Войти
A. Р. Форухи и И. Блумер вывели дисперсионные уравнения для показателя преломления n и коэффициента экстинкции k, которые были опубликованы в 1986 и 1988 гг. Публикация 1986 г. относится к аморфным материалам, а публикация 1988 г. к кристаллическому. Впоследствии, в 1991 году, их работа была включена в качестве главы в «Справочник оптических констант». Дисперсионные уравнения Фороуи – Блумера описывают, как фотоны различной энергии взаимодействуют с тонкими пленками. При использовании со спектроскопическим инструментом рефлектометрии дисперсионные уравнения Фороуи – Блумера определяют значения n и k для аморфных и кристаллических материалов как функцию энергии фотона E. Значения n и k как функции энергии фотона, E, называются спектрами n и k, которые также могут быть выражены как функции длины волны света λ, поскольку E = hc / λ. Символ h представляет постоянную Планка, а c - скорость света в вакууме. Вместе n и k часто называют «оптическими константами» материала (хотя они не являются константами, поскольку их значения зависят от энергии фотонов).
Вывод дисперсионных уравнений Форухи – Блумера основан на получении выражения для k как функции энергии фотона, символически записанного как k (E), исходя из первых принципов квантовой механики и физики твердого тела. Выражение для n как функции энергии фотона, символически записанное как n (E), затем определяется из выражения для k (E) в соответствии с соотношениями Крамерса-Кронига, в которых говорится, что n (E) является преобразованием Гильберта функции k (E).
Дисперсионные уравнения Форухи – Блумера для n (E) и k (E) аморфных материалов имеют следующий вид:
Каждый из пяти параметров A, B, C, E g и n (∞) имеет физическое значение. E g - ширина запрещенной зоны материала в оптическом диапазоне. A, B и C зависят от полосовой структуры материала. Это положительные константы, такие что 4C-B>0. Наконец, n (∞), константа больше единицы, представляет значение n при E = ∞. Параметры B 0 и C 0 в уравнении для n (E) не являются независимыми параметрами, но зависят от A, B, C и E g. Они задаются следующим образом:
где
Таким образом, для аморфных материалов всего пяти параметров достаточно, чтобы полностью описать зависимость как n и k - энергия фотона, E.
Для кристаллических материалов, которые имеют несколько пиков в их спектрах n и k, дисперсионные уравнения Форухи – Блумера могут быть расширены следующим образом:
Количество терминов в каждая сумма q равна количеству пиков в n- и k-спектрах материала. Каждый член в сумме имеет свои собственные значения параметров A, B, C, E g, а также свои собственные значения B 0 и C 0. Подобно аморфному случаю, все термины имеют физическое значение.
Показатель преломления (n) и коэффициент ослабления (k) связаны с взаимодействием между материалом и падающим светом и связаны с преломлением и поглощением (соответственно). Их можно рассматривать как «отпечатки пальцев». Покрытия из тонкопленочного материала на различных подложках обеспечивают важные функциональные возможности для индустрии микротехнологий, причем n, k, а также толщина t этих материалов составляющие тонкой пленки должны измеряться и контролироваться, чтобы обеспечить повторяемость производства.
Изначально ожидалось, что дисперсионные уравнения Фороуи – Блумера для n и k будут применяться к полупроводникам и диэлектрикам в аморфном, поликристаллическом или кристаллическом состоянии., они, как было показано, описывают n- и k-спектры прозрачных проводников, а также металлических соединений. Было обнаружено, что формализм для кристаллических материалов применим также к полимерам, которые состоят из длинных цепочек молекул, которые не образуют кристаллографическую структуру в в классическом смысле.
В литературе можно найти другие модели дисперсии, которые можно использовать для получения n и k, такие как Таука-Лоренца. Две хорошо известные модели - Коши и Селлмайер - предоставить эмпирические выражения для n, действительные в ограниченном диапазоне измерений и полезные только для непоглощающих пленок, где k = 0. Следовательно, формулировка Форухи-Блумера использовалась для измерения тонких пленок в различных приложениях.
В следующих обсуждениях все переменные энергии фотона E будут описаны в терминах длины волны света λ, поскольку экспериментально переменные, связанные с тонкими пленками, обычно измеряются по спектру длин волн. Спектры n и k тонкой пленки нельзя измерить напрямую, они должны быть определены косвенно, исходя из измеряемых величин, которые от них зависят. Спектроскопическая отражательная способность R (λ) является одной из таких измеримых величин. Другой - спектроскопический коэффициент пропускания T (λ), применимый, когда подложка прозрачна. Спектроскопический коэффициент отражения тонкой пленки на подложке представляет собой отношение интенсивности света, отраженного от образца, к интенсивности падающего света, измеренной в диапазоне длин волн, тогда как спектроскопический коэффициент пропускания, T (λ), представляет собой отношение интенсивности от света, прошедшего через образец, до интенсивности падающего света, измеренной в диапазоне длин волн; как правило, также будет отраженный сигнал R (λ), сопровождающий T (λ).
Измеряемые величины R (λ) и T (λ) зависят не только от n (λ) и k (λ) пленки, но также от толщины пленки, t и n (λ), и k (λ) подложки. Для кремниевой подложки значения n (λ) и k (λ) известны и принимаются в качестве заданного входа. Задача определения характеристик тонких пленок включает извлечение t, n (λ) и k (λ) пленки из измерения R (λ) и / или T (λ). Этого можно достичь, комбинируя дисперсионные уравнения Форухи – Блумера для n (λ) и k (λ) с уравнениями Френеля для отражения и пропускания света на границе раздела, чтобы получить теоретические, физически обоснованные выражения для отражения и пропускания. При этом задача сводится к извлечению пяти параметров A, B, C, E g и n (∞), которые составляют n (λ) и k (λ), а также толщину пленки, t, используя процедуру аппроксимации нелинейного регрессионного анализа методом наименьших квадратов. Процедура подгонки влечет за собой итеративное улучшение значений A, B, C, E g, n (∞), t, чтобы уменьшить сумму квадратов ошибок между теоретическими R ( λ) или теоретическое T (λ) и измеренный спектр R (λ) или T (λ).
Помимо спектроскопической отражательной способности и пропускания, спектроскопическая эллипсометрия также может использоваться аналогичным образом для характеристики тонких пленок и определения t, n (λ) и k (λ).
Следующие примеры демонстрируют универсальность использования дисперсионных уравнений Форухи – Блумера для характеристики тонких пленок с использованием инструмента, основанного на спектроскопической отражательной способности при падении, близком к нормальному. Спектроскопическое пропускание, близкое к нормальному, также используется, когда подложка прозрачна. Спектры n (λ) и k (λ) каждой пленки получают вместе с толщиной пленки в широком диапазоне длин волн от глубокого ультрафиолета до длин волн ближнего инфракрасного (190–1000 нм).
В следующих примерах обозначения для теоретической и измеренной отражательной способности на спектральных графиках выражаются как «R-теор» и «R-измер.» Соответственно.
Ниже приведены схемы, изображающие процесс измерения тонких пленок:
Уравнения дисперсии Форухи – Блумера в сочетании с Строгим анализом связанных волн (RCWA) также были использованы для получения подробного профиля информация (глубина, КД, угол боковой стенки) траншейных конструкций. Чтобы извлечь информацию о структуре, данные поляризованного широкополосного отражения, Rs и Rp, должны быть собраны в большом диапазоне длин волн из периодической структуры (решетки), а затем проанализированы с помощью модели, которая включает дисперсию Форухи-Блумера. уравнения и RCWA. Входные данные в модель включают шаг решетки и n- и k-спектры всех материалов в структуре, в то время как выходные данные могут включать глубину, компакт-диски в нескольких местах и даже угол боковой стенки. Спектры n и k таких материалов могут быть получены в соответствии с методологией, описанной в этом разделе для измерения тонких пленок.
Ниже представлены схемы, изображающие процесс измерения траншейных конструкций. Далее следуют примеры измерения траншеи.
Пр. 1: Спектры отражения, полученные в диапазоне длин волн 190–1000 нм для пленки аморфного кремния (a-Si) на подложке из окисленного кремния (SiO 2 / Si-Sub), плюс n (λ) и k (λ) спектры пленки a-Si. Толщина пленки составила 1147 нм. Толщины пленок a-Si и SiO 2, а также спектры n (λ) и k (λ) a-Si определялись одновременно. Спектры n (λ) и k (λ) пленки SiO 2 оставались фиксированными. 
Пр. 1: Аморфные материалы обычно имеют один широкий максимум в спектрах n (λ) и k (λ). Когда материал переходит из аморфного состояния в полностью кристаллическое состояние, широкий максимум становится более резким, и в спектрах n (λ) и k (λ) начинают появляться другие острые пики. Это продемонстрировано для случая превращения аморфного кремния в поликремний и дальнейшего развития в кристаллический кремний. Пример 1 показывает один широкий максимум в спектрах n (λ) и k (λ) пленки a-Si, так как ожидается для аморфных материалов. Когда материал переходит в сторону кристалличности, широкий максимум сменяется несколькими более резкими пиками в его спектрах n (λ) и k (λ), как показано на графиках.
Когда измерение включает две или более пленки в стопке пленок, теоретическое выражение для коэффициента отражения необходимо расширить, чтобы включить спектры n (λ) и k (λ) плюс толщина t каждой пленки.. Однако регрессия может не сходиться к уникальным значениям параметров из-за нелинейного характера выражения для отражательной способности. Так что полезно исключить некоторые из неизвестных. Например, спектры n (λ) и k (λ) одной или нескольких пленок могут быть известны из литературы или предыдущих измерений и удерживаться фиксированными (не могут изменяться) во время регрессии. Для получения результатов, показанных в Примере 1, спектры n (λ) и k (λ) слоя SiO 2 были фиксированы, а другие параметры, n (λ) и k (λ) -Si, плюс толщины как a-Si, так и SiO 2 можно было изменять.
Пример. 2: Спектры отражения, собранные в диапазоне длин волн 190–1000 нм для пленки фоторезиста на кремниевой подложке, плюс спектры n (λ) и k (λ) фоторезиста. Толщина пленки составила 498 нм. Толщина и спектры n (λ) и k (λ) фоторезиста были определены одновременно. Полимеры, такие как фоторезист, состоят из длинных цепочек молекул, которые не образуют кристаллографической структуры в классический смысл. Однако их спектры n (λ) и k (λ) демонстрируют несколько острых пиков, а не широкий максимум, ожидаемый для некристаллических материалов. Таким образом, результаты измерений для полимера основаны на формуле Форухи – Блумера для кристаллических материалов. Большая часть структуры в спектрах n (λ) и k (λ) находится в глубоком УФ-диапазоне, и, таким образом, чтобы правильно охарактеризовать пленку такого рода, необходимо, чтобы измеренные данные коэффициента отражения в глубоком УФ-диапазоне были точными.
На рисунке показан пример измерения материала фоторезиста (полимера), используемого для микролитографии с длиной волны 248 нм. Шесть членов использовались в уравнениях Форухи-Блумера для кристаллических материалов, чтобы соответствовать данным и достичь результатов.
Пр. 3: Спектры отражения и пропускания в диапазоне 190–1000 нм для стеклянной подложки без покрытия. Обратите внимание, что T = 0 для стеклянной подложки в DUV, что указывает на поглощение в этом диапазоне спектра. Обнаружено, что значение k (λ) в диапазоне длин волн глубокого УФ-излучения порядка k = 3x10, и это небольшое ненулевое значение согласуется с Т = 0 в глубоком УФ-диапазоне. 
Пр. 3: Спектры отражения и пропускания в диапазоне 190–1000 нм ITO, нанесенного на стеклянную подложку, описанную выше, плюс спектры n (λ) и k (λ) пленки ITO. Толщина ITO 133 нм и его спектры n (λ) и k (λ) были одновременно определены путем подгонки измеренных спектров отражения и пропускания к теоретическим выражениям этих величин с использованием уравнений Форухи – Блумера. Оксид индия и олова (ITO) представляет собой проводящий материал с необычным свойством прозрачности, поэтому он широко используется в индустрии плоских дисплеев. Измерения отражения и пропускания стеклянной подложки без покрытия были необходимы для определения ранее неизвестных спектров стекла n (λ) и k (λ). Затем одновременно измеряли коэффициент отражения и пропускание ITO, нанесенного на одну и ту же стеклянную подложку, и анализировали с использованием уравнений Форухи-Блумера.
Как и ожидалось, k (λ) спектр ITO равен нулю в видимом диапазоне длин волн, поскольку ITO является прозрачным. Поведение k (λ) спектра ITO в ближнем инфракрасном (NIR) и инфракрасном (IR) диапазонах длин волн напоминает поведение металла: ненулевое значение в NIR-диапазоне 750–1000 нм (трудно различить в ближнем ИК-диапазоне). графики, поскольку его значения очень малы) и достигают максимального значения в ИК-диапазоне (λ>1000 нм). Среднее значение k пленки ITO в ближнем и инфракрасном диапазоне составляет 0,05.
Пр. 4. Мультиспектральный анализ был использован для анализа спектров отражения пленки Ge 40Se60, осажденной на двух разных подложках: подложках как кремния, так и окисленного кремния. Измерения дали одиночные спектры n (λ) и k (λ) Ge 40Se60. Была обнаружена толщина 33,6 нм для Ge 40Se60на окисленной кремниевой подложке, в то время как толщина Ge 40Se60на кремниевой подложке составила 34,5 нм. Вдобавок толщина оксидного слоя была определена как 166 нм. При работе со сложными пленками в некоторых случаях параметры не могут быть определены однозначно. Чтобы ограничить решение набором уникальных значений, можно использовать метод, включающий мультиспектральный анализ. В простейшем случае это влечет за собой нанесение пленки на две разные подложки и затем одновременный анализ результатов с использованием дисперсионных уравнений Форухи – Блумера.
Например, однократное измерение коэффициента отражения Ge 40Se60/ Si в диапазоне 190–1000 нм не дает уникальных спектров n (λ) и k (λ) пленки. Однако эта проблема может быть решена путем нанесения той же пленки Ge 40Se60на другую подложку, в данном случае окисленного кремния, и последующего одновременного анализа данных измерения коэффициента отражения для определения:
Пр. 5: Траншевая конструкция, состоящая из различных пленок и сложного профиля. Пленка Poly-Si измерялась на площади бланкета образца, и ее n- и k-спектры определялись на основе дисперсионных уравнений Фороуи – Блумера. Использовалась фиксированная таблица значений n- и k-спектров пленок SiO 2 и Si 3N4. Имея под рукой n- и k-спектры этих пленок и используя строгий анализ связанных волн (RCWA), затем определяют толщину пленки, различную глубину (высоту) внутри траншеи и CD. 
Пр. 5: Измеренные коэффициенты отражения Rs и Rp, полученные на сложной траншейной структуре. Структура желоба, изображенная на соседней диаграмме, повторяется с интервалами 160 нм, то есть имеет заданный шаг 160 нм. Траншея состоит из следующих материалов:
Для анализа структуры необходимы точные значения n и k для этих материалов. Часто на образце траншеи с пленкой требуется покрытие. Представляет интерес для измерения. В этом примере спектр отражения поликремния был измерен на бланкете, содержащем поликремний, из которого его спектры n и k были определены в соответствии с методологией, описанной в этой статье который использует дисперсионные уравнения Фороуи – Блумера. Для пленок SiO 2 и Si 3N4использовались фиксированные таблицы значений n и k.
Объединение спектров n и k пленок с помощью строгого анализа связанных волн (RCWA) были определены следующие критические параметры (также с результатами измерений):
| Измеренный параметр | Результаты | |
|---|---|---|
| 1 | Глубина Si | 27,4 нм |
| 2 | CD @ Top of Si | 26,4 нм |
| 3 | SiO 2 Ширина лайнера | 40,2 нм |
| 4 | Si3N4Высота | 28 нм |
| 3 | Ширина поли-Si | 92,6 нм |
| 3 | Высота поли-Si | 85,6 нм |
![C_ {0} = {\ frac {A} {Q}} \ \ left [({E_ {g}} ^ {2} + C) {\ frac {B} {2}} \ -2E_ { g} C \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa9b806311c61380349a55d22e33a8a3e740e47)
![k (E) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {q} \ left [{\ frac {A_ {i} (E-E _ {{g_ {i }}}) ^ {2}} {E ^ {2} -B_ {i} E + C_ {i}}} \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ded4534ad3d3003a0d41ad0cd80fa21ae5ac1a2)
![n (E) = n (\ infty) + \ sum _ {{i = 1}} ^ {q} \ left [{\ frac {B _ {{0_ {i}}} E + C _ {{0_ {i}}}} {E ^ {2} -B_ {i} E + C_ {i}}} \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab26d2f5af8be8b2ee137b52012ca9ef199ffe4)