Функция стандартной детали

редактировать

В нестандартный анализ функция стандартной детали является функцией от ограниченных (конечных) гиперреалистических чисел до действительных чисел. Вкратце, стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное до ближайшего действительного. Он ассоциирует с каждым таким гиперреальным $x {\ displaystyle x}$ $x$ уникальное действительное $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ , бесконечно близкое к нему, т. Е. $x - x 0 {\ displaystyle x-x_ {0}}$ $x-x_ {0}$ является бесконечно малым. Таким образом, это математическая реализация исторической концепции адекватности, введенной Пьером де Ферма, а также трансцендентального закона Лейбница. однородность.

Стандартная функция детали была впервые определена Абрахамом Робинсоном, который использовал обозначение $∘ x {\ displaystyle {} ^ {\ circ} x}$ ${} ^ {{\ circ}} x$ для стандарта часть гиперреального $x {\ displaystyle x}$ $x$ (см. Робинсон 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении таких понятий исчисления, как непрерывность, производная и интеграл, в нестандартном анализе. Последняя теория представляет собой строгую формализацию вычислений с бесконечно малыми. Стандартная часть x иногда называется его тенью .

Содержание

1 Определение
2 Не внутреннее
3 Приложения
- 3.1 Производная
- 3.2 Интегральная
- 3.3 Предел
- 3.4 Непрерывность
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

Определение

Стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное число до ближайшего действительного числа. «Микроскоп бесконечно малых» используется для просмотра бесконечно малых окрестностей стандартного действительного объекта.

Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой $R ⊂ ∗ R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ subset {} ^ {\ ast } \ mathbb {R}}$ ${\ mathbb {R}} \ подмножество {} ^ {{\ ast}} {\ mathbb {R}}$ , где гиперреальные значения $∗ R {\ displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$ ${} ^ {{\ ast}} {\ mathbb {R}}$ являются упорядоченным полем расширением вещественных чисел $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ и содержат бесконечно малые числа в дополнение к действительным числам. В гиперреальной строке каждое действительное число имеет набор чисел (называемый монадой или гало ) бесконечно близких гиперреалов. Стандартная функция части ассоциируется с конечным гиперреальным x, уникальным стандартным вещественным числом x 0, которое бесконечно близко к нему. Взаимосвязь символически выражается записью

s t (x) = x 0. {\ displaystyle \, \ mathrm {st} (x) = x_ {0}.}

\, {\ mathrm {st}} (x) = x_ {0}.

Стандартная часть любого бесконечно малого равна 0. Таким образом, если N бесконечное сверхъестественное, то 1 / N бесконечно малая, а st (1 / N) = 0.

Если гиперреальное $u {\ displaystyle u}$ $u$ представлено последовательностью Коши $⟨un: n ∈ N⟩ {\ displaystyle \ langle u_ {n}: n \ in \ mathbb {N} \ rangle}$ $\ langle u_ {n}: n \ in {\ mathbb {N}} \ rangle$ в конструкции ultrapower, затем

st (u) = lim n → ∞ un. {\ displaystyle {\ text {st}} (u) = \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n}.}

{\ text {st}} (u) = \ lim _ {{n \ to \ infty}} u_ {n}.

В целом, каждое конечное $u ∈ ∗ R {\ displaystyle u \ в {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$ $u \ in {} ^ {{\ ast}} {\ mathbb {R}}$ определяет разрез Дедекинда на подмножестве $R ⊂ ∗ R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ subset {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$ ${\ mathbb {R}} \ подмножество {} ^ {{\ ast}} {\ mathbb {R}}$ (через общий порядок на $∗ R {\ displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$ ${} ^ {{\ ast}} {\ mathbb {R}}$ ), а соответствующее действительное число является стандартной частью u.

Не внутреннее

Стандартная функция детали "st" не определяется внутренним набором. Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самым простым является то, что его область L, представляющая собой набор ограниченных (т.е. конечных) гиперреалов, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничен (например, любым бесконечным сверхъестественным образом), L должен был бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L был внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. В качестве альтернативы диапазон «st» равен $R ⊂ ∗ R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ subset {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ mathbb {R}} \ subset {} ^ {*} {\ mathbb {R}}$ , что не является внутренним; фактически каждый внутренний набор в $∗ R {\ displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$ ${} ^ {\ ast} {\ mathbb {R}}$ , который является подмножеством $R {\ displaystyle \ mathbb {R} }$ $\ mathbb {R}$ обязательно конечно, см. (Goldblatt, 1998).

Приложения

Все традиционные понятия исчисления выражаются в терминах стандартной функции части следующим образом.

Производная

Стандартная функция части используется для определения производной функции f. Если f - вещественная функция, а h бесконечно малая, и если f ′ (x) существует, то

f ′ (x) = st ⁡ (f (x + h) - f (x) h). {\ displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \ right).}

f'(x)=\operatorname {st}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}h}\right).

В качестве альтернативы, если $y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , берется бесконечно малое приращение $Δ x {\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ и вычисляется соответствующий $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) {\ displaystyle \ Delta y = f (x + \ Delta x) -f (x)}$ $\ Delta y = f (x + \ Delta x) -f (x)$ . Один образует соотношение $Δ y Δ x {\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$ $\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}$ . Затем производная определяется как стандартная часть отношения:

dydx = st (Δ y Δ x) {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ mathrm {st} \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right)}

{\ frac {dy} {dx}} = {\ mathrm {st}} \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right)

Integral

Для данной функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ на $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , определяется интеграл $∫ abf (x) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}$ $\ int _ {a} ^ {b} f (x) dx$ как стандартная часть бесконечной суммы Римана $S (f, a, b, Δ x) {\ displaystyle S (f, a, b, \ Delta x)}$ $S (f, a, b, \ Delta x)$ когда значение $Δ x {\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ принимается бесконечно малым, используется гиперконечное разбиение интервала [a, b].

Предел

Для данной последовательности $(un) {\ displaystyle (u_ {n})}$ $(u_n)$ , ее предел определяется как $lim n → ∞ un = st (u H) {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n} = {\ text {st}} (u_ {H})}$ $\ lim _ {{n \ to \ infty}} u_ {n} = {\ text {st}} (u_ {H})$ где $H ∈ ∗ N ∖ N {\ displaystyle H \ in {} ^ {\ ast} \ mathbb {N} \ setminus \ mathbb {N}}$ $H \ в {} ^ {\ ast} {\ mathbb {N}} \ setminus {\ mathbb {N}}$ - бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть одинакова, независимо от выбранного бесконечного индекса.

Непрерывность

Действительная функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ непрерывна в реальной точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ тогда и только тогда, когда композиция $st ∘ f {\ displaystyle {\ text {st}} \ circ f}$ ${\ text {st}} \ circ f$ постоянна в ореоле из $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Подробнее см. микропрерывность.

См. Также

Примечания

Ссылки

H. Джером Кейслер. Элементарное исчисление: подход бесконечно малых. Первое издание 1976 г.; 2-е издание 1986 г. (Эта книга сейчас больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате.pdf для загрузки по адресу http: //www.math.wisc.edu / ~ keisler / calc.html.)
Роберт Голдблатт. Лекции по гиперреалам. Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике, 188. Springer -Verlag, New York, 1998.
Абрахам Робинсон. Нестандартный анализ. Перепечатка второго (1974) издания. С предисловием Вильгельмуса А. Дж. Люксембург. Вехи Принстона в математике. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx + 293 pp. ISBN 0-691-04490-2