Примитивная группа перестановок

редактировать

Группа перестановок, не сохраняющая нетривиальное разбиение

В математике, группа перестановок G , действующая на непустом конечном множестве X, называется примитивной, если G действует транзитивно на X и G не сохраняет нетривиальных разбиение X, где нетривиальное разбиение означает разбиение, которое не является разбиением на одноэлементные множества или разбиением на одно множество X. В противном случае, если G транзитивен, а G сохраняет нетривиальное разбиение, G называется импримитивный .

Хотя примитивные группы перестановок транзитивны по определению, не все транзитивные группы перестановок примитивны. Требование, чтобы примитивная группа была транзитивной, необходимо только тогда, когда X - это 2-элементное множество и действие тривиально; в противном случае условие, что G не сохраняет нетривиальное разбиение, означает, что G транзитивна. Это связано с тем, что для нетранзитивных действий либо орбиты группы G образуют нетривиальное разбиение, сохраняемое G, либо действие группы тривиально, и в этом случае любое нетривиальное разбиение X (которое существует для | X | ≥ 3) сохраняется Дж.

Эта терминология была введена Эваристом Галуа в его последнем письме, в котором он использовал французский термин équation primitive для уравнения, группа Галуа которого примитивен.

В том же письме он сформулировал также следующую теорему.

Если G является примитивной разрешимой группой, действующей на конечном множестве X, то порядок X является степенью простого числа p, X может быть идентифицирован с аффинным пространством над конечным полем с p элементами, а G действует на X как подгруппа аффинной группы.

Импримитивная группа перестановок является примером индуцированное представление ; примеры включают в себя смежный класс представления G / H в случаях, когда H не является максимальной подгруппой. Когда H максимальна, представление смежного класса примитивно.

Если множество X конечно, его мощность называется степенью G. Число примитивных групп малой степени было указано Робертом Кармайклом в 1937 году:

Степень	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	OEIS
Число	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	A000019

Существует большое количество примитивных групп степени 16. Как отмечает Кармайкл, все эти группы, за исключением симметричной и чередующейся, являются подгруппами аффинной группы в 4-мерном пространстве над 2-элементным конечным полем.

Примеры

Рассмотрим симметрическую группу $S 3 {\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ действует на множество $X = {1, 2, 3} {\ displaystyle X = \ {1,2,3 \}}$ $X = \ {1,2,3 \}$ и перестановка

η = (1 2 3 2 3 1). {\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} 1 2 3 \\ 2 3 1 \ end {pmatrix}}.}

\ eta = {\ begin {pmatrix} 1 2 3 \\ 2 3 1 \ end {pmatrix}}.

И $S 3 {\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ , и группа генерируются $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ являются примитивными.

Теперь рассмотрим симметрическую группу $S 4 {\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ , действующую на множество ${1, 2, 3, 4} { \ displaystyle \ {1,2,3,4 \}}$ $\ {1,2,3,4 \}$ и перестановка

σ = (1 2 3 4 2 3 4 1). {\ displaystyle \ sigma = {\ begin {pmatrix} 1 2 3 4 \\ 2 3 4 1 \ end {pmatrix}}.}

\ sigma = {\ begin {pmatrix} 1 2 3 4 \\ 2 3 4 1 \ end {pmatrix}}.

Группа, созданная с помощью $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , не является примитивной, поскольку раздел $(X 1, X 2) {\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2})}$ $(X_ {1}, X_ {2})$ , где $X 1 = {1, 3} {\ displaystyle X_ {1} = \ {1,3 \}}$ $X_{1}=\{1,3\}$ и $X 2 = {2, 4} {\ displaystyle X_ {2} = \ {2,4 \}}$ $X_ {2} = \ {2,4 \}$ сохраняется под тегом $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , то есть $σ (X 1) = X 2 {\ displaystyle \ sigma (X_ {1}) = X_ {2 }}$ $\ sigma (X_ {1}) = X_ {2}$ и $σ (X 2) = X 1 {\ displaystyle \ sigma (X_ {2}) = X_ {1}}$ $\ sigma (X_ {2 }) = X_ {1}$ .

Каждая транзитивная группа простой степени примитивна
симметричная группа $S n {\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ , действующая на множество ${1,…, n} {\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}$ $\ {1, \ ldots, n \}$ является примитивом для каждого n и чередующейся группы $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_{n}$ действует на множество ${1,…, n} {\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}$ $\ {1, \ ldots, n \}$ является примитивным для каждого n>2.

См. также

Ссылки

Рони-Дугал, Колва М. Примитивные группы перестановок степени меньше 2500, Journal of Algebra 292 (2005), нет. 1, 154–183.
Библиотека данных GAP «Примитивные группы перестановок».
Кармайкл, Роберт Д., Введение в теорию групп конечного порядка. Джинн, Бостон, 1937. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1956.
Тодд Роуленд. «Действие примитивной группы». MathWorld.