Интегралы Слейтера

редактировать

В математике и математической физике интегралы Слейтера представляют собой определенные интегралы произведений трех сферических гармоник. Они возникают естественным образом при применении ортонормированного базиса функций на единичной сфере, которые преобразуются определенным образом при вращениях в трех измерениях. Такие интегралы особенно полезны при вычислении свойств атомов, имеющих естественную сферическую симметрию. Эти интегралы определены ниже вместе с некоторыми их математическими свойствами.

Формулировка

В связи с квантовой теорией атомной структуры, Джон С. Слейтер определил интеграл трех сферические гармоники как коэффициент $c {\ displaystyle c}$ $c$ . Эти коэффициенты, по сути, являются произведением двух 3jm-символов Вигнера.

ck (ℓ, m, ℓ ′, m ′) = ∫ d 2 Ω Y ℓ m (Ω) ∗ Y ℓ ′ m ′ (Ω) Y км - m ′ (Ω) {\ displaystyle c ^ {k} (\ ell, m, \ ell ', m') = \ int d ^ {2} \ Omega \ Y _ {\ ell} ^ {m} (\ Omega) ^ {*} Y _ {\ ell '} ^ {m'} (\ Omega) Y_ {k} ^ {m-m '} (\ Omega)}

c^{k}(\ell,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega)^{*}Y_{{\ell '}}^{{m'}}(\Omega)Y_{k}^{{m-m'}}(\Omega)

Эти интегралы полезны и необходимы при выполнении атомных вычислений из разновидности Хартри – Фока, где необходимы матричные элементы кулоновского оператора и оператора обмена. Для явной формулы можно использовать формулу Гаунта для связанных многочленов Лежандра.

Обратите внимание, что произведение двух сферических гармоник можно записать в терминах этих коэффициентов. Разложив такое произведение на базис сферической гармоники с тем же порядком

Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ = ∑ ℓ ″ A ^ ℓ ″ (ℓ, m, ℓ ′, m ′,) Y ℓ ″ м + м ', {\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} Y _ {\ ell'} ^ {m '} = \ sum _ {\ ell' '} {\ hat {A}} ^ {\ ell ''} (\ ell, m, \ ell ', m',) Y _ {\ ell ''} ^ {m + m '},}

Y_{\ell }^{m}Y_{{\ell '}}^{{m'}}=\sum _{{\ell ''}}{\hat {A}}^{{\ell ''}}(\ell,m,\ell ',m',)Y_{{\ell ''}}^{{m+m'}},

затем можно умножить на $Y ∗ { \ displaystyle Y ^ {*}}$ $Y^{*}$ и проинтегрируем, используя свойство сопряжения и осторожно с фазами и нормализацией:

∫ Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ YL - M d 2 Ω = (- 1) m + m ′ A ^ L (ℓ, m, ℓ ′, m ′) = (- 1) mc L (ℓ, - m, ℓ ′, m ′). {\ displaystyle \ int Y _ {\ ell} ^ {m} Y _ {\ ell '} ^ {m'} Y_ {L} ^ {- M} d ^ {2} \ Omega = (- 1) ^ {m + m '} {\ hat {A}} ^ {L} (\ ell, m, \ ell', m ') = (- 1) ^ {m} c ^ {L} (\ ell, -m, \ ell ', m').}

\int Y_{\ell }^{m}Y_{{\ell '}}^{{m'}}Y_{{L}}^{{-M}}d^{2}\Omega =(-1)^{{m+m'}}{\hat {A}}^{{L}}(\ell,m,\ell ',m')=(-1)^{{m}}c^{L}(\ell,-m,\ell ',m').

Следовательно,

Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ = ∑ ℓ ″ (- 1) m ′ c ℓ ″ (ℓ, - m, ℓ ′, m ′,) Y ℓ ″ М + м ', {\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} Y _ {\ ell'} ^ {m '} = \ sum _ {\ ell' '} (- 1) ^ {m'} c ^ {\ ell ''} (\ ell, -m, \ ell ', m',) Y _ {\ ell ''} ^ {m + m '},}

Y_{\ell }^{m}Y_{{\ell '}}^{{m'}}=\sum _{{\ell ''}}(-1)^{{m'}}c^{{\ell ''}}(\ell,-m,\ell ',m',)Y_{{\ell ''}}^{{m+m'}},

Эти коэффициенты подчиняются ряду тождеств. Среди них

ck (ℓ, m, ℓ ′, m ′) = ck (ℓ, - m, ℓ ′, - m ′) = (- 1) m - m ′ ck (ℓ ′, m ′, ℓ, m) = (- 1) m - m ′ 2 ℓ + 1 2 k + 1 c ℓ (ℓ ′, m ′, k, m ′ - m) = (- 1) m ′ 2 ℓ ′ + 1 2 k + 1 c ℓ ′ (k, m - m ′, ℓ, m). ∑ м знак равно - ℓ ℓ с К (ℓ, м, ℓ, м) = (2 ℓ + 1) δ К, 0. ∑ m = - ℓ ℓ ∑ m ′ = - ℓ ′ ℓ ′ ck (ℓ, m, ℓ ′, m ′) 2 = (2 ℓ + 1) (2 ℓ ′ + 1) ⋅ ck (ℓ, 0, ℓ ′, 0). ∑ m = - ℓ ℓ c k (ℓ, m, ℓ ′, m ′) 2 = 2 ℓ + 1 2 ℓ ′ + 1 ⋅ c k (ℓ, 0, ℓ ′, 0). ∑ m = - ℓ ℓ ck (ℓ, m, ℓ ′, m ′) ck (ℓ, m, ℓ ~, m ′) = δ ℓ ′, ℓ ~ ⋅ 2 ℓ + 1 2 ℓ ′ + 1 ⋅ ck ( ℓ, 0, ℓ ′, 0). ∑ mck (ℓ, m + r, ℓ ′, m) ck (ℓ, m + r, ℓ ~, m) = δ ℓ, ℓ ~ ⋅ (2 ℓ + 1) (2 ℓ ′ + 1) 2 k + 1 ⋅ ck (ℓ, 0, ℓ ′, 0). ∑ mck (ℓ, m + r, ℓ ′, m) cq (ℓ, m + r, ℓ ′, m) = δ k, q ⋅ (2 ℓ + 1) (2 ℓ ′ + 1) 2 k + 1 ⋅ ck (ℓ, 0, ℓ ′, 0). {\ displaystyle {\ begin {align} c ^ {k} (\ ell, m, \ ell ', m') = c ^ {k} (\ ell, -m, \ ell ', -m') \ \ = (- 1) ^ {m-m '} c ^ {k} (\ ell', m ', \ ell, m) \\ = (- 1) ^ {m-m'} {\ sqrt {\ frac {2 \ ell +1} {2k + 1}}} c ^ {\ ell} (\ ell ', m', k, m'-m) \\ = (- 1) ^ {m ' } {\ sqrt {\ frac {2 \ ell '+1} {2k + 1}}} c ^ {\ ell'} (k, m-m ', \ ell, m). \\\ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} c ^ {k} (\ ell, m, \ ell, m) = (2 \ ell +1) \ delta _ {k, 0}. \\\ sum _ { m = - \ ell} ^ {\ ell} \ sum _ {m '= - \ ell'} ^ {\ ell '} c ^ {k} (\ ell, m, \ ell', m ') ^ {2 } = {\ sqrt {(2 \ ell +1) (2 \ ell '+1)}} \ cdot c ^ {k} (\ ell, 0, \ ell', 0). \\\ sum _ { m = - \ ell} ^ {\ ell} c ^ {k} (\ ell, m, \ ell ', m') ^ {2} = {\ sqrt {\ frac {2 \ ell +1} {2 \ ell '+1}}} \ cdot c ^ {k} (\ ell, 0, \ ell', 0). \\\ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} c ^ {k} (\ ell, m, \ ell ', m') c ^ {k} (\ ell, m, {\ tilde {\ ell}}, m ') = \ delta _ {\ ell', {\ tilde { \ ell}}} \ cdot {\ sqrt {\ frac {2 \ ell +1} {2 \ ell '+1}}} \ cdot c ^ {k} (\ ell, 0, \ ell', 0). \\\ sum _ {m} c ^ {k} (\ ell, m + r, \ ell ', m) c ^ {k} (\ ell, m + r, {\ tilde {\ ell}}, m) = \ delta _ {\ ell, {\ tilde {\ ell}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {(2 \ ell +1) (2 \ ell '+1)}} {2k + 1} } \ cdot c ^ {k} (\ ell, 0, \ ell ', 0). \\\ sum _ {m} c ^ {k} (\ ell, m + r, \ ell ', m) c ^ {q} (\ ell, m + r, \ ell', m) = \ delta _ {k, q} \ cdot { \ frac {\ sqrt {(2 \ ell +1) (2 \ ell '+1)}} {2k + 1}} \ cdot c ^ {k} (\ ell, 0, \ ell', 0). \ end {align}}}

{\begin{aligned}c^{k}(\ell,m,\ell ',m')=c^{k}(\ell,-m,\ell ',-m')\\=(-1)^{{m-m'}}c^{k}(\ell ',m',\ell,m)\\=(-1)^{{m-m'}}{\sqrt {{\frac {2\ell +1}{2k+1}}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\=(-1)^{{m'}}{\sqrt {{\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}}c^{{\ell '}}(k,m-m',\ell,m).\\\sum _{{m=-\ell }}^{{\ell }}c^{k}(\ell,m,\ell,m)=(2\ell +1)\delta _{{k,0}}.\\\sum _{{m=-\ell }}^{\ell }\sum _{{m'=-\ell '}}^{{\ell '}}c^{k}(\ell,m,\ell ',m')^{2}={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell,0,\ell ',0).\\\sum _{{m=-\ell }}^{\ell }c^{k}(\ell,m,\ell ',m')^{2}={\sqrt {{\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}}\cdot c^{k}(\ell,0,\ell ',0).\\\sum _{{m=-\ell }}^{\ell }c^{k}(\ell,m,\ell ',m')c^{k}(\ell,m,{\tilde \ell },m')=\delta _{{\ell ',{\tilde \ell }}}\cdot {\sqrt {{\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}}\cdot c^{k}(\ell,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell,m+r,{\tilde \ell },m)=\delta _{{\ell,{\tilde \ell }}}\cdot {\frac {{\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell,m+r,\ell ',m)=\delta _{{k,q}}\cdot {\frac {{\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell,0,\ell ',0).\end{aligned}}

Библиография

^Джон С. Слейтер, Квантовая теория атомной структуры, McGraw-Hill (Нью-Йорк, 1960), том I