Конечный ноль

редактировать

В математике конечные нули представляют собой последовательность 0 в десятичное представление (или, в более общем смысле, в любом позиционном представлении ) числа, после которого не следуют никакие другие цифры.

Завершающие нули справа от десятичной запятой, как в 12.3400, не влияют на значение числа и могут быть опущены, если интересует только его числовое значение. Это верно, даже если нули повторяются бесконечно. Например, в аптеке конечные нули опускаются в значениях доза для предотвращения неправильного чтения. Однако нули в конце могут быть полезны для указания количества значащих цифр, например, при измерении. В таком контексте «упрощение» числа путем удаления конечных нулей было бы неправильным.

Количество завершающих нулей в ненулевом целом числе с основанием b n равно показателю наивысшей степени числа b, которое делит n. Например, 14000 имеет три завершающих нуля и поэтому делится на 1000 = 10, но не на 10. Это свойство полезно при поиске малых множителей в целочисленной факторизации. Некоторые компьютерные архитектуры имеют операцию подсчета конечных нулей в их наборе команд для эффективного определения количества битов конечных нулей в машинном слове.

Содержание

1 Факториал
2 См. Также
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Факториал

Количество завершающих нулей в десятичном представлении of n !, факториал неотрицательного целого n, это просто кратность простого множителя 5 в n !. Это можно определить с помощью этого частного случая формулы де Полиньяка :

f (n) = ∑ i = 1 k ⌊ n 5 i ⌋ = ⌊ n 5 ⌋ + ⌊ n 5 2 ⌋ + ⌊ n 5 3 ⌋ + ⋯ + ⌊ N 5 К ⌋, {\ displaystyle f (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {i}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {n} {5}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {2}}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {3}}} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {k}}} \ right \ rfloor, \,}

f (n) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {i} }} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {n} {5}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {2}}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {3}}} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {k}}} \ right \ rfloor, \,

где k необходимо выбрать так, чтобы

5 k + 1>n, {\ displaystyle 5 ^ {k + 1}>n, \,}

$5^{{k+1}}>n, \,$

точнее

5 k ≤ n < 5 k + 1, {\displaystyle 5^{k}\leq n<5^{k+1},}

{\ displaystyle 5 ^ {k} \ leq n <5 ^ {k + 1},}

k = ⌊ журнал 5 ⁡ N ⌋, {\ displaystyle k = \ left \ lfloor \ log _ {5} n \ right \ rfloor,}

{\ displaystyle k = \ left \ lfloor \ log _ {5} n \ right \ rfloor,}

и $⌊ a ⌋ {\ displaystyle \ lfloor a \ rfloor}$ $\ lfloor a \ rfloor$ обозначает нижнюю функцию, применяемую к a. Для n = 0, 1, 2,... это

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6,... (последовательность A027868 в OEIS ).

Например, 5>32 и, следовательно, 32! = 263130836933693530167218012160000000 оканчивается на

⌊ 32 5 ⌋ + ⌊ 32 5 2 ⌋ = 6 + 1 = 7 {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {32} {5}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor { \ frac {32} {5 ^ {2}}} \ right \ rfloor = 6 + 1 = 7 \,}

\ left \ lfloor {\ frac {32} {5}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {32} {5 ^ {2}}} \ right \ rfloor = 6 + 1 = 7 \,

нулей. Если n < 5, the inequality is satisfied by k = 0; in that case the sum is пусто, дается ответ 0.

Формула фактически подсчитывает количество множителей 5 в n !, но поскольку множителей не меньше 2, это эквивалентно количество множителей 10, каждый из которых дает еще один конечный ноль.

Определение

qi = ⌊ N 5 я ⌋, {\ displaystyle q_ {i} = \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {i}}} \ right \ rfloor, \,}

q_ {i} = \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {i}}} \ right \ rfloor, \,

выполняется следующее рекуррентное соотношение :

q 0 = n, qi + 1 = ⌊ qi 5 ⌋. {\ Displaystyle {\ begin {align} q_ {0} \, \, \, \, \, = \, \, \, n, \ quad \\ q_ {i + 1} = \ left \ lfloor { \ frac {q_ {i}} {5}} \ right \ rfloor. \, \ end {align}}}

{\ begin {align} q_ {0} \, \, \, \, \, = \, \, \, n, \ quad \\ q _ {{i + 1}} = \ left \ lfloor {\ frac {q_ {i}} {5}} \ right \ rf нижний. \, \ конец {выровненный}}

Это можно использовать для упрощения вычисления членов суммирования, которое можно остановить, как только когда q i достигает нуля. Условие 5>n эквивалентно q k + 1 = 0.

См. Также

Ссылки

^Суммарно из Факториалы и конечные нули

Внешние ссылки

Почему важны конечные дробные нули? для некоторых примеров значимости конечных нулей
Количество конечных нулей для любого факториала Программа Python для вычисления количество конечных нулей для любого факториала