эквивалентно внутреннему вращению на те же углы, но с инвертированным порядком вращения элементов, и наоборот. Например, собственные повороты x-y’-z ″ на углы α, β, γ эквивалентны внешним поворотам z-y-x на углы γ, β, α. Оба представлены матрицей

$R\; =\; X\; (\alpha )\; Y\; (\beta )\; Z\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; X\; (\backslash \; alpha)\; Y\; (\backslash \; beta)\; Z\; (\backslash \; gamma)\}$

, если R равно используется для предварительного умножения векторов-столбцов и на матрицу

$R\; =\; Z\; (\gamma )\; Y\; (\beta )\; X\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; Z\; (\backslash \; gamma)\; Y\; (\backslash \; beta)\; X\; (\backslash \; alpha)\}$

, если R используется для последующего умножения векторов-строк. Подробнее см. Неоднозначность в определении матриц вращения.

Собственные вращения

Собственные вращения - это вращения элементов, которые происходят вокруг осей вращающейся системы координат XYZ, которая меняет свою ориентацию после каждого вращения элемента. Система XYZ вращается, а xyz фиксируется. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz, композиция из трех собственных вращений может использоваться для достижения любой целевой ориентации для XYZ. Углы Эйлера или Тейта-Брайана (α, β, γ) представляют собой амплитуды этих вращений элементов. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

• Система XYZ вращается на α вокруг оси Z (которая совпадает с осью z). Ось X теперь лежит на линии узлов.
• Система XYZ вращается вокруг теперь повернутой оси X на β. Ось Z теперь находится в своей окончательной ориентации, а ось X остается на линии узлов.
• Система XYZ вращается в третий раз вокруг новой оси Z на γ.

Вышеупомянутый обозначение позволяет нам резюмировать это следующим образом: три элементарных вращения XYZ-системы происходят вокруг z, x 'и z ″. Действительно, эту последовательность часто обозначают z-x’-z ″. Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта-Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. Выше). Иногда ту же последовательность просто называют z-x-z, Z-X-Z или 3-1-3, но это обозначение может быть неоднозначным, поскольку оно может быть идентично тому, что используется для внешних вращений. В этом случае возникает необходимость отдельно указать, являются ли вращения внутренними или внешними.

Матрицы вращения могут использоваться для представления последовательности собственных вращений. Например,

$R\; =\; X\; (\alpha )\; Y\; (\beta )\; Z\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; X\; (\backslash \; alpha)\; Y\; (\backslash \; beta)\; Z\; (\backslash \; gamma)\}$

представляет собой композицию собственных вращений относительно осей x-y'-z ″, если используется для предварительного умножения векторов-столбцов, тогда как

$R\; =\; Z\; (\gamma )\; Y\; (\beta )\; X\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; Z\; (\; \backslash \; gamma)\; Y\; (\backslash \; beta)\; X\; (\backslash \; alpha)\}$

представляет точно такую ​​же композицию при использовании для последующего умножения векторов-строк. См. Неоднозначность в определении матриц вращения для более подробной информации.

Внешние вращения

Внешние вращения - это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей фиксированной системы координат xyz. Система XYZ вращается, а xyz фиксируется. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz, композиция из трех внешних вращений может использоваться для достижения любой целевой ориентации для XYZ. Углы Эйлера или Тейта-Брайана (α, β, γ) представляют собой амплитуды этих вращений элементов. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

• Система XYZ вращается вокруг оси z на α. Ось X теперь находится под углом α по отношению к оси x.
• Система XYZ снова вращается вокруг оси x на β. Ось Z теперь находится под углом β по отношению к оси z.
• Система XYZ поворачивается в третий раз вокруг оси z на γ.

В итоге, три вращения элемента происходят вокруг z, x и z. Действительно, эту последовательность часто обозначают z-x-z (или 3-1-3). Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта – Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. Выше).

Матрицы вращения могут использоваться для представления последовательности внешних вращений. Например,

$R\; =\; Z\; (\gamma )\; Y\; (\beta )\; X\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; Z\; (\backslash \; gamma)\; Y\; (\backslash \; beta)\; X\; (\backslash \; alpha)\}$

представляет собой композицию внешних вращений относительно осей xyz, если используется для предварительного умножения векторов-столбцов, а

$R\; =\; X\; (\alpha )\; Y\; (\beta )\; Z\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; X\; (\backslash \; alpha)\; Y\; (\backslash \; beta)\; Z\; (\backslash \; gamma)\}$

представляет точно такую ​​же композицию при использовании для последующего умножения векторов-строк. См. Неоднозначность в определении матриц вращения для получения более подробной информации.

Преобразование между внутренним и внешним вращением

Вращение, представленное углами Эйлера (α, β, γ) = (-60 °, 30 °, 45 °), с использованием внутренних z-x'-z ″ вращения То же вращение, представленное как (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), с использованием внешних вращений zxz

Любое внешнее вращение эквивалентно собственному вращению на те же углы, но с обратным порядком вращения элементов, и наоборот. Например, собственные повороты x-y’-z ″ на углы α, β, γ эквивалентны внешним поворотам z-y-x на углы γ, β, α. Оба представлены матрицей

$R\; =\; X\; (\alpha )\; Y\; (\beta )\; Z\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; X\; (\backslash \; alpha)\; Y\; (\backslash \; beta)\; Z\; (\backslash \; gamma)\}$

, если R равно используется для предварительного умножения векторов-столбцов и на матрицу

$R\; =\; Z\; (\gamma )\; Y\; (\beta )\; X\; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; Z\; (\backslash \; gamma)\; Y\; (\backslash \; beta)\; X\; (\backslash \; alpha)\}$

, если R используется для последующего умножения векторов-строк. См. Неоднозначность в определении матриц вращения для получения более подробной информации.

Доказательство преобразования в случае предварительного умножения

Матрица вращения внутренней последовательности вращения x-y'-z ″ может быть получена последовательным внутренним вращением элементов справа слева:

$R\; =\; Z\; ″\; Y\; \prime \; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; Z\text{'}\text{'}Y\text{'}X.\}$

В этом процессе есть три кадра, связанных внутренней последовательностью вращения. Обозначим кадр 0 как начальный кадр, кадр 1 после первого поворота вокруг оси x, кадр 2 после второго поворота вокруг оси y ’и кадр 3 как третий поворот вокруг оси z ″.

Поскольку среди этих трех кадров может быть представлена ​​матрица вращения, давайте использовать индекс левого плеча для обозначения кадра представления. Следующие обозначения означают матрицу вращения, которая преобразует кадр a в кадр b и которая представлена ​​в кадре c:

$c\; R\; a\; \to \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{c\}\; \backslash !\; R\_\; \{a\; \backslash \; rightarrow\; b\}.\}$

Внутренняя матрица вращения элемента, представленная в том кадре, где происходит поворот, имеет то же значение, что и соответствующая матрица вращения внешнего элемента:

$0\; R\; 1\; \to \; 0\; =\; X,\; 1\; R\; 2\; \to \; 1\; =\; Y,\; 2\; R\; 3\; \to \; 2\; =\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{0\}\; \backslash !\; R\_\; \{1\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; =\; X,\; \backslash \; quad\; \{\}\; ^\; \{1\}\; \backslash !\; R\_\; \{2\; \backslash \; rightarrow\; 1\}\; =\; Y,\; \backslash \; quad\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; !\; R\_\; \{3\; \backslash \; rightarrow\; 2\}\; =\; Z.\}$

Внутренняя матрица вращения элементов Y 'и Z ″, представленная в кадре 0, может быть выражена в других формах:

$Y\; \prime \; =\; 0\; R\; 2\; \to \; 1\; =\; 0\; R\; 1\; \to \; 0\; 1\; R\; 2\; \to \; 1\; 0\; R\; 1\; \to \; 0\; -\; 1\; =\; XYX\; -\; 1\; Z\; ″\; =\; 0\; R\; 3\; \to \; 2\; =\; 0\; R\; 1\; \to \; 0\; 1\; R\; 3\; \to \; 2\; 0\; R\; 1\; \to \; 0\; -\; 1\; =\; X\; (1\; R\; 2\; \to \; 1\; 2\; R\; 3\; \to \; 2\; 1\; R\; 2\; \to \; 1\; -\; 1)\; X\; -\; 1\; =\; XYZY\; -\; 1\; X\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Y\; \text{'}=\; \{\}\; ^\; \{0\}\; \backslash !\; R\_\; \{\; 2\; \backslash \; rightarrow\; 1\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\}\; ^\; \{0\}\; \backslash !\; R\_\; \{1\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\}\; ^\; \{1\}\; \backslash !\; R\_\; \{2\; \backslash \; rightarrow\; 1\}\; \{\}\; ^\; \{0\}\; \backslash !\; R\_\; \{1\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \backslash \; =\; XYX\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \backslash \; Z\; \text{'}\text{'}\; =\; \{\}\; ^\; \{0\}\; \backslash !\; R\_\; \{3\; \backslash \; rightarrow\; 2\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\}\; ^\; \{0\; \}\; \backslash !\; R\_\; \{1\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\}\; ^\; \{1\}\; \backslash !\; R\_\; \{3\; \backslash \; rightarrow\; 2\}\; \{\}\; ^\; \{0\}\; \backslash !\; R\_\; \{1\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; \backslash \; left\; (\{\}\; ^\; \{1\}\; \backslash !\; R\_\; \{2\; \backslash \; rightarrow\; 1\}\; \{\}\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; R\_\; \{3\; \backslash \; rightarrow\; 2\}\; \{\}\; ^\; \{1\}\; \backslash !\; R\_\; \{2\; \backslash \; rightarrow\; 1\}\; ^\; \{\; -1\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \backslash \; =\; XYZY\; ^\; \{-\; 1\}\; X\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Два приведенных выше уравнения заменяются на первое уравнение:

$R\; =\; Z\; ″\; Y\; \prime \; X\; =\; (XYZY\; -\; 1\; X\; -\; 1)\; (XYX\; -\; 1)\; X\; =\; XYZY\; -\; 1\; (X\; -\; 1\; X)\; Y\; (X\; -\; 1\; X)\; =\; XYZ\; (Y\; -\; 1\; Y)\; =\; XYZ\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\; =\; Z\text{'}\text{'}Y\text{'}X\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (XYZY\; ^\; \{-\; 1\}\; X\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; влево\; (XYX\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; вправо)\; X\; \backslash \backslash \; =\; XYZY\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; влево\; (X\; ^\; \{-\; 1\}\; X\; \backslash \; вправо)\; Y\; \backslash \; влево\; (X\; ^\; \{-\; 1\}\; X\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; XYZ\; \backslash \; left\; (Y\; ^\; \{-\; 1\}\; Y\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; XYZ\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, матрица вращения внутренней последовательности вращения элементов такая же, как последовательность обратной последовательности вращения внешнего элемента:

$R\; =\; Z\; ″\; Y\; \prime \; X\; =\; XYZ.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; Z\text{'}\text{'}Y\text{'}X\; =\; XYZ.\}$

• Разложение матрицы
• Вращение Гивенса