Откат (когомология)

редактировать

В алгебраической топологии, задано непрерывное отображение f: X → Y топологических пространств и кольцо R, обратный образ вдоль f по теории когомологий является сохраняющим степень гомоморфизма R-алгебр:

f ∗: H ∗ (Y; R) → H ∗ (X; R) {\ displaystyle f ^ {*}: H ^ {*} (Y; R) \ to H ^ {*} (X; R)}

{\ displaystyle f ^ { *}: H ^ {*} (Y; R) \ to H ^ {*} (X; R)}

из кольца когомологий Y с коэффициенты в R относительно X. Использование верхнего индекса означает его контравариантный характер: он меняет направление карты на противоположное. Например, если X, Y - многообразия, R - поле действительных чисел, а когомологии - это когомологии де Рама, то обратный ход индуцируется обратным возвратом дифференциальных форм.

Гомотопия инвариантность когомологий утверждает, что если два отображения f, g: X → Y гомотопны друг другу, то они определяют один и тот же откат: f = g.

Напротив, толчком для когомологий де Рама, например, является интегрирование вдоль волокон.

Определение из цепных комплексов

Сначала мы рассмотрим определение когомологий двойственный цепному комплексу. Пусть R - коммутативное кольцо, C - цепной комплекс R-модулей, G - R-модуль. Так же, как можно $H * (C; G) = H * (C ⊗ RG) {\ displaystyle H _ {*} (C; G) = H _ {*} (C \ otimes _ {R} G)}$ ${\ displaystyle H _ {*} (C; G) = H _ {*} (C \ otimes _ {R} G)}$ , можно использовать

H ∗ (C; G) = H ∗ (Hom R ⁡ (C, G)) {\ displaystyle H ^ {*} (C; G) = H ^ {* } (\ operatorname {Hom} _ {R} (C, G))}

{\ displaystyle H ^ {*} (C; G) = H ^ {* } (\ operatorname {Hom} _ {R} (C, G))}

где Hom - это частный случай Hom между цепным комплексом и коцепным комплексом, причем G рассматривается как коцепной комплекс, сосредоточенный в нулевой степени.. (Чтобы сделать это строгое, нужно выбрать знаки аналогично знакам в тензорном произведении комплексов.) Например, если C - сингулярный цепной комплекс, связанный с топологическим пространством X, то это определение сингулярных когомологий X с коэффициентами в G.

Теперь пусть f: C → C '- отображение цепных комплексов (например, оно может быть индуцировано непрерывным отображением между топологическими пробелы). Тогда существует

f ∗: Hom R ⁡ (C ′, G) → Hom R ⁡ (C, G) {\ displaystyle f ^ {*}: \ operatorname {Hom} _ {R} (C ', G) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (C, G)}

f^{*}:\operatorname {Hom} _{R}(C',G)\to \operatorname {Hom} _{R}(C,G)

, что, в свою очередь, определяет

f ∗: H ∗ (C ′; G) → H ∗ (C; G). {\ displaystyle f ^ {*}: H ^ {*} (C '; G) \ to H ^ {*} (C; G).}

f^{*}:H^{*}(C';G)\to H^{*}(C;G).

Если C, C' являются сингулярными цепными комплексами пространств X, Y, то это возврат для теории сингулярных когомологий.

Ссылки

J. П. Мэй (1999), Краткий курс алгебраической топологии.
С. П. Новиков (1996), Топология I - Общий обзор.