Вектор вероятности

В математике и статистика, вектор вероятности или стохастический вектор - это вектор с неотрицательными записями, которые в сумме составляют единицу.

Положения (индексы) вектора вероятности представляют возможные результаты дискретной случайной величины, а вектор дает нам функцию массы вероятности этой случайной величины., который является стандартным способом описания дискретного распределения вероятностей.

• 1 Примеры
• 2 Геометрическая интерпретация
• 3 Свойства
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Вот несколько примеров векторов вероятности. Векторы могут быть столбцами или строками.

$x\; 0\; =\; [0,5\; 0,25\; 0,25],\; x\; 1\; =\; [0\; 1\; 0],\; x\; 2\; =\; [0,65\; 0,35],\; x\; 3\; =\; [0,3\; 0,5\; 0,07\; 0,1\; 0,03].\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0,5\; \backslash \; 0,25\; \backslash \; 0,25\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash ;\; x\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash ;\; x\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0,65\; 0,35\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash ;\; x\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0,3\; 0,5\; 0,07\; 0,1\; 0.03\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Запись векторных компонентов вектора $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$как

$p\; =\; [p\; 1\; p\; 2\; ⋮\; pn]\; или\; p\; =\; [p\; 1\; p\; 2\; \cdots \; pn]\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; p\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; p\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; p\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; quad\; p\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; p\_\; \{1\}\; p\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

компоненты вектора должны быть суммированы в один:

$\sum \; i\; =\; 1\; npi\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; p\_\; \{i\}\; =\; 1\}$

Каждый отдельный компонент должен иметь вероятность от нуля до единицы:

$0\; \le \; pi\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; leq\; 1\}$

для всех $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Следовательно, набор стохастических векторов совпадает со стандартным $(n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (n-1)\}$-симплексом. Это точка, если $n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1\}$, сегмент, если $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$, a ( закрашенный) треугольник, если $n\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\}$, a (закрашенный) тетраэдр $n\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 4\}$и т. Д.

• Среднее значение любого вектора вероятности равно $1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; n\}$.
• Самый короткий вектор вероятности имеет значение $1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; n\}$в качестве каждого компонента вектора и имеет длину $1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$.
• Самый длинный вектор вероятности имеет значение 1 в одном компоненте и 0 во всех остальных и имеет длину 1.
• Самый короткий вектор соответствует максимальной неопределенности, самый длинный - максимальной достоверности.
• Длина вектора вероятности равна $n\; \sigma \; 2\; +\; 1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; /\; n\}\}\}$; где $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$- дисперсия элементов вектора вероятности.

• Стохастическая матрица