Названо в честь | Дональда Дайнса Уолла, Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун |
---|---|
Год публикации | 1992 |
№ известных терминов | 0 |
Предполагаемый № из термины | Бесконечные |
В теории чисел простое число Стена – Солнце – Солнце или простое число Фибоначчи – Вифериха является определенным видом простое число, существование которого предполагается, но неизвестно.
Пусть - простое число. Когда каждый член в последовательности чисел Фибоначчи уменьшается modulo , результатом является периодическая последовательность. (Минимальная) длина периода этой последовательности называется периодом Пизано и обозначается . Поскольку , отсюда следует, что p делит . Простое число p такое, что p делит , называется простым числом Уолла – Солнца – Солнца .
Если обозначает ранг появления по модулю (например, - наименьший положительный индекс такой, что делит ), тогда простое число Стена – Солнце – Солнце может эквивалентно определено как простое число такое, что делит .
Для простого p ≠ 2, 5, ранг видения , как известно, делит , где Legendre символ имеет значения
Это наблюдение приводит к эквивалентной характеризации простых чисел Уолл – Сан – Сан как простых чисел такой, что делит число Фибоначчи .
Простое число - это стена - Солнце – Солнце простое число тогда и только тогда, когда .
Простое число является простым числом Стена – Солнце – Солнце тогда и только тогда, когда , где - это -th Число Лукаса.
Макинтош и Рёттгер устанавливают несколько эквивалентных характеристик простых чисел Лукаса – Вифериха. В частности, пусть ; то следующие эквиваленты:
Нерешенная математическая проблема :. Существуют ли простые числа Стена – Солнце – Солнце? Если да, то их бесконечное количество? (больше нерешенных задач в математике) |
В исследовании периода Пизано , Дональд Дайнс Уолл определил, что не существует простых чисел Стена – Солнце – Солнце меньше . В 1960 году он писал:
Самая запутанная проблема, с которой мы столкнулись в этом исследовании, касается гипотезы . Мы провели тест на цифровом компьютере, который показывает, что для всех до ; однако мы не можем доказать, что невозможно. Этот вопрос тесно связан с другим вопросом: «Может ли число иметь одинаковый модуль порядка и mod ? ", В редких случаях дается утвердительный ответ (например, ; ); следовательно, можно предположить, что равенство может выполняться для некоторого исключительного .
С тех пор было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Уолла – Солнца – Солнца. По состоянию на март 2020 года простые числа Стена – Солнце – Солнце не известны.
В 2007 году Ричард Дж. Макинтош и Эрик Л. Рёттгер показали, что если они существуют, то они должны быть>2 × 10. Дорайс и Клив расширили этот диапазон до 9,7 × 10, не найдя такого простого числа.
В декабре 2011 года был начат еще один поиск в рамках проекта PrimeGrid, однако он был приостановлен в мае 2017 года.
Простые числа Стена – Солнце – Солнце названы в честь Дональда Дайнса Уолла, Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун ; З. Х. Сан и З. В. Сан показали в 1992 году, что если первый случай последней теоремы Ферма был ложным для некоторого простого числа p, то p должно быть простым числом Стены – Солнца – Солнца. В результате, до доказательства Эндрю Уайлса последней теоремы Ферма поиск простых чисел Уолл-Солнце-Солнце был также поиском потенциального контрпримера к этому многовековому гипотеза.
A простое число трибоначчи – Вифериха - это простое число p, для которого h (p) = h (p), где h - наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее [T h,Th + 1, T h + 2 ] ≡ [T 0, T 1, T 2 ] (mod m) и T n обозначает n-е число трибоначчи. Простое число трибоначчи – Вифериха не существует ниже 10.
A простое число Пелла – Вифериха - это простое число p, удовлетворяющее тому, что p делит P p − 1, когда p конгруэнтно 1 или 7 (mod 8), p делит P p + 1, когда p конгруэнтно 3 или 5 (mod 8), где P n обозначает n-е число Пелла. Например, 13, 31 и 1546463 являются простыми числами Пелла – Вифериха, и никакие другие числа меньше 10 (последовательность A238736 в OEIS ). Фактически, простые числа Пелля – Вифериха являются простыми числами 2-Стены – Солнца – Солнца.
Простое число p такое, что с малым | A | называется простым числом около Стены – Солнца – Солнца . Простые числа у стены – Солнца – Солнца с A = 0 будут простыми числами Стена – Солнце – Солнце.
Простые числа Стена – Солнце – Солнце можно рассматривать для поля с дискриминантом D. Для обычных простых чисел Уолла – Солнца – Солнца D = 5. В общем случае простое число Люка – Вифериха p, ассоциированное с (P, Q), является простым числом Вифериха с основанием Q и числом Уолла – Солнца. –Солнечное простое число с дискриминантом D = P - 4Q. В этом определении простое число p должно быть нечетным и не делить D.
Предполагается, что для любого натурального числа D существует бесконечно много простых чисел Уолла – Сан – Сан с дискриминантом D.
Случай соответствует k-Wall –Солнце – Солнце простые числа, для которых простые числа Уолла – Солнца – Солнца представляют частный случай k = 1. Простые числа k-Уолла – Солнца – Солнца могут быть явно определены как простые числа p, такие, что p делит k-число Фибоначчи. , где F k (n) = U n (k, −1) - последовательность Люка первого рода с дискриминантом D = k + 4 и - период Пизано k-чисел Фибоначчи по модулю p. Для простого числа p ≠ 2, не делящего D, это условие эквивалентно любому из следующих.
Наименьшая k-Уолл – Солнце – Солнце простые числа для k = 2, 3,... равны
k | часть D без квадратов (OEIS : A013946 ) | k-Wall – Sun – Sun, простые числа | примечания |
---|---|---|---|
1 | 5 | ... | Никто не известен. |
2 | 2 | 13, 31, 1546463,... | |
3 | 13 | 241,... | |
4 | 5 | 2, 3,... | Поскольку это второе значение k, для которого D = 5, простые числа k-Wall – Sun – Sun включают простые множители 2 * 2−1, которые не делят 5. Поскольку k делится на 4, 2 - это k -Wall – Sun – Sun Prime. |
5 | 29 | 3, 11,... | |
6 | 10 | 191, 643, 134339, 25233137,... | |
7 | 53 | 5,... | |
8 | 17 | 2,... | Поскольку k делится по 4, 2 - простое число k-Уолла – Солнца – Солнца. |
9 | 85 | 3, 204520559,... | |
10 | 26 | 2683, 3967, 18587,... | |
11 | 5 | ... | Поскольку это третье значение k, для которого D = 5, простые числа k-Wall – Sun – Sun включают простые множители 2 * 3–1, которые не делят 5. |
12 | 37 | 2, 7, 89, 257, 631,... | Так как k делится на 4, 2 является k-Wall – Sun– Солнце премьер. |
13 | 173 | 3, 227, 392893,... | |
14 | 2 | 3, 13, 31, 1546463,... | Поскольку это второе значение k, для которого D = 2, простые числа k-Уолла – Солнца – Солнца включают простые множители 2 * 2-1, которые не делят 2. |
15 | 229 | 29, 4253,... | |
16 | 65 | 2, 1327, 8831, 569831,... | Поскольку k равно делится на 4, 2 - простое число k-Уолла – Солнца – Солнца. |
17 | 293 | 1192625911,... | |
18 | 82 | 3, 5, 11, 769, 256531, 624451181,... | |
19 | 365 | 11, 233, 165083,... | |
20 | 101 | 2, 7, 19301,... | Поскольку k делится на 4, 2 является простым числом k-Уолла – Солнца – Солнца. |
21 | 445 | 23, 31, 193,... | |
22 | 122 | 3, 281,... | |
23 | 533 | 3, 103,... | |
24 | 145 | 2, 7, 11, 17, 37, 41, 1319,... | Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k-Уолла – Солнца – Солнца. |
25 | 629 | 5, 7, 2687,... | |
26 | 170 | 79,... | |
27 | 733 | 3, 1663,... | |
28 | 197 | 2, 1431615389,... | Поскольку k делится на 4, 2 является простым числом k-Уолла – Солнца – Солнца. |
29 | 5 | 7,... | Поскольку это четвертое значение k, для которого D = 5, простые числа k-Wall – Sun – Sun включают простые множители 2 * 4− 1, которые не делят 5. |
30 | 226 | 23, 1277,... |
D | простые числа Уолл – Солнце – Солнце с дискриминантом D (проверено до 10) | OEIS последовательность |
---|---|---|
1 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... (все нечетные простые числа) | A065091 |
2 | 13, 31, 1546463,... | A238736 |
3 | 103, 2297860813,... | A238490 |
4 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... (все нечетные простые числа) | |
5 | ... | |
6 | (3), 7, 523,... | |
7 | ... | |
8 | 13, 31, 1546463,... | |
9 | (3), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... (все нечетные простые числа) | |
10 | 191, 643, 134339, 25233137,... | |
11 | ... | |
12 | 103, 2297860813,... | |
13 | 241,... | |
14 | 6707879, 93140353,... | |
15 | (3), 181, 1039, 2917, 2401457,... | |
16 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... (все нечетные простые числа) | |
17 | ... | |
18 | 13, 31, 1546463,... | |
19 | 79, 1271731, 1 3599893, 31352389,... | |
20 | ... | |
21 | 46179311,... | |
22 | 43, 73, 409, 28477,... | |
23 | 7, 733,... | |
24 | 7, 523,... | |
25 | 3, (5), 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... (все нечетные простые числа) | |
26 | 2683, 3967, 18587,... | |
27 | 103, 2297860813,... | |
28 | ... | |
29 | 3, 11,... | |
30 | ... |