Последовательные и параллельные пружины

редактировать

В механике две или более пружины называются последовательно, когда они соединены встык или точка-точка, и говорят, что параллельно, когда они соединены стороной рядом; в обоих случаях, чтобы действовать как одна пружина:

Последовательность		Параллельно

В более общем случае, две или более пружины включены последовательно при приложении любого внешнего напряжения к ансамблю применяется к каждой пружине без изменения величины, а величина деформации (деформации) ансамбля представляет собой сумму деформаций отдельных пружин. И наоборот, они считаются параллельными, если деформация ансамбля равна их общее напряжение, и напряжение Ансамбль - это сумма их напряжений.

Любая комбинация пружин Гука (линейного отклика), включенных последовательно или параллельно, ведет себя как одиночная пружина Гука. Формулы для объединения их физических атрибутов аналогичны тем, которые применяются к конденсаторам, подключенным последовательно или параллельно в электрической цепи.

Содержание

1 Формулы
- 1.1 Эквивалентная пружина
2 Формулы перегородки
- 2.1 Вычисление формулы пружины (эквивалентная жесткость пружины)
3 См. Также
4 Ссылки

Формулы

Эквивалентная пружина

В следующей таблице приведены формулы для пружины, которая эквивалентна системе из двух пружин, последовательно или параллельно, у которых постоянные пружины равны $k 1 {\ displaystyle k_ {1}}$ $k_ {1}$ и $k 2 {\ displaystyle k_ {2}}$ $k_ {2}$ . (соответствие $c {\ displaystyle c}$ $c$ пружины является обратной величиной $1 / k {\ displaystyle 1 / k}$ $1 / k$ от его жесткость пружины.)

Количество	Параллельно	Последовательно

Эквивалентная жесткость пружины	$keq = k 1 + k 2 {\ displaystyle k _ {\ mathrm {eq }} = k_ {1} + k_ {2}}$ ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {eq}} = k_ {1} + k_ {2}}$	$1 keq = 1 k 1 + 1 k 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {k_ {1}}} + {\ frac {1} {k_ {2}}}}$ ${\ displaystyle { \ frac {1} {k _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {k_ {1}}} + {\ frac {1} {k_ {2}}}}$
Эквивалентное соответствие	$1 ceq = 1 c 1 + 1 c 2 {\ displaystyle {\ frac { 1} {c _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {c_ {1}}} + {\ frac {1} {c_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {c _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {c_ {1}}} + {\ frac {1} { c_ {2}}}}$	$ceq = c 1 + c 2 {\ displaystyle c _ {\ mathrm {eq}} = c_ {1} + c_ {2}}$ ${\ displaystyle c _ {\ mathrm {eq}} = c_ {1} + c_ {2}}$
Прогиб (удлинение)	$xeq = x 1 = x 2 {\ displaystyle x _ {\ mathrm {eq }} = x_ {1} = x_ {2}}$ ${\ displaystyle x _ {\ mathrm {eq}} = x_ {1} = x_ {2} }$	$xeq = x 1 + x 2 {\ displaystyle x _ {\ mathrm {eq}} = x_ {1} + x_ {2}}$ ${\ displaystyle x _ {\ mathrm {eq}} = x_ {1} + x_ {2}}$
Force	$F экв = F 1 + F 2 {\ Displaystyle F _ {\ mathrm {eq}} = F_ {1} + F_ {2}}$ ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {eq}} = F_ {1} + F_ {2}}$	$F экв = F 1 = F 2 {\ Displaystyle F _ {\ mathrm {eq}} = F_ {1} = F_ {2}}$ ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {eq}} = F_ {1} = F_ {2}}$
Накопленная энергия	$E eq = E 1 + E 2 {\ displayst yle E _ {\ mathrm {eq}} = E_ {1} + E_ {2}}$ ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {eq}} = E_ {1} + E_ {2}}$	$E eq = E 1 + E 2 {\ displaystyle E _ {\ mathrm {eq}} = E_ {1} + E_ { 2}}$ ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {eq}} = E_ {1} + E_ {2}}$

Формулы разделения

Количество	Параллельно	Последовательно

Прогиб (удлинение)	$x 1 = x 2 {\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} \,}$ $x_1 = x_2 \,$	$x 1 x 2 = k 2 k 1 = c 1 c 2 {\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ frac {k_ {2}} {k_ {1}}} = {\ frac {c_ {1}} {c_ {2}}}}$ $\ frac {x_1} {x_2} = \ frac {k_2} {k_1} = \ frac {c_1} {c_2}$
Сила	$F 1 F 2 = k 1 k 2 = c 2 c 1 {\ displaystyle {\ frac {F_ {1}} {F_ {2}}} = {\ frac {k_ {1}} {k_ {2}}} = {\ frac {c_ {2}} {c_ {1) }}}}$ $\ frac {F_1} {F_2} = \ frac { k_1} {k_2} = \ frac {c_2} {c_1}$	$F 1 = F 2 {\ displaystyle F_ {1} = F_ {2} \,}$ $F_1 = F_2 \,$
Накопленная энергия	$E 1 E 2 = k 1 k 2 = c 2 c 1 { \ Displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {k_ {1}} {k_ {2}}} = {\ frac {c_ {2}} {c_ {1} }}}$ $\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {k_1} {k_2} = \ frac {c_2} {c_1}$	$E 1 E 2 = k 2 k 1 = c 1 c 2 {\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {k_ {2}} { k_ {1}}} = {\ frac {c_ {1}} {c_ {2}}}}$ $\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {k_2} {k_1} = \ frac {c_1} {c_2}$

Вывод формулы пружины (эквивалентная жесткость пружины)

Эквивалентная постоянная пружины (серия)
При установке две пружины в их положениях равновесия последовательно прикрепленные на конце к блоку, а затем смещая его из этого равновесия, каждая из пружин испытывает соответствующие смещения x 1 и x 2 для общего смещения x 1 + х 2. Мы будем искать уравнение силы, действующей на блок, которое выглядит так: $F b = - k e q (x 1 + x 2). {\ displaystyle F_ {b} = - k _ {\ mathrm {eq}} (x_ {1} + x_ {2}). \,}$ ${\ displaystyle F_ {b} = - к _ {\ mathrm {eq}} (x_ {1} + x_ {2}). \,}$ Сила, которую испытывает каждая пружина, должна быть одинаковой, иначе пружины будет прятаться. Кроме того, эта сила будет такой же, как F b. Это означает, что $F 1 = - k 1 x 1 = F 2 = - k 2 x 2. {\ displaystyle F_ {1} = - k_ {1} x_ {1} = F_ {2} = - k_ {2} x_ {2}. \,}$ $F_1 = -k_1 x_1 = F_2 = -k_2 x_2. \,$ Используя абсолютные значения, мы можем решить для $x 1 {\ displaystyle x_ {1} \,}$ $x_1 \,$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2} \,}$ $x_2 \,$ : $x 1 = F 1 k 1, x 2 = F 2 К 2 {\ Displaystyle x_ {1} ~ = ~ {\ frac {F_ {1}} {k_ {1}}} \,, \ qquad x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ { 2}} {k_ {2}}}}$ ${\ displaystyle x_ {1} ~ = ~ {\ frac {F_ {1}} {k_ {1}}} \,, \ qquad x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ {2}} {k_ {2}}}}$ , и аналогично, $x 1 + x 2 = F bkeq {\ displaystyle x_ {1} ~ + ~ x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}$ ${\ displaystyle x_ {1} ~ + ~ x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}$ . Подставляя $x 1 {\ displaystyle x_ {1} \,}$ $x_1 \,$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2} \,}$ $x_2 \,$ в последнем уравнении находим $F 1 k 1 + F 2 k 2 = F bkeq {\ displaystyle {\ frac {F_ {1}} {k_ { 1}}} ~ + ~ {\ frac {F_ {2}} {k_ {2}}} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {F_ {1}} {k_ {1}}} ~ + ~ {\ frac { F_ {2}} {k_ {2}}} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}$ . Теперь, вспоминая, что $F 1 = F 2 = F b {\ displaystyle F_ {1} ~ = ~ F_ {2} ~ = ~ F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {1} ~ = ~ F_ {2} ~ = ~ F_ {b}}$ , мы приходим к $1 keq знак равно 1 к 1 + 1 к 2. {\ displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {k_ {1}}} + {\ frac {1} {k_ {2}}}. \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac { 1} {k_ {1}}} + {\ frac {1} {k_ {2}}}. \,}$

Эквивалентная постоянная пружины (серия)

При установке две пружины в их положениях равновесия последовательно прикрепленные на конце к блоку, а затем смещая его из этого равновесия, каждая из пружин испытывает соответствующие смещения x 1 и x 2 для общего смещения x 1 + х 2. Мы будем искать уравнение силы, действующей на блок, которое выглядит так:

F b = - k e q (x 1 + x 2). {\ displaystyle F_ {b} = - k _ {\ mathrm {eq}} (x_ {1} + x_ {2}). \,}

{\ displaystyle F_ {b} = - к _ {\ mathrm {eq}} (x_ {1} + x_ {2}). \,}

Сила, которую испытывает каждая пружина, должна быть одинаковой, иначе пружины будет прятаться. Кроме того, эта сила будет такой же, как F b. Это означает, что

F 1 = - k 1 x 1 = F 2 = - k 2 x 2. {\ displaystyle F_ {1} = - k_ {1} x_ {1} = F_ {2} = - k_ {2} x_ {2}. \,}

F_1 = -k_1 x_1 = F_2 = -k_2 x_2. \,

Используя абсолютные значения, мы можем решить для $x 1 {\ displaystyle x_ {1} \,}$ $x_1 \,$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2} \,}$ $x_2 \,$ :

x 1 = F 1 k 1, x 2 = F 2 К 2 {\ Displaystyle x_ {1} ~ = ~ {\ frac {F_ {1}} {k_ {1}}} \,, \ qquad x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ { 2}} {k_ {2}}}}

{\ displaystyle x_ {1} ~ = ~ {\ frac {F_ {1}} {k_ {1}}} \,, \ qquad x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ {2}} {k_ {2}}}}

и аналогично,

x 1 + x 2 = F bkeq {\ displaystyle x_ {1} ~ + ~ x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}

{\ displaystyle x_ {1} ~ + ~ x_ {2} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}

Подставляя $x 1 {\ displaystyle x_ {1} \,}$ $x_1 \,$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2} \,}$ $x_2 \,$ в последнем уравнении находим

F 1 k 1 + F 2 k 2 = F bkeq {\ displaystyle {\ frac {F_ {1}} {k_ { 1}}} ~ + ~ {\ frac {F_ {2}} {k_ {2}}} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {F_ {1}} {k_ {1}}} ~ + ~ {\ frac { F_ {2}} {k_ {2}}} ~ = ~ {\ frac {F_ {b}} {k _ {\ mathrm {eq}}}}}

Теперь, вспоминая, что $F 1 = F 2 = F b {\ displaystyle F_ {1} ~ = ~ F_ {2} ~ = ~ F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {1} ~ = ~ F_ {2} ~ = ~ F_ {b}}$ , мы приходим к

1 keq знак равно 1 к 1 + 1 к 2. {\ displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {k_ {1}}} + {\ frac {1} {k_ {2}}}. \,}

{\ displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac { 1} {k_ {1}}} + {\ frac {1} {k_ {2}}}. \,}

Эквивалентная постоянная пружины (параллельная)

В этом случае обе пружины касаются блока, и независимо от расстояния, сжимаемого пружиной 1, должна быть одинаковая величина сжатия пружины 2.

Тогда сила, действующая на блок, равна:

$F b {\ displaystyle F_ {b} \,}$ $F_b \,$	$= F 1 + F 2 {\ displaystyle = F_ {1} + F_ {2} \, }$ $= F_1 + F_2 \,$
	$= - k 1 x - k 2 x {\ displaystyle = -k_ {1} x-k_ {2} x \,}$ $= -k_1 x - k_2 x \,$

Таким образом, сила, действующая на блок, равна

F b = - ( к 1 + к 2) х. {\ displaystyle F_ {b} = - (k_ {1} + k_ {2}) x. \,}

F_b = - (k_1 + k_2) х. \,

Вот почему мы можем определить эквивалентную жесткость пружины как

k e q = k 1 + k 2. {\ displaystyle k _ {\ mathrm {eq}} = k_ {1} + k_ {2}. \,}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {eq}} = k_ {1} + k_ {2}. \,}

Расстояние в сжатом состоянии

В случае, когда две пружины включены последовательно, сила пружин на каждую остальные равны:

F 1 = F 2 {\ displaystyle F_ {1} = F_ {2} \,}

F_1 = F_2 \,

- k 1 x 1 = - k 2 x 2. {\ displaystyle -k_ {1} x_ {1} = - k_ {2} x_ {2}. \,}

-k_1 x_1 = -k_2 x_2. \,

Отсюда мы получаем соотношение между сжатыми расстояниями для случая in series :

х 1 х 2 = k 2 k 1. {\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ frac {k_ {2}} {k_ {1}}}. \,}

\ frac {x_1} {x_2} = \ frac {k_2} {k_1}. \,

Накопленная энергия
Для series case, соотношение энергии, запасенной в пружинах, равно: $E 1 E 2 = 1 2 k 1 x 1 2 1 2 k 2 x 2 2, {\ displaystyle {\ frac {E_ { 1}} {E_ {2}}} = {\ frac {{\ frac {1} {2}} k_ {1} x_ {1} ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} k_ {2} x_ {2} ^ {2}}}, \,}$ $\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {\ frac {1} {2} k_1 x_1 ^ 2} {\ frac {1} {2} k_2 x_2 ^ 2}, \,$ , но существует связь между x 1 и x 2, полученными ранее, поэтому мы можем подключить что в: $E 1 E 2 = k 1 k 2 (k 2 k 1) 2 = k 2 k 1. {\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {k_ {1}} {k_ {2}}} \ left ({\ frac {k_ {2}} {k_ {1}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {k_ {2}} {k_ {1}}}. \,}$ $\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {k_1} {k_2} \ left (\ frac {k_2} {k_1} \ right) ^ 2 = \ frac {k_2} {k_1}. \,$ Для случая параллельного, $E 1 E 2 знак равно 1 2 К 1 Икс 2 1 2 К 2 Икс 2 {\ Displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {{\ frac {1} {2} } k_ {1} x ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} k_ {2} x ^ {2}}} \,}$ $\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {\ frac {1} {2} k_1 x ^ 2} {\ frac {1} {2} k_2 x ^ 2} \,$ потому что сжатое расстояние пружин такое же, это упрощается до $E 1 E 2 = k 1 k 2. {\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {k_ {1}} {k_ {2}}}. \,}$ $\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {k_1} {k_2}. \,$

Накопленная энергия

Для series case, соотношение энергии, запасенной в пружинах, равно:

E 1 E 2 = 1 2 k 1 x 1 2 1 2 k 2 x 2 2, {\ displaystyle {\ frac {E_ { 1}} {E_ {2}}} = {\ frac {{\ frac {1} {2}} k_ {1} x_ {1} ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} k_ {2} x_ {2} ^ {2}}}, \,}

\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {\ frac {1} {2} k_1 x_1 ^ 2} {\ frac {1} {2} k_2 x_2 ^ 2}, \,

, но существует связь между x 1 и x 2, полученными ранее, поэтому мы можем подключить что в:

E 1 E 2 = k 1 k 2 (k 2 k 1) 2 = k 2 k 1. {\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {k_ {1}} {k_ {2}}} \ left ({\ frac {k_ {2}} {k_ {1}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {k_ {2}} {k_ {1}}}. \,}

\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {k_1} {k_2} \ left (\ frac {k_2} {k_1} \ right) ^ 2 = \ frac {k_2} {k_1}. \,

Для случая параллельного,

E 1 E 2 знак равно 1 2 К 1 Икс 2 1 2 К 2 Икс 2 {\ Displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {{\ frac {1} {2} } k_ {1} x ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} k_ {2} x ^ {2}}} \,}

\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {\ frac {1} {2} k_1 x ^ 2} {\ frac {1} {2} k_2 x ^ 2} \,

потому что сжатое расстояние пружин такое же, это упрощается до

E 1 E 2 = k 1 k 2. {\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {E_ {2}}} = {\ frac {k_ {1}} {k_ {2}}}. \,}

\ frac {E_1} {E_2} = \ frac {k_1} {k_2}. \,

См. также

Ссылки