Формула порядка Томпсона

В математике finite теория групп, формула порядка Томпсона, введенная Джоном Григгсом Томпсоном (Held 1969, стр.279), дает формулу для порядок конечной группы в терминах централизаторов инволюций, расширяя результаты Брауэра и Фаулера (1955).

Если конечная группа G имеет ровно два класса сопряженности инволюций с представителями t и z, тогда формула порядка Томпсона (Aschbacher 2000, 45.6) (Suzuki 1986, 5.1.7) утверждает

$|\; G\; |\; =\; |\; C\; g\; (z)\; |\; a\; (t)\; +\; |\; C\; g\; (t)\; |\; a\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; G\; |\; =\; |\; C\_\; \{g\}\; (z)\; |\; a\; (t)\; +\; |\; C\_\; \{g\}\; (t)\; |\; a\; (z)\}$

Здесь a (x) - это число пар (u, v) с u, сопряженным с t, v, сопряженным с z, и x в подгруппе, порожденной uv.

Харрис (1972, 3.10) дает следующую более сложную версию формулы порядка Томпсона для случая, когда G имеет более двух классов сопряженности инволюции.

$|\; G\; |\; Знак\; равно\; CG\; (t)\; CG\; (z)\; \sum \; xa\; (x)\; CG\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; G\; |\; =\; C\_\; \{G\}\; (t)\; C\_\; \{G\}\; (z)\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (x)\}\; \{C\_\; \{G\}\; (x)\}\}\}$

где t и z - несопряженные инволюции, сумма берется по набору представителей x для классов сопряженных инволюций, а a (x) есть количество упорядоченных пар инволюций u, v таких, что u сопряжена с t, v сопряжена с z, а x - инволюция в подгруппе, порожденной tz.

Формулу порядка Томпсона можно переписать как

$|\; G\; |\; C\; G\; (z)\; |\; G\; |\; C\; G\; (t)\; =\; \sum \; x\; a\; (x)\; |\; G\; |\; CG\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; G\; |\}\; \{C\_\; \{G\}\; (z)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; G\; |\}\; \{C\_\; \{G\}\; (t)\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\}\; a\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{|\; G\; |\}\; \{C\_\; \{G\}\; (x)\}\}\}$

где по-прежнему сумма по набору представителей x для классов инволюций. Левая часть - это количество пар на инволюциях (u, v), где u сопряжено с t, v сопряжено с z. Правая часть считает эти пары по классам в зависимости от класса инволюции в циклической группе, порожденной uv. Ключевым моментом является то, что uv имеет четный порядок (как если бы он имел нечетный порядок, тогда u и v были бы сопряженными), и поэтому группа, которую он генерирует, содержит уникальную инволюцию x.

• Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп, Кембриджские исследования по высшей математике, 10 (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1, MR 1777008
• Брауэр Р. ; Фаулер, KA (1955), «О группах четного порядка», Annals of Mathematics, Second Series, 62 : 565–583, doi : 10.2307 / 1970080, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970080, MR 0074414
• Харрис, Мортон Э. (1972), «Характеристика расширений нечетного порядка конечных проективных симплектических групп PSp (4, q)», Труды Американского математического общества, 163 : 311–327, doi : 10.2307 / 1995724, ISSN 0002-9947, JSTOR 1995724, MR 0286897
• Хелд, Дитер (1969), «Простые группы, связанные с M₂₄», Journal of Algebra, 13: 253–296, doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90074-X, ISSN 0021-8693, 0249500
• Судзуки, Мичио (1986), теория групп. II, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 248, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0 -387-10916-9, MR 0815926