Распределение рейсов

Все поездки имеют начальную и конечную точки, и они учитываются на этапе распределения командировок.

Распределение поездок (или выбор пункта назначения или анализ зонального обмена ) - второй компонент (после генерации поездки, но до выбора режима и назначения маршрута ) в традиционной четырехэтапной модели прогнозирования транспортировки. На этом этапе выполняется сопоставление отправителей и пунктов назначения для составления «таблицы поездок», матрицы, которая отображает количество поездок, идущих из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения. Исторически этот компонент был наименее развитым компонентом модели планирования транспортировки .

Таблица: Иллюстративная таблица командировок

Пункт отправления \ Пункт назначения	1	2	3	Z
1	T11	T12	T13	T1Z
2	T21
3	T31
Z	TZ1			TZZ

Где: T ij = поездки из пункта отправления i в пункт назначения j. Обратите внимание, что практическая ценность поездок по диагонали, например из зоны 1 в зону 1, равно нулю, поскольку внутризональное отключение не происходит.

Распределение командировок - это способ, которым модели спроса на поездки понимают, как люди берут работу. Существуют модели распределения командировок для других (нерабочих) действий, таких как выбор места для покупки продуктов, которые следуют той же структуре.

• 1 История
• 2 Математика
• 3 Модель гравитации
• 4 Энтропийный анализ
• 5 Проблемы
  • 5.1 Перегрузка
  • 5.2 Стабильность времени прохождения
• 6 См. Также
• 7 Сноски
• 8 Ссылки

На протяжении многих лет разработчики моделей использовали несколько различных формулировок распределения поездок. Первой была модель Fratar или Growth (которая не разделяла поездки по целям). Эта структура экстраполировала таблицу поездок базового года на будущее на основе роста, но не учитывала изменение пространственной доступности из-за увеличения предложения или изменений в схемах поездок и заторов. (Простая модель фактора роста, Модель Фернесса и Модель Детройта - это модели, разработанные в один и тот же период времени)

Следующими разработанными моделями были гравитационная модель и модель промежуточных возможностей. Наиболее широко используемой формулировкой по-прежнему является гравитационная модель.

Изучая движение транспорта в Балтиморе, штат Мэриленд, Алан Вурхиз разработал математическую формулу для прогнозирования характера движения транспорта на основе землепользования. Эта формула использовалась при разработке многочисленных проектов в области транспорта и общественных работ по всему миру. Он написал «Общую теорию движения транспорта» (Voorhees, 1956), в которой применил гравитационную модель к распределению поездок, которая переводит поездок, сгенерированных в районе, в матрицу, которая определяет количество поездок из каждого источника. к каждому пункту назначения, который затем может быть загружен в сеть.

Оценка нескольких модельных форм в 1960-х годах пришла к выводу, что «гравитационная модель и модель промежуточных возможностей доказали примерно одинаковую надежность и полезность при моделировании распределения поездок в 1948 и 1955 годах для Вашингтона, округ Колумбия». (Heanue и Pyers 1966). Было показано, что модель Fratar имеет слабые места в районах, где происходят изменения в землепользовании. Поскольку сравнения между моделями показали, что обе модели могут быть одинаково хорошо откалиброваны для соответствия наблюдаемым условиям, из-за простоты вычислений модели гравитации стали более распространенными, чем модели промежуточных возможностей. Некоторые теоретические проблемы с моделью промежуточных возможностей обсуждались Уитакером и Уэстом (1968) относительно ее неспособности учесть все поездки, генерируемые в зоне, что затрудняет калибровку, хотя методы работы с ограничениями были разработаны Руйтером ( 1967).

С развитием логита и других методов дискретного выбора были предприняты попытки новых, демографически дезагрегированных подходов к спросу на поездки. Ожидается, что включение в определение вероятности поездки других переменных, помимо времени в пути, позволит лучше прогнозировать поведение во время поездки. Уилсон (1967) показал, что логит-модель и гравитационная модель имеют по существу ту же форму, что и модель максимизации энтропии, используемую в статистической механике. Применение этих моделей отличается по своей концепции в том, что гравитационная модель использует импеданс в зависимости от времени в пути, возможно, стратифицированного по социально-экономическим переменным, при определении вероятности совершения поездки, в то время как подход дискретного выбора помещает эти переменные в функцию полезности или импеданса. Для моделей с дискретным выбором требуется больше информации для оценки и больше вычислительного времени.

Бен-Акива и Лерман (1985) разработали комбинированные модели выбора пункта назначения и режима выбора, используя логит-формулировку для рабочих и нерабочих поездок. Из-за вычислительной интенсивности эти формулы имели тенденцию объединять зоны движения в более крупные районы или кольца при оценке. В текущем приложении некоторые модели, включая, например, модель планирования транспортировки, используемую в Портленде, штат Орегон, используют формулировку логита для выбора пункта назначения. Аллен (1984) использовал утилиты из модели выбора режима на основе логита для определения составного импеданса для распределения срабатываний. Однако этот подход с использованием логарифмических сумм выбора режима подразумевает, что выбор пункта назначения зависит от тех же переменных, что и выбор режима. Левинсон и Кумар (1995) используют вероятности выбора режима в качестве весового коэффициента и разрабатывают конкретную функцию импеданса или «f-кривую» для каждого режима для рабочих и нерабочих командировок.

На этом этапе процесса планирования транспортировки информация для анализа зонального обмена организована в таблицу происхождения-назначения. Слева перечислены поездки, произведенные в каждой зоне. Вверху перечислены зоны, и для каждой зоны мы указываем ее привлекательность. Таблица имеет размер n x n, где n = количество зон.

Каждая ячейка в нашей таблице должна содержать количество поездок из зоны i в зону j. У нас пока нет этих номеров внутри ячеек, но есть итоги по строкам и столбцам. При такой организации данных наша задача состоит в том, чтобы заполнить ячейки таблиц с заголовками от t = 1 до t = n.

Фактически, из данных опроса о путешествиях на дому и анализа привлекательности у нас есть информация о ячейках для t = 1. Эти данные являются выборкой, поэтому мы обобщаем выборку на всю вселенную. Методы, используемые для анализа зонального обмена, исследуют эмпирическое правило, которое соответствует данным t = 1. Затем это правило используется для генерации данных ячеек для t = 2, t = 3, t = 4 и т. Д. До t = n.

Первый метод, разработанный для моделирования зонального обмена, включает такую ​​модель:

$T\; ij\; =\; T\; i\; A\; jf\; (C\; ij)\; K\; ij\; \sum \; j\; \prime \; =\; 1\; n\; A\; j\; \prime \; f\; (C\; ij\; \prime )\; К\; ij\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; =\; T\_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{j\}\; f\; \backslash \; left\; (\{C\_\; \{ij\}\}\; \backslash \; right)\; K\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{j\; \text{'}\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{A\_\; \{j\; \text{'}\}\; f\; \backslash \; left\; (\{C\_\; \{ij\text{'}\}\}\; \backslash \; right)\; K\_\; \{ij\; \text{'}\}\}\}\}\}$

где:

• $T\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\}$: поездки из i в j.
• $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}$: поездки из i, согласно нашему анализу поколений
• $A\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{j\}\}$: поездки, привлеченные j, согласно анализу поколений
• $f\; (C\; ij)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (C\_\; \{ij\})\}$: коэффициент, скажем = $C\; ijb\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{ij\}\; ^\; \{b\}\}$
• $K\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{ij\}\}$: параметр калибровки

Зона i генерирует T i отключений; сколько пойдет в зону j? Это зависит от привлекательности j по сравнению с привлекательностью всех мест; привлекательность сдерживается удалением зоны от зоны i. Мы вычисляем дробь, сравнивая j со всеми разрядами, и умножаем на нее T ; i.

Правило часто имеет форму гравитации:

$T\; ij\; =\; a\; P\; i\; P\; j\; C\; ijb\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{i\}\; P\_\; \{j\}\}\; \{C\_\; \{ij\}\; ^\; \{b\}\}\}\}$

где:

• $P\; i;\; P\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\};\; P\_\; \{j\}\}$: популяции i и j
• $a;\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a;\; b\}$: параметры

Но в режиме зонального обмена мы используем числа, относящиеся к исходным пунктам поездки (T ; i) и пунктам назначения поездки (T ; j), а не популяции.

Есть много форм модели, потому что мы можем использовать веса и специальные параметры калибровки, например, можно написать, скажем:

$T\; ij\; =\; a\; T\; ic\; T\; jd\; C\; ijb\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{i\}\; ^\; \{c\}\; T\_\; \{j\}\; ^\; \{d\}\}\; \{C\_\; \{ij\}\; ^\; \{b\}\}\}\}$

или

$T\; ij\; =\; c\; T\; id\; T\; j\; C\; ijb\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{cT\_\; \{i\}\; dT\_\; \{j\}\}\; \{C\_\; \{ij\}\; ^\; \{b\}\}\}\}$

где:

• a, b, c, d - параметры
• $C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{ij\}\}$: стоимость поездки (например, расстояние, деньги, время)
• $T\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{j\}\}$: входящие поездки, пункты назначения
• $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}$: исходящие поездки, исходная точка

Модель гравитации иллюстрирует макроскопические отношения между местами (скажем, дома и рабочие места). Долгое время считалось, что взаимодействие между двумя местоположениями уменьшается с увеличением (расстояния, времени и стоимости) между ними, но положительно связано с объемом активности в каждом месте (Isard, 1956). По аналогии с физикой Рейли (1929) сформулировал закон розничного тяготения Рейли, а Дж. К. Стюарт (1948) сформулировал определения демографической гравитации, силы, энергии и потенциала, которые теперь называются доступностью (Hansen, 1959). Коэффициент уменьшения расстояния 1 / расстояние был обновлен до более полной функции обобщенной стоимости, которая не обязательно является линейной - отрицательная экспонента, как правило, является предпочтительной формой.

Гравитационная модель неоднократно подтверждалась как базовая основополагающая совокупная взаимосвязь (Скотт 1988, Черверо 1989, Левинсон и Кумар 1995). Скорость снижения взаимодействия (называемая также импедансом или коэффициентом трения, функцией полезности или склонности) должна быть измерена эмпирически и варьируется в зависимости от контекста.

Ограничение полезности гравитационной модели заключается в ее совокупном характере. Хотя политика также действует на агрегированном уровне, более точный анализ сохранит наиболее подробный уровень информации как можно дольше. Хотя гравитационная модель очень успешно объясняет выбор большого числа людей, выбор любого конкретного человека сильно отличается от предсказанного значения. Применительно к контексту спроса на поездки в города отрицательными факторами являются в первую очередь время, расстояние и стоимость, хотя иногда используются модели дискретного выбора с применением более широких выражений полезности, а также стратификация по доходу или владению транспортными средствами.

Математически модель гравитации часто принимает форму:

$T\; ij\; =\; K\; i\; K\; j\; T\; i\; T\; jf\; (C\; ij)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; =\; K\_\; \{i\}\; K\_\; \{j\}\; T\_\; \{i\}\; T\_\; \{j\}\; f\; (C\_\; \{ij\})\}$

$\sum \; j\; T\; ij\; =\; T\; i,\; \sum \; i\; T\; ij\; =\; T\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{T\_\; \{ij\}\; =\; T\_\; \{i\}\},\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{T\_\; \{ij\}\; =\; T\_\; \{j\}\}\}$

$K\; i\; =\; 1\; \sum \; j\; K\; j\; T\; jf\; (C\; ij),\; K\; j\; =\; 1\; \sum \; i\; K\; i\; T\; если\; (C\; ij)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{K\_\; \{j\}\; T\_\; \{j\}\; f\; (C\_\; \{ij\})\}\}\},\; K\_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{K\_\; \{i\}\; T\_\; \{i\}\; f\; (C\_\; \{ij\})\}\}\}\}$

где

• $T\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; \}$= Поездки между исходной точкой i и пунктом назначения j
• $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}$= Поездки, отправляющиеся в i
• $T\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{j\; \}\}$= Поездки, предназначенные для j
• $C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{ij\}\}$= стоимость поездки между i и j
• $K\; i,\; K\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{i\},\; K\_\; \{j\}\}$= коэффициенты балансировки, решаемые итеративно. См. Итерационная пропорциональная подгонка.
• $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$= коэффициент уменьшения расстояния, как в модели доступности

. Он имеет двойные ограничения в том смысле, что для любого i общее число количество поездок из i, предсказываемых моделью, всегда (механически, для любых значений параметров) равно реальному общему количеству поездок из i. Точно так же общее количество поездок в j, предсказанное моделью, равно реальному общему количеству поездок в j для любого j.

Уилсон (1970) предлагает другой способ взглянуть на проблему зонального обмена. В этом разделе рассматривается методология Уилсона, чтобы дать представление об основных идеях.

Для начала рассмотрим некоторые поездки, когда семь человек в зонах отправления добираются до семи рабочих мест в зонах назначения. Одной из конфигураций таких отключений будет:

Таблица: Конфигурация отключений

зона	1	2	3
1	2	1	1
2	0	2	1

$w\; (T\; i\; j)\; =\; 7!\; 2!\; 1!\; 1!\; 0!\; 2!\; 1!\; =\; 1260\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; left\; (\{T\_\; \{ij\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7!\}\; \{2!\; 1!\; 1!\; 0!\; 2!\; 1!\}\}\; =\; 1260\}$

где 0! = 1.

Эта конфигурация может проявляться 1260 способами. Мы вычислили количество способов, которыми могла произойти конфигурация поездок, и для объяснения вычислений давайте вспомним те эксперименты с подбрасыванием монет, о которых так много говорилось в элементарной статистике.

Количество способов выпадения двусторонней монеты равно $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\}\}$, где n - количество раз, когда мы подбрасываем монета. Если мы подбросим монету один раз, она может выпасть орлом или решкой, $2\; 1\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{1\}\; =\; 2\}$. Если мы подбросим его дважды, он может получить HH, HT, TH или TT четырьмя способами и $2\; 2\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\}\; =\; 4\}$. Чтобы задать конкретный вопрос, скажем, о четырех монетах, выпадающих орлом, мы вычисляем $4!\; /\; (4!\; 0!)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 4!\; /\; (4!\; 0!)\; =\; 1\}$. Две решки и две решки будут $4!\; /\; (2!\; 2!)\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 4!\; /\; (2!\; 2!)\; =\; 6\}$. Решаем уравнение:

$w\; =\; n!\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; N\; я!\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{n\_\; \{i\}!\}\}\}\}$

Важным моментом является то, что по мере увеличения n наше распределение становится все более и более острым, и все более и более разумно думать о наиболее вероятном состоянии.

Однако понятие наиболее вероятного состояния происходит не из этого мышления; он исходит из статистической механики, области, хорошо известной Уилсону и не так хорошо известной планировщикам транспорта. Результатом статистической механики является то, что наиболее вероятен нисходящий ряд. Подумайте о том, как энергия света в классе влияет на воздух в классе. Если бы эффект привел к восходящей серии, многие из атомов и молекул были бы затронуты сильно, а некоторые - немного. Нисходящая серия на многих не повлияла бы совсем или не сильно, и только некоторые повлияли очень сильно. Мы могли бы взять заданный уровень энергии и вычислить уровни возбуждения в восходящей и нисходящей последовательности. Используя приведенную выше формулу, мы вычислили бы способы возникновения определенных серий и пришли бы к выводу, что нисходящие серии доминируют.

Это более или менее Закон Больцмана,

$pj\; =\; p\; 0\; e\; \beta \; ej\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{j\}\; =\; p\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{\backslash \; beta\; e\_\; \{j\}\}\; \}$

То есть частицы на любом конкретном уровне возбуждения j будут отрицательной экспоненциальной функцией частиц в основном состоянии, $p\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\}$, уровень возбуждения, $ej\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{j\}\}$, и параметр $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, который является функцией (среднее) энергия, доступная частицам в системе.

Два вышеприведенных абзаца относятся к ансамблевым методам расчета, разработанным Гиббсом, и эта тема выходит за рамки этих заметок.

Возвращаясь к матрице O-D, обратите внимание, что мы не использовали столько информации, сколько мы получили бы из обзора O и D и из нашей предыдущей работы по генерации поездок. Для той же схемы перемещения в матрице OD, использованной ранее, у нас были бы итоги по строкам и столбцам, то есть:

Таблица: Иллюстративная матрица OD с суммами строк и столбцов

	зона	1	2	3
зона	Ti\Tj	2	3	2
1	4	2	1	1
2	3	0	2	1

Рассмотрим способ могут путешествовать четыре человека, 4! / (2! 1! 1!) = 12; рассмотрим троих, 3! / (0! 2! 1!) = 3. Все путешествия можно объединить 12 × 3 = 36 способами. Таким образом, возможная конфигурация поездок сильно ограничивается итоговыми значениями столбцов и строк.

Мы объединили этот момент с более ранней работой с нашей матрицей и понятием наиболее вероятного состояния, чтобы сказать, что мы хотим

$max\; w\; (T\; i\; j)\; =\; T!\; \prod \; i\; j\; T\; i\; j!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; max\; w\; \backslash \; left\; (\{T\_\; \{ij\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T!\}\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{ij\}\; \{T\_\; \{ij\}!\}\}\}\}$

при условии

$\sum \; j\; T\; ij\; =\; T\; i;\; \sum \; я\; T\; ij\; =\; T\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{T\_\; \{ij\}\; =\; T\_\; \{i\}\};\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{T\_\; \{ij\}\; =\; T\_\; \{j\}\}\}$

где :

$T\; знак\; равно\; \sum \; J\; \sum \; я\; T\; ij\; знак\; равно\; \sum \; я\; T\; я\; знак\; равно\; \sum \; J\; T\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{T\_\; \{ij\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{T\_\; \{i\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{T\_\; \{j\}\}\}$

и это проблема, которую мы решили выше.

Уилсон добавляет еще одно соображение; он ограничивает систему количеством доступной энергии (т. е. денег), и у нас есть дополнительное ограничение,

$\sum \; я\; \sum \; j\; T\; ij\; C\; ij\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\; j\}\; \{T\_\; \{ij\}\; C\_\; \{ij\}\; =\; C\}\}\}$

где C - количество доступных ресурсов, а $C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{ij\}\}$- перемещение стоимость от i до j.

Обсуждение до сих пор содержит основные идеи в работе Уилсона, но мы еще не достигли того места, где читатель узнает модель в том виде, в каком она сформулирована Уилсоном.

Во-первых, записав функцию $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$, которая будет максимизирована с использованием множителей Лагранжа, мы имеем:

$\Lambda \; (T\; ij,\; \lambda \; i,\; \lambda \; j)\; =\; T!\; \prod \; i\; j\; T\; i\; j!\; +\; \sum \; я\; \lambda \; я\; (T\; я\; -\; \sum \; J\; T\; ij)\; +\; \sum \; J\; \lambda \; J\; (T\; J\; -\; \sum \; я\; T\; ij)\; +\; \beta \; (C\; -\; \sum \; я\; \sum \; j\; T\; ij\; C\; ij)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (T\_\; \{\; ij\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T!\}\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{ij\}\; \{Tij!\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{\; i\}\; \backslash \; left\; (\{T\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{T\_\; \{ij\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; (\{T\_\; \{j\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{T\_\; \{ij\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; left\; (\{C-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{T\_\; \{ij\}\; C\_\; \{ij\}\}\}\; \}\; \backslash \; right)\}\}$

где $\lambda \; i,\; \lambda \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$- множители Лагранжа, $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$имеют энергетический смысл.

Во-вторых, удобнее максимизировать натуральный логарифм (ln), а не $w\; (T\; ij)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (T\_\; \{ij\})\}$, поскольку тогда мы можно использовать приближение Стирлинга.

$ln\; \; N!\; \approx \; N\; пер\; \; N\; -\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пер\; N!\; \backslash \; Приблизительно\; N\; \backslash \; пер\; N-N\}$

, поэтому

$\partial \; пер\; \; N!\; \partial \; N\; \approx \; ln\; \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; N!\}\; \{\backslash \; Partial\; N\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; ln\; N\}$

В-третьих, оценивая максимум, мы имеем

$\partial \; \Lambda \; (T\; ij,\; \lambda \; я,\; \lambda \; j)\; \partial \; T\; ij\; знак\; равно\; -\; пер\; \; T\; ij\; -\; \lambda \; я\; -\; \lambda \; j\; -\; \beta \; C\; ij\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Lambda\; (T\_\; \{ij\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\; i\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\})\}\; \{\backslash \; partial\; T\_\; \{ij\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; ln\; T\_\; \{ij\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; beta\; C\_\; \{ij\}\; =\; 0\}$

с решением

$ln\; \; T\; ij\; =\; -\; \lambda \; i\; -\; \lambda \; j\; -\; \beta \; C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; T\_\; \{ij\}\; =\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; бета\; C\_\; \{ij\}\}$

$T\; ij\; =\; e\; -\; \lambda \; i\; -\; \lambda \; j\; -\; \beta \; C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; beta\; C\_\; \{ij\}\}\}$

Наконец, подставляя это значение $T\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\}$обратно в наши уравнения ограничений, мы получаем:

$\sum \; je\; -\; \lambda \; i\; -\; \lambda \; j\; -\; \beta \; C\; ij\; =\; T\; i;\; \sum \; т.е.\; -\; \lambda \; я\; -\; \lambda \; J\; -\; \beta \; C\; ij\; =\; T\; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; beta\; C\_\; \{ij\}\}\; \}\; =\; T\_\; \{i\};\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; beta\; C\_\; \{ij\}\}\}\; =\; T\_\; \{j\}\}$

и, вынося постоянные кратные за пределы знака суммы

$e\; -\; \lambda \; i\; =\; T\; i\; \sum \; je\; -\; \lambda \; j\; -\; \beta \; C\; ij;\; е\; -\; \lambda \; J\; знак\; равно\; T\; J\; \sum \; т.е.\; -\; \lambda \; я\; -\; \beta \; С\; ij\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{я\}\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{T\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; beta\; C\_\; \{ij\}\}\}\}\};\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; beta\; C\_\; \{ij\}\}\}\}\}\}$

Пусть

$e\; -\; \lambda \; i\; T\; i\; =\; A\; i;\; е\; -\; \lambda \; J\; T\; J\; знак\; равно\; В\; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; \{T\_\; \{i\}\}\}\; =\; A\_\; \{i\};\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{j\}\}\}\; \{T\_\; \{j\}\}\}\; =\; B\_\; \{j\}\}$

мы имеем

$T\; ij\; =\; A\; i\; B\; j\; T\; i\; T\; je\; -\; \beta \; C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\; =\; A\_\; \{i\}\; B\_\; \{j\}\; T\_\; \{i\}\; T\_\; \{j\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; C\_\; \{ij\}\}\}$

что говорит о том, что наиболее вероятное распределение путешествий имеет форму гравитационной модели, $T\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ij\}\}$пропорционально исходным и конечным точкам поездки. Константы $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$, $B\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{j\}\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$убедитесь, что соблюдаются ограничения.

Теперь перейдем к вычислениям. У нас есть большая проблема. Во-первых, мы не знаем значение C, которое, как мы ранее говорили, связано с имеющимися деньгами, это было ограничением стоимости. Следовательно, мы должны установить $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$на разные значения, а затем найти лучший набор значений для $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$и $В\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{j\}\}$. Мы знаем, что означает $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$- чем больше значение $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, тем меньше стоимость среднего расстояния. путешествовал. (Сравните $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$в законе Больцмана, отмеченном ранее.) Во-вторых, значения $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$и $B\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{j\}\}$зависят друг от друга. Итак, для каждого значения $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$мы должны использовать итеративное решение. Для этого существуют компьютерные программы.

Метод Уилсона был применен к модели Лоури.

Перегрузка

Одним из ключевых недостатков применения многих ранних моделей была невозможность учитывать загруженное время в пути по дорожной сети при определении вероятности поездки между двумя пунктами. Хотя Воль еще в 1963 году отметил исследование механизма обратной связи или «взаимозависимостей между назначенным или распределенным объемом, временем в пути (или« сопротивлением »путешествия) и маршрутом или пропускной способностью системы», эта работа еще не получила широкого распространения с помощью тщательных испытаний сходимость, или с так называемым «равновесным» или «комбинированным» решением (Boyce et al. 1994). Хейни (1972) предполагает, что внутренние допущения о времени в пути, используемые для развития спроса, должны согласовываться с выходным временем в пути при назначении маршрута для этого спроса. В то время как небольшие методологические несоответствия неизбежно представляют проблему для оценки условий базового года, прогнозирование становится еще более ненадежным без понимания обратной связи между спросом и предложением. Первоначально эвристические методы были разработаны Ирвином, Фон Кубом и другими, а позже методы формального математического программирования были разработаны Сюзанной Эванс.

Стабильность времен прохождения

Ключевым моментом в анализе обратной связи является открытие Согласно более раннему исследованию, время поездок на работу оставалось стабильным на протяжении последних тридцати лет в столичном регионе Вашингтона, несмотря на значительные изменения в доходах домохозяйств, структуре землепользования, структуре семьи и участии в рабочей силе. Аналогичные результаты были получены в городах-побратимах

. Стабильность времен прохождения и кривых распределения за последние три десятилетия дает хорошую основу для применения моделей совокупного распределения поездок для относительно долгосрочного прогнозирования. Это не означает, что существует постоянный бюджет времени в пути.

• Воздействие авиации на окружающую среду
• Гипермобильность (путешествия)

• Аллен, B. Распределение поездок 1984 г. с использованием данных транспортных исследований с композитным импедансом 944 стр. 118–127
• Бен-Акива М. и Лерман С. Анализ дискретного выбора 1985 г., MIT Press, Cambridge MA
• Boyce, Д., Лупа, М. и Чжан, Ю.Ф. 1994 Введение «обратной связи» в четырехэтапную процедуру прогнозирования поездок по сравнению с равновесным решением комбинированной модели, представленное на 73-м ежегодном заседании Совета по исследованиям в области транспорта

.

• Хейни, Д. 1972 г. Согласованность в моделях спроса на перевозки и модели оценки, Отчет по исследованиям автомобильных дорог 392, pp. 13–25 1972
• Hansen, WG 1959. Как доступность влияет на землепользование. Журнал Американского института проектировщиков, 25 (2), 73–76.
• Хиану, Кевин Э. и Пайерс, Клайд Э. 1966. Сравнительная оценка процедур распределения поездок,

• Левинсон Д. и Кумар А. 1995. Мультимодальная модель распределения поездок. Протокол исследования транспорта № 1466: 124–131.
• Портлендский отчет MPO для Федерального транзитного управления по моделированию транзита
• Рейли, WJ (1929) «Методы исследования отношений с розничной торговлей» Техасский университет Бюллетень № 2944, ноябрь 1929.
• Рейли, WJ, 1931. Закон розничной гравитации, Нью-Йорк.
• Ruiter, E. 1967 Улучшения в понимании, калибровке и использовании возможностей Протокол исследования Model Highway № 165 стр. 1–21
• Стюарт, JQ (1948) «Демографическая гравитация: доказательства и применение» Социометрия Vol. XI, февраль – май 1948 г., стр. 31–58.
• Стюарт, JQ, 1947. Эмпирические математические правила, касающиеся распределения и равновесия населения, Географический обзор, Том 37, 461–486.
• Стюарт, JQ, 1950. Потенциал населения и его связь с маркетингом. В: Theory in Marketing, R. Cox and W. Alderson (Eds) (Richard D. Irwin, Inc., Homewood, Illinois).
• Stewart, JQ, 1950. The Development of Social Physics, American Journal of Physics, Vol 18, 239–253
• Вурхиз, Алан М., 1956, «Общая теория движения транспорта», Протоколы 1955 года, Институт инженеров дорожного движения, Нью-Хейвен, Коннектикут.
• Уитакер, Р. и К. Уэст, 1968 Модель промежуточных возможностей: теоретическое рассмотрение Отчет об исследовании автомобильных дорог 250 стр. 1–7
• Уилсон, А.Г. Статистическая теория моделей пространственного распределения Исследования транспорта, том 1, стр. 253–269 1967
• Воль М. Взаимосвязи спроса, стоимости, цены и пропускной способности, 1963 г., применяемые для прогнозирования поездок. Протокол исследования шоссе 38: 40–54
• Зипф, Г. К., 1946. Гипотеза о междугородном перемещении людей. Американский социологический обзор, т. 11 октября
• Зипф, Г. К., 1949. Поведение человека и принцип наименьшего усилия. Массачусетс

.