Уравнение Стюарта – Ландау

Уравнение Стюарта – Ландау описывает поведение нелинейной колебательной системы вблизи бифуркации Хопфа, названной в честь Джона Тревора Стюарта и Льва Ландау. В 1944 году Ландау предложил уравнение для эволюции величины возмущения, которое теперь называется уравнением Ландау, чтобы объяснить переход к турбулентности без предоставления формального вывода, и попытка вывести это уравнение из уравнений гидродинамики была сделана Стюарт для плоского потока Пуазейля в 1958 году. Формальный вывод для вывода уравнения Ландау был дан Стюартом, Уотсоном и Палмом в 1960 году. Возмущение в окрестности бифуркации регулируется следующим уравнением

${\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = \ sigma A - {\ frac {l} {2}} A | A | ^ {2}.}$

куда

• ${\ Displaystyle А = | А | е ^ {я \ фи}}$ - комплексная величина, описывающая возмущение,
• ${\ Displaystyle \ sigma = \ sigma _ {r} + я \ sigma _ {я}}$ - комплексная скорость роста,
• ${\ displaystyle l = l_ {r} + il_ {i}}$ является комплексным числом, и это константа Ландау. ${\ displaystyle l_ {r}}$

Уравнение Ландау - это уравнение для величины возмущения

${\ displaystyle {\ frac {d | A | ^ {2}} {dt}} = 2 \ sigma _ {r} | A | ^ {2} -l_ {r} | A | ^ {4},}$

также можно переписать как

${\ displaystyle {\ frac {d | A |} {dt}} = \ sigma _ {r} | A | - {\ frac {l_ {r}} {2}} | A | ^ {3}.}$

Точно так же уравнение для фазы задается следующим образом:

${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = \ sigma _ {i} - {\ frac {l_ {i}} {2}} | A | ^ {2}.}$

Благодаря универсальности уравнения, уравнение находит свое применение во многих областях, таких как гидродинамическая устойчивость, химические реакции, такие как реакция Белоусова – Жаботинского и т. Д.

Уравнение Ландау линейно, если записано для зависимой переменной, ${\ displaystyle | A | ^ {- 2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d | A | ^ {- 2}} {dt}} + 2 \ sigma _ {r} | A | ^ {- 2} = l_ {r}}$

приводя к общему решению (для) ${\ displaystyle \ sigma _ {r} \ neq 0}$

${\ displaystyle | A (t) | ^ {- 2} = {\ frac {l_ {r}} {2 \ sigma _ {r}}} + \ left (| A (0) | ^ {- 2} - {\ frac {l_ {r}} {2 \ sigma _ {r}}} \ right) e ^ {- 2 \ sigma _ {r} t}.}$

Как раствор переходит к значению постоянной, не зависящей от начального состояния,, т.е. при больших временах. Решение для фазы дается формулой ${\ Displaystyle т \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle | A | \ rightarrow (2 \ sigma _ {r} / l_ {r}) ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ phi (t) - \ phi (0) = \ sigma _ {i} t - {\ frac {l_ {i}} {2l_ {r}}} \ ln \ left [1 + {\ frac { | A (0) | ^ {2} l_ {r}} {2 \ sigma _ {r}}} (e ^ {2 \ sigma _ {r} t} -1) \ right].}$