Десятиугольное число по центру

A десятиугольное число по центру - это центрированное фигурное число, которое представляет десятиугольник с точкой в ​​центре и всеми другими точками, окружающими центральную точку в последовательных десятиугольных слоях. Центрированное десятиугольное число для n определяется по формуле

$5\; n\; 2\; +\; 5\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 5n\; ^\; \{2\}\; +\; 5n\; +\; 1\; \backslash ,\}$

Таким образом, первые несколько центрированных десятиугольных чисел

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051,... (последовательность A062786 в OEIS )

Как и любое другое центрированное k-угольное число, n-е центрированное десятиугольное число можно рассчитать, умножив (n - 1) -ое треугольное число на k, 10 в этом случай, а затем прибавление 1. В результате выполнения вычислений по основанию 10 центрированные десятиугольные числа могут быть получены простым добавлением 1 справа от каждого треугольного числа. Следовательно, все центрированные десятиугольные числа нечетные, а в десятиугольном порядке всегда конец на 1.

Другим следствием этого отношения к треугольным числам является простое рекуррентное соотношение для центрированных десятиугольных чисел:

$CD\; n\; +\; 1\; =\; CD\; n\; +\; 10\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; CD\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; CD\_\; \{n\}\; +\; 10n,\}$

, где

$CD\; 1\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; CD\_\; \{1\}\; =\; 1.\}$

• [обыкновенное] десятиугольное число