Теория множеств Аккермана

редактировать

Теория множеств Аккермана- это версия аксиоматической теории множеств, предложенная Вильгельмом Аккерманом в 1956 г.

Содержание

1 Язык
2 Аксиомы
3 Отношение к теории множеств Цермело – Френкеля
4 Теория множеств Аккермана и теория категорий
5 См. Также
6 Ссылки

Язык

теория множеств Аккермана сформулирована в логике первого порядка. Язык $LA {\ displaystyle L_ {A}}$ $L_ {A}$ состоит из одного двоичного отношения $∈ {\ displaystyle \ in}$ $\ in$ и одной константы $V {\ displaystyle V}$ $V$ (вместо этого Аккерманн использовал предикат $M {\ displaystyle M}$ $M$ ). Мы будем писать $x ∈ y {\ displaystyle x \ in y}$ $x \ in y$ вместо $∈ (x, y) {\ displaystyle \ in (x, y)}$ ${ \ displaystyle \ in (x, y)}$ . Предполагаемая интерпретация $x ∈ y {\ displaystyle x \ in y}$ $x \ in y$ заключается в том, что объект $x {\ displaystyle x}$ $x$ находится в классе $у {\ Displaystyle у}$ $y$ . Предполагаемая интерпретация $V {\ displaystyle V}$ $V$ - это класс всех наборов.

Аксиомы

Аксиомы теории множеств Аккермана, совместно именуемые A, состоят из универсального замыкания следующих формул на языке $LA { \ Displaystyle L_ {A}}$ $L_ {A}$

1) Аксиома протяженности :

∀ x ∀ y (∀ z (z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y). {\ displaystyle \ forall x \ forall y (\ forall z (z \ in x \ leftrightarrow z \ in y) \ rightarrow x = y).}

{\ displaystyle \ forall x \ forall y (\ forall z (z \ in x \ leftrightarrow z \ in y) \ rightarrow x = y).}

2) Схема аксиомы построения класса : пусть $F (y, z 1,…, zn) {\ displaystyle F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$ ${\ displaystyle F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$ - любая формула, не содержащая переменной $x {\ displaystyle x}$ $x$ бесплатно.

∀ Y (F (y, z 1,…, zn) → y ∈ V) → ∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ F (y, z 1,…, zn)) {\ displaystyle \ forall y (F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ rightarrow y \ in V) \ rightarrow \ существует x \ forall y (y \ in x \ leftrightarrow F (y, z_ {1}, \ точки, z_ {n}))}

{\ displaystyle \ forall y (F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ rightarrow y \ in V) \ rightarrow \ существует x \ forall y (y \ in x \ leftrightarrow F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}))}

3) Схема аксиомы отражения: Пусть $F (y, z 1,…, zn) {\ displaystyle F (y, z_ {1}, \ dots, z_ { n})}$ ${\ displaystyle F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$ - любая формула, не содержащая символа константы $V {\ displaystyle V}$ $V$ или переменной $x {\ displaystyle x}$ $x$ бесплатно. Если $z 1,…, zn ∈ V {\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n} \ in V}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n} \ in V}$ , то

∀ y (F (y, z 1 ,…, Zn) → y ∈ V) → ∃ x (x ∈ V ∧ ∀ y (y ∈ x ↔ F (y, z 1,…, zn))). {\ displaystyle \ forall y (F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ rightarrow y \ in V) \ rightarrow \ существует x (x \ in V \ land \ forall y (y \ in x \ leftrightarrow F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}))).}

{\ displaystyle \ forall y (F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ rightarrow y \ in V) \ rightarrow \ существует x (x \ in V \ земля \ forall y (y \ in x \ leftrightarrow F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}))).}

4) Аксиомы полноты для $V {\ displaystyle V}$ $V$

x ∈ y ∧ y ∈ V → x ∈ V {\ displaystyle x \ in y \ land y \ in V \ rightarrow x \ in V}

{\ displaystyle x \ in y \ land y \ in V \ rightarrow x \ in V}

(иногда называемый аксиомой наследственности)

x ⊆ y ∧ y ∈ V → x ∈ V. {\ displaystyle x \ substeq y \ land y \ in V \ rightarrow x \ in V.}

{\ displaystyle x \ substeq y \ land y \ in V \ rightarrow x \ in V.}

5) Аксиома регулярности для множеств :

x ∈ V ∧ ∃ y (y ∈ x) → ∃ y (y ∈ x ∧ ¬ ∃ z (z ∈ y ∧ z ∈ x)). {\ Displaystyle х \ в В \ земля \ существует у (у \ в х) \ вправо \ существует у (у \ в х \ земля \ lnot \ существует z (г \ в у \ земля г \ в х)).}

{\ displaystyle x \ in V \ land \ существует y (y \ in x) \ rightarrow \ существует y (y \ in x \ land \ lnot \ exists z (z \ in y \ land z \ in x)).}

Связь с теорией множеств Цермело – Френкеля

Пусть $F {\ displaystyle F}$ $F$ будет формулой первого порядка на языке $L ∈ = {∈} {\ displaystyle L _ {\ in} = \ {\ in \}}$ ${\ displaystyle L _ {\ in} = \ { \ in \}}$ (поэтому $F {\ displaystyle F}$ $F$ не содержит константу $V {\ displaystyle V}$ $V$ ). Определите «ограничение $F {\ displaystyle F}$ $F$ универсумом множеств» (обозначенное $FV {\ displaystyle F ^ {V}}$ ${\ displaystyle F ^ {V} }$ ) как формула, которая получается путем рекурсивной замены всего $F {\ displaystyle F}$ $F$ в форме $∀ x G (x, y 1…, yn) {\ displaystyle \ forall xG ( x, y_ {1} \ dots, y_ {n})}$ ${\ displaystyle \ forall xG ( x, y_ {1} \ dots, y_ {n})}$ с $∀ x (x ∈ V → G (x, y 1…, yn)) {\ displaystyle \ forall x ( x \ in V \ rightarrow G (x, y_ {1} \ dots, y_ {n}))}$ ${\ displaystyle \ forall x (x \ in V \ rightarrow G (x, y_ {1} \ dots, y_ {n}))}$ и все подформулы вида $∃ x G (x, y 1… , yn) {\ displaystyle \ exists xG (x, y_ {1} \ dots, y_ {n})}$ ${\ displaystyle \ существует xG (x, y_ {1} \ dots, y_ {n})}$ с $∃ x (x ∈ V ∧ G (x, y 1…, yn)) {\ displaystyle \ существует x (x \ in V \ land G (x, y_ {1} \ dots, y_ {n}))}$ ${\ displaystyle \ существует x (x \ in V \ land G (x, y_ {1} \ dots, y_ {n}))}$ .

В 1959 году Азриэль Леви доказал, что если $F {\ displaystyle F}$ $F$ - это формула $L ∈ {\ displaystyle L _ {\ in}}$ ${\ displaystyle L _ {\ in}}$ , а A доказывает $FV {\ displaystyle F ^ {V}}$ ${\ displaystyle F ^ {V} }$ , тогда ZF доказывает $F {\ displaystyle F}$ $F$

В 1970 году доказал, что если $F {\ displaystyle F}$ $F$ - это формула $L ∈ {\ displaystyle L _ {\ in}}$ ${\ displaystyle L _ {\ in}}$ и ZF доказывает $F {\ displaystyle F}$ $F$ , тогда A доказывает $FV {\ displaystyle F ^ { V}}$ ${\ displaystyle F ^ {V} }$ .

Теория множеств Аккермана и теория категорий

Самая замечательная особенность теории множеств Аккермана состоит в том, что, в отличие от теории множеств Фон Неймана – Бернейса – Гёделя, собственно class может быть элементом другого собственного класса (см. Fraenkel, Bar-Hillel, Levy (1973), p. 153).

Расширение (названное ARC) теории множеств Аккермана было разработано Ф. А. Мюллером (2001), который заявил, что ARC «основывает канторовскую теорию множеств, а также теорию категорий и, следовательно, может считаться основополагающей теорией вся математика ».

См. также

Теория множеств Цермело

Ссылки

Вильгельм Акерманн « Zur Axiomatik der Mengenlehre »в Mathematische Annalen, 1956, Vol. 131, стр. 336-345.
Леви, Азриэль, «О теории множеств Аккермана» Journal of Symbolic Logic Vol. 24, 1959 154--166
, "Теория множеств Аккермана равна ZF" Annals of Mathematical Logic Vol. 2, 1970 г. 2, 189-249
А.А. Френкель, Ю. Бар-Гиллель, А. Леви, 1973. Основы теории множеств, второе издание, Северная Голландия, 1973.
Ф.А. Мюллер, «Наборы, классы и категории» Британский журнал философии науки 52 (2001) 539-573.