Квадратные отклонения от среднего значения

Квадратные отклонения от среднего значения (SDM) используются в различных вычислениях. В теории вероятностей и статистике определение дисперсии представляет собой либо ожидаемое значение SDM (при рассмотрении теоретического распределение ) или его среднее значение (для реальных экспериментальных данных). Вычисления для дисперсионного анализа включают разбиение суммы SDM.

• 1 Введение
• 2 Выборочная дисперсия
• 3 Разделение - дисперсионный анализ
  • 3.1 Суммы квадратов отклонений
  • 3.2 Пример
  • 3.3 Двусторонний дисперсионный анализ
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Понимание используемых вычислений значительно улучшается за счет изучения статистической величины

$E\; \; (X\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\; \}\; (X\; ^\; \{2\})\}$, где $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\}$- оператор ожидаемого значения.

Для случайная величина $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$со средним значением $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и дисперсией $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$,

$\sigma \; 2\; =\; E\; \; (X\; 2)\; -\; \mu \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X\; ^\; \{2\})\; -\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}.\}$

Следовательно,

$E\; \; (X\; 2)\; =\; \sigma \; 2\; +\; \mu \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}.\}$

Из вышеизложенного можно вывести следующее:

$E\; \; (\; \sum \; (Икс\; 2))\; знак\; равно\; N\; \sigma \; 2\; +\; N\; \mu \; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; \backslash \; влево\; (\backslash \; сумма\; \backslash \; влево\; (X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; вправо)\; =\; п\; \backslash \; сигма\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\},\}$

$E\; \; ((\sum \; X)\; 2)\; =\; n\; \sigma \; 2\; +\; n\; 2\; \mu \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\backslash \; sum\; X\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; n\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}.\}$

Сумма квадратов отклонений, необходимая для вычисления выборочной дисперсии (до принятия решения о делении на n или на n - 1) проще всего рассчитать как

$S\; =\; \sum \; Икс\; 2\; -\; (\sum \; Икс)\; 2\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \backslash \; sum\; x\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; sum\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{n\}\}\}$

Из два производных ожидания сверх ожидаемого значения этой суммы:

$E\; \; (S)\; =\; n\; \sigma \; 2\; +\; n\; \mu \; 2\; -\; n\; \sigma \; 2\; +\; n\; 2\; \mu \; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (S)\; =\; n\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\; \{n\}\}\}$

, что подразумевает

$E\; \; (S)\; =\; (n\; -\; 1)\; \sigma \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (S)\; =\; (n-1)\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}.\}$

Это эффективно доказывает использование делителя n - 1 при вычислении несмещенного выборочная оценка σ.

В ситуации, когда данные доступны для k различных групп лечения, имеющих размер n i, где i изменяется от 1 до k, тогда это предполагается, что ожидаемое среднее значение каждой группы равно

$E\; \; (\mu \; i)\; =\; \mu \; +\; T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (\backslash \; mu\; \_\; \{i\})\; =\; \backslash \; mu\; +\; T\_\; \{i\}\}$

и дисперсия каждой группы лечения не изменяется от дисперсии совокупности $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$.

В соответствии с нулевой гипотезой о том, что лечение не оказывает никакого эффекта, тогда каждый из $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}$будет равно нулю.

Теперь можно вычислить три суммы квадратов:

Индивидуальный

$I\; =\; \sum \; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; sum\; x\; ^\; \{2\}\}$

$E\; \; (I)\; знак\; равно\; n\; \sigma \; 2\; +\; n\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (I)\; =\; n\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}$

Лечение

$T\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; k\; ((\sum \; Икс)\; 2\; /\; ni)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Т\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{к\}\; \backslash \; влево\; (\backslash \; влево\; (\backslash \; сумма\; х\; \backslash \; вправо)\; ^\; \{2\}\; /\; п\_\; \{я\}\; \backslash \; вправо)\; \}$

$Е\; \; (T)\; знак\; равно\; К\; \sigma \; 2\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; кни\; (\mu \; +\; T\; я)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (T)\; =\; k\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; n\_\; \{i\}\; (\backslash \; mu\; +\; T\_\; \{i\})\; ^\; \{2\}\}$

$E\; \; (T)\; =\; k\; \sigma \; 2\; +\; n\; \mu \; 2\; +\; 2\; \mu \; \sum \; i\; =\; 1\; k\; (ni\; T\; я)\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; kni\; (T\; i)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (T)\; =\; k\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; mu\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; (n\_\; \{i\}\; T\_\; \{i\})\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; n\_\; \{i\}\; (T\_\; \{i\})\; ^\; \{2\}\}$

При нулевой гипотезе о том, что лечение не вызывает различий и все $T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\}$равны нулю, математическое ожидание упрощается до

$E\; \; (T)\; =\; k\; \sigma \; 2\; +\; п\; \mu \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (T)\; =\; k\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}.\}$

Комбинация

$C\; =\; (\sum \; x)\; 2\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; влево\; (\backslash \; сумма\; х\; \backslash \; вправо)\; ^\; \{2\}\; /\; n\}$

$E\; \; (C)\; =\; \sigma \; 2\; +\; n\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (C)\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}$

Суммы квадратов отклонений

При нулевой гипотезе разность любой пары I, T и C не содержит никакой зависимости от $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, только $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$.

$E\; \; (I\; -\; C)\; =\; (n\; -\; 1)\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (IC)\; =\; (n-1)\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$общие квадраты отклонений, также известные как общая сумма квадратов

$E\; \; (T\; -\; C)\; =\; (k\; -\; 1)\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (TC)\; =\; (k-1)\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$обработанные квадраты отклонений, также известные как объясненная сумма квадратов

$E\; \; (I\; -\; T)\; =\; (n\; -\; k)\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (IT)\; =\; (nk)\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$квадратичное остаточное отклонение, также известное как остаточная сумма квадратов

Константы (n - 1), (k - 1) и (n - k) обычно относятся к красный как число степеней свободы.

Пример

В очень простом примере 5 наблюдений возникают в результате двух обработок. Первая обработка дает три значения 1, 2 и 3, а вторая обработка дает два значения 4 и 6.

$I\; =\; 1\; 2\; 1\; +\; 2\; 2\; 1\; +\; 3\; 2\; 1\; +\; 4\; 2\; 1\; +\; 6\; 2\; 1\; =\; 66\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; ^\; \{2\}\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{2\}\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\; ^\; \{2\}\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\; ^\; \{2\}\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{6\; ^\; \{2\}\}\; \{1\}\}\; =\; 66\}$

$T\; =\; (1\; +\; 2\; +\; 3)\; 2\; 3\; +\; (4\; +\; 6)\; 2\; 2\; =\; 12\; +\; 50\; =\; 62\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; 2\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(4\; +\; 6)\; ^\; \{2\}\; \}\; \{2\}\}\; =\; 12\; +\; 50\; =\; 62\}$

$C\; =\; (1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; 4\; +\; 6)\; 2\; 5\; =\; 256/5\; =\; 51,2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; 4\; +\; 6)\; ^\; \{2\}\}\; \{5\}\}\; =\; 256/5\; =\; 51,2\}$

Выдача

Полные квадраты отклонений = 66 - 51,2 = 14,8 с 4 степенями свободы.

Квадратное отклонение лечения = 62 - 51,2 = 10,8 с 1 степенью свободы.

Квадратное остаточное отклонение = 66 - 62 = 4 с 3 степенями свободы.

Двусторонний дисперсионный анализ

Следующий гипотетический пример показывает урожайность 15 растений при двух различных изменениях окружающей среды и трех разных удобрений.

Вычисляются пять сумм квадратов:

Фактор	Расчет	Сумма	$\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$
Индивидуальный	$7\; 2\; +\; 2\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 7\; 2\; +\; 6\; 2\; +\; 11\; 2\; +\; 6\; 2\; +\; 10\; 2\; +\; 7\; 2\; +\; 3\; 2\; +\; 5\; 2\; +\; 3\; 2\; +\; 4\; 2\; +\; 11\; 2\; +\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 7\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; ^\; \{2\}\; +\; 7\; ^\; \{2\}\; +\; 6\; ^\; \{2\}\; +\; 11\; ^\; \{2\}\; +\; 6\; ^\; \{2\}\; +\; 10\; ^\; \{2\}\; +\; 7\; ^\; \{2\}\; +\; 3\; ^\; \{2\}\; +\; 5\; ^\; \{2\}\; +\; 3\; ^\; \{2\; \}\; +\; 4\; ^\; \{2\}\; +\; 11\; ^\; \{2\}\; +\; 4\; ^\; \{2\}\}$	641	15
Удобрение × Окружающая среда	$(7\; +\; 2\; +\; 1)\; 2\; 3\; +\; (7\; +\; 6)\; 2\; 2\; +\; (11\; +\; 6)\; 2\; 2\; +\; (10\; +\; 7\; +\; 3)\; 2\; 3\; +\; (5\; +\; 3\; +\; 4)\; 2\; 3\; +\; (11\; +\; 4)\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; (7\; +\; 2\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(7\; +\; 6)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(11\; +\; 6)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(10\; +\; 7\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(5\; +\; 3\; +\; 4)\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(11\; +\; 4)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}$	556.1667	6
Удобрение	$(7\; +\; 2\; +\; 1\; +\; 7\; +\; 6)\; 2\; 5\; +\; (11\; +\; 6\; +\; 10\; +\; 7\; +\; 3)\; 2\; 5\; +\; (5\; +\; 3\; +\; 4\; +\; 11\; +\; 4)\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; (7\; +\; 2\; +\; 1\; +\; 7\; +\; 6)\; ^\; \{2\}\}\; \{5\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(11\; +\; 6\; +\; 10\; +\; 7\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\}\; \{5\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; (5\; +\; 3\; +\; 4\; +\; 11\; +\; 4)\; ^\; \{2\}\}\; \{5\}\}\}$	525,4	3
Среда	$(7\; +\; 2\; +\; 1\; +\; 11\; +\; 6\; +\; 5\; +\; 3\; +\; 4)\; 2\; 8\; +\; (7\; +\; 6\; +\; 10\; +\; 7\; +\; 3\; +\; 11\; +\; 4)\; 2\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(7\; +\; 2\; +\; 1\; +\; 11\; +\; 6\; +\; 5\; +\; 3\; +\; 4)\; ^\; \{2\}\}\; \{8\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(7\; +\; 6\; +\; 10\; +\; 7\; +\; 3\; +\; 11\; +\; 4)\; ^\; \{2\}\}\; \{7\}\}\}$	519.2679	2
Составной	$(7\; +\; 2\; +\; 1\; +\; 11\; +\; 6\; +\; 5\; +\; 3\; +\; 4\; +\; 7\; +\; 6\; +\; 10\; +\; 7\; +\; 3\; +\; 11\; +\; 4)\; 2\; 15\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(7\; +\; 2\; +\; 1\; +\; 11\; +\; 6\; +\; 5\; +\; 3\; +\; 4\; +\; 7\; +\; 6\; +\; 10\; +\; 7\; +\; 3\; +\; 11\; +\; 4)\; ^\; \{2\}\}\; \{15\}\}\}$	504,6	1

Наконец, суммы квадратов отклонений, необходимые для дисперсионного анализа можно рассчитать.

Фактор	Сумма	$\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$	Итого	Окружающая среда	Удобрение	Удобрение × Окружающая среда	Остаточный
Индивидуальный	641	15	1				1
Удобрение × Окружающая среда	556,1667	6				1	-1
Удобрение	525,4	3			1	-1
Среда	519,2679	2		1		-1
Составной	504,6	1	-1	-1	-1	1
Квадратные отклонения			136,4	14,668	20,8	16,099	84,833
Степени свободы			14	1	2	2	9

• Абсолютное отклонение
• Алгоритмы вычисления дисперсии
• Ошибки и невязки
• Наименьшие квадраты
• Среднеквадратичная ошибка
• Остаточная сумма квадратов
• Разложение по дисперсии

1. ^Mood Graybill: Введение в теорию статистики (McGraw Hill)