Стена – Солнце – Солнце, простое число

В теории чисел простое число Стена – Солнце – Солнце или простое число Фибоначчи – Вифериха является определенным видом простое число, существование которого предполагается, но неизвестно.

• 1 Определение
  • 1.1 Эквивалентные определения
• 2 Существование
• 3 История
• 4 Обобщения
  • 4.1 Простые числа Ближняя Стена – Солнце – Солнце
  • 4.2 Стена – Солнце– Простые числа Sun с дискриминантом D
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Пусть $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- простое число. Когда каждый член в последовательности чисел Фибоначчи $F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\}$уменьшается modulo $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, результатом является периодическая последовательность. (Минимальная) длина периода этой последовательности называется периодом Пизано и обозначается $\pi \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (p)\}$. Поскольку $F\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{0\}\; =\; 0\}$, отсюда следует, что p делит $F\; \pi \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; пи\; (р)\}\}$. Простое число p такое, что p делит $F\; \pi \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; pi\; (p)\}\}$, называется простым числом Уолла – Солнца – Солнца .

. Эквивалентные определения.

Если $\alpha \; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (m)\}$обозначает ранг появления по модулю $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$(например, $\alpha \; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (m)\}$- наименьший положительный индекс $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$такой, что $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$делит $F\; \alpha \; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; alpha\; (m)\}\}$), тогда простое число Стена – Солнце – Солнце может эквивалентно определено как простое число $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$такое, что $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\}$делит $F\; \alpha \; (\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; alpha\; (p)\}\}$.

Для простого p ≠ 2, 5, ранг видения $\alpha \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (p)\}$, как известно, делит $p\; -\; (p\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; p-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{p\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}$, где Legendre символ $(п\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; \}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}$имеет значения

$(p\; 5)\; =\; \{1,\; если\; p\; \equiv \; \pm \; 1\; (mod\; 5);\; -\; 1,\; если\; p\; \equiv \; \pm \; 2\; (mod\; 5).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; p\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{5\}\};\; \backslash \backslash \; -1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; p\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; 2\; \{\backslash \; pmod\; \{5\}\}.\; \backslash \; End\; \{ases\}\}\}$

Это наблюдение приводит к эквивалентной характеризации простых чисел Уолл – Сан – Сан как простых чисел $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$такой, что $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\}$делит число Фибоначчи $F\; p\; -\; (p\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}$.

Простое число $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- это стена - Солнце – Солнце простое число тогда и только тогда, когда $\pi \; (p\; 2)\; =\; \pi \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (p\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; pi\; (p)\}$.

Простое число $p\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\}$является простым числом Стена – Солнце – Солнце тогда и только тогда, когда $L\; p\; \equiv \; 1\; (mod\; p\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{2\}\}\}\}$, где $L\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{p\}\}$- это $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-th Число Лукаса.

Макинтош и Рёттгер устанавливают несколько эквивалентных характеристик простых чисел Лукаса – Вифериха. В частности, пусть $ϵ\; =\; (p\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{p\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}$; то следующие эквиваленты:

• $F\; p\; -\; ϵ\; \equiv \; 0\; (mod\; p\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p-\; \backslash \; epsilon\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{2\}\}\}\}$
• $L\; p\; -\; ϵ\; \equiv \; 2\; ϵ\; (mod\; p\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{p-\; \backslash \; epsilon\}\; \backslash \; Equiv\; 2\; \backslash \; epsilon\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{4\}\}\}\}$
• $L\; p\; -\; ϵ\; \equiv \; 2\; ϵ\; (mod\; p\; 3)\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{p-\; \backslash \; epsilon\}\; \backslash \; Equiv\; 2\; \backslash \; epsilon\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{3\}\}\}\}$
• $F\; p\; \equiv \; ϵ\; (mod\; p\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; epsilon\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{2\}\}\}\}$
• $L\; p\; \equiv \; 1\; (mod\; p\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Нерешенная математическая проблема :. Существуют ли простые числа Стена – Солнце – Солнце? Если да, то их бесконечное количество? (больше нерешенных задач в математике)

В исследовании периода Пизано $k\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (p)\}$, Дональд Дайнс Уолл определил, что не существует простых чисел Стена – Солнце – Солнце меньше $10000\; \{\backslash \; displaystyle\; 10000\}$. В 1960 году он писал:

Самая запутанная проблема, с которой мы столкнулись в этом исследовании, касается гипотезы $k\; (p\; 2)\; \ne \; k\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (p\; ^\; \{2\})\; \backslash \; neq\; k\; (\; р)\}$. Мы провели тест на цифровом компьютере, который показывает, что $k\; (p\; 2)\; \ne \; k\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (p\; ^\; \{2\})\; \backslash \; neq\; k\; (p)\}$для всех $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$до $10000\; \{\backslash \; displaystyle\; 10000\}$; однако мы не можем доказать, что $k\; (p\; 2)\; =\; k\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (p\; ^\; \{2\})\; =\; k\; (p)\}$невозможно. Этот вопрос тесно связан с другим вопросом: «Может ли число $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$иметь одинаковый модуль порядка $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и mod $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\}$? ", В редких случаях дается утвердительный ответ (например, $x\; =\; 3,\; p\; =\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 3,\; p\; =\; 11\}$; $x\; =\; 2,\; p\; =\; 1093\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 2,\; p\; =\; 1093\}$); следовательно, можно предположить, что равенство может выполняться для некоторого исключительного $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

С тех пор было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Уолла – Солнца – Солнца. По состоянию на март 2020 года простые числа Стена – Солнце – Солнце не известны.

В 2007 году Ричард Дж. Макинтош и Эрик Л. Рёттгер показали, что если они существуют, то они должны быть>2 × 10. Дорайс и Клив расширили этот диапазон до 9,7 × 10, не найдя такого простого числа.

В декабре 2011 года был начат еще один поиск в рамках проекта PrimeGrid, однако он был приостановлен в мае 2017 года.

Простые числа Стена – Солнце – Солнце названы в честь Дональда Дайнса Уолла, Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун ; З. Х. Сан и З. В. Сан показали в 1992 году, что если первый случай последней теоремы Ферма был ложным для некоторого простого числа p, то p должно быть простым числом Стены – Солнца – Солнца. В результате, до доказательства Эндрю Уайлса последней теоремы Ферма поиск простых чисел Уолл-Солнце-Солнце был также поиском потенциального контрпримера к этому многовековому гипотеза.

A простое число трибоначчи – Вифериха - это простое число p, для которого h (p) = h (p), где h - наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее [T h,Th + 1, T h + 2 ] ≡ [T 0, T 1, T 2 ] (mod m) и T n обозначает n-е число трибоначчи. Простое число трибоначчи – Вифериха не существует ниже 10.

A простое число Пелла – Вифериха - это простое число p, удовлетворяющее тому, что p делит P p − 1, когда p конгруэнтно 1 или 7 (mod 8), p делит P p + 1, когда p конгруэнтно 3 или 5 (mod 8), где P n обозначает n-е число Пелла. Например, 13, 31 и 1546463 являются простыми числами Пелла – Вифериха, и никакие другие числа меньше 10 (последовательность A238736 в OEIS ). Фактически, простые числа Пелля – Вифериха являются простыми числами 2-Стены – Солнца – Солнца.

Простые числа около стены – Солнце – Солнце

Простое число p такое, что $F\; p\; -\; (p\; 5)\; \equiv \; A\; p\; (mod\; p\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; Equiv\; Ap\; \{\backslash \; pmod\; \{p\; ^\; \{2\}\}\}\}$с малым | A | называется простым числом около Стены – Солнца – Солнца . Простые числа у стены – Солнца – Солнца с A = 0 будут простыми числами Стена – Солнце – Солнце.

Простые числа Стена – Солнце – Солнце с дискриминантом D

Простые числа Стена – Солнце – Солнце можно рассматривать для поля $QD\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \_\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\}\}\}$с дискриминантом D. Для обычных простых чисел Уолла – Солнца – Солнца D = 5. В общем случае простое число Люка – Вифериха p, ассоциированное с (P, Q), является простым числом Вифериха с основанием Q и числом Уолла – Солнца. –Солнечное простое число с дискриминантом D = P - 4Q. В этом определении простое число p должно быть нечетным и не делить D.

Предполагается, что для любого натурального числа D существует бесконечно много простых чисел Уолла – Сан – Сан с дискриминантом D.

Случай $(P,\; Q)\; =\; (k,\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P,\; Q)\; =\; (k,\; -1)\}$соответствует k-Wall –Солнце – Солнце простые числа, для которых простые числа Уолла – Солнца – Солнца представляют частный случай k = 1. Простые числа k-Уолла – Солнца – Солнца могут быть явно определены как простые числа p, такие, что p делит k-число Фибоначчи. $F\; k\; (\pi \; k\; (p))\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{k\}\; (\backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; (p))\}$, где F k (n) = U n (k, −1) - последовательность Люка первого рода с дискриминантом D = k + 4 и $\pi \; k\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; (p)\}$- период Пизано k-чисел Фибоначчи по модулю p. Для простого числа p ≠ 2, не делящего D, это условие эквивалентно любому из следующих.

• p делит $F\; K\; (p\; -\; (D\; p))\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{k\}\; \backslash \; left\; (p-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{D\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$, где $(D\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{D\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\}$- это символ Кронекера ;
• Vp(k, −1) ≡ k (mod p), где V n (k, −1) - последовательность Люка второго рода.

Наименьшая k-Уолл – Солнце – Солнце простые числа для k = 2, 3,... равны

13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683,... (последовательность A271782 в OEIS )

• простое число Вифериха
• простое число Вольстенхолма
• простое число Уилсона
• PrimeGrid
• простое число Фибоначчи
• период Пизано
• Таблица сравнений

• Crandall, Richard E.; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива. Springer. п. 29. ISBN 0-387-94777-9.
• Саха, Арпан; Картик, К. С. (2011). "Несколько эквивалентностей гипотезы Уолла – Солнца – Солнца о простом". arXiv : 1102.1636 [math.NT ].

• Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​Wall – Sun – Sun Prime at Prime Pages.
• Вайсштейн, Эрик У. «Простое число Стена – Солнце – Солнце». MathWorld.
• Ричард Макинтош, Статус поиска простых чисел Стена – Солнце – Солнце (октябрь 2003 г.)
• OEIS последовательность A000129 (простые числа p, которые делят свои коэффициенты Пелла, где частное Пелля для p равно A000129 (p - (2 / p)) / p и (2 / p) - символ Якоби)