Номер куба с центрированием

35 точек в объемно-центрированной кубической решетке, образующих два кубических слоя вокруг центральной точки

A номер куба с центрированием - это центрированное фигурное число, которое подсчитывает количество точек в трехмерном шаблоне, образованном точкой, окруженной концентрическими кубическими слоями точек, с i точек на квадратных гранях i-го слоя. Эквивалентно, это количество точек в массиве с центрированным кубом внутри куба, у которого есть n + 1 точка вдоль каждого из его краев.

Первые несколько чисел в центрированном кубе:

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009.,... (последовательность A005898 в OEIS ).

• 1 Формулы
• 2 Свойства
• 3 См. также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Число центрированного куба для узора с n концентрическими слоями вокруг центральной точки определяется формулой

$n\; 3\; +\; (n\; +\; 1)\; 3\; =\; (2\; n\; +\; 1)\; (\; n\; 2\; +\; n\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{3\}\; +\; (n\; +\; 1)\; ^\; \{3\}\; =\; (2n\; +\; 1)\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; +\; n\; +\; 1\; \backslash \; right).\}$

Это же число также может быть выражено как трапециевидное число (разность двух треугольных чисел ) или как сумма последовательных чисел, как

$((n\; +\; 1)\; 2\; +\; 1\; 2)\; -\; (N\; 2\; +\; 1\; 2)\; знак\; равно\; (N\; 2\; +\; 1)\; +\; (N\; 2\; +\; 2)\; +\; \cdots \; +\; (N\; +\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{(n\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{2\}\}\; =\; (n\; ^\; \{2\}\; +1)\; +\; (n\; ^\; \{2\}\; +2)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (n\; +\; 1)\; ^\; \{2\}.\}$

Из-за факторизации (2n + 1) (n + n + 1) число центрированного куба не может быть простое число. Единственное число центрированного куба, которое также является квадратным числом, равно 9, что можно показать, решив 2n + 1 = n + n + 1.

• Число куба

• Вайсштейн, Эрик У. «Число центрированного куба». MathWorld.