Модель Пламмера

Модель Пламмера или сфера Пламмера - это закон плотности, который впервые был использован Х. С. Пламмер для соответствия наблюдениям шаровых скоплений. Сейчас он часто используется как игрушечная модель в симуляциях N-тел звездных систем.

• 1 Описание модели
• 2 Свойства
• 3 Приложения
• 4 Ссылки

Пламмер 3 -мерный профиль плотности определяется как

$\rho \; P\; (r)\; =\; 3\; M\; 0\; 4\; \pi \; a\; 3\; (1\; +\; r\; 2\; a\; 2)\; -\; 5\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{P\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{3M\_\; \{0\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; a\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\},\}$

где $M\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{0\}\}$- полная масса скопления, а a - радиус Пламмера., параметр масштаба, задающий размер ядра кластера. Соответствующий потенциал равен

$\Phi \; P\; (r)\; =\; -\; GM\; 0\; r\; 2\; +\; a\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{P\}\; (r)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\}\}\},\}$

где G - гравитационная постоянная Ньютона . Дисперсия скоростей составляет

$\sigma \; P\; 2\; (r)\; =\; G\; M\; 0\; 6\; r\; 2\; +\; a\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{P\}\; ^\; \{2\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GM\_\; \{0\}\}\; \{6\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$

Функция распределения:

$f\; (x\; \to ,\; v\; \to )\; =\; 24\; 2\; 7\; \pi \; 3\; N\; a\; 2\; G\; 5\; M\; 0\; 5\; (-\; E\; (x\; \to ,\; v\; \to ))\; 7/2,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{24\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{7\; \backslash \; pi\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{Na\; ^\; \{2\}\; \}\; \{G\; ^\; \{5\}\; M\_\; \{0\}\; ^\; \{5\}\}\}\; (-\; E\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}))\; ^\; \{7/2\},\}$

если и $f\; (x\; \to ,\; v\; \to )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\})\; =\; 0\}$в противном случае, где $E\; (x\; \to ,\; v\; \to )\; =\; 1\; 2\; v\; 2\; +\; \Phi \; P\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; v\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; Phi\; \_\; \{P\}\; (r)\}$- удельная энергия.

Масса, заключенная в радиусе $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$задается как

Многие другие свойства модели Пламмера описаны во всесторонней статье.

Радиус ядра $rc\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{c\}\}$, где поверхностная плотность падает до половины своего центрального значения, находится на уровне $rc\; =\; a\; 2\; -\; 1\; \approx \; 0,64\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{c\}\; =\; а\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,64a\}$.

равно $r\; h\; =\; (1\; 0,5\; 2/3\; -\; 1)\; -\; 0,5\; a\; \approx \; 1,3\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{h\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{0,5\; ^\; \{2/3\}\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 0,5\}\; a\; \backslash \; приблизительно\; 1,3a.\}$

Вириальный радиус равно $r\; V\; =\; 16\; 3\; \pi \; a\; \approx \; 1,7\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{V\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{3\; \backslash \; pi\}\}\; a\; \backslash \; приблизительно\; 1,7a\}$.

2D поверхностная плотность равна :

$\Sigma \; (R)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \rho \; (r\; (z))\; dz\; =\; 2\; \int \; 0\; \infty \; 3\; a\; 2\; M\; 0\; dz\; 4\; \pi \; (a\; 2\; +\; z\; 2\; +\; R\; 2)\; 5/2\; =\; M\; 0\; a\; 2\; \pi \; (a\; 2\; +\; R\; 2)\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Sigma\; (R)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; rho\; (r\; (z))\; dz\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{3a\; ^\; \{2\}\; M\_\; \{0\}\; dz\}\; \{4\; \backslash \; pi\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\})\; ^\; \{5/2\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{0\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; pi\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$,

и, следовательно, 2D-профиль прогнозируемой массы :

$M\; (R)\; =\; 2\; \pi \; \int \; 0\; R\; \Sigma \; (R\; \prime )\; R\; \prime \; d\; R\; \prime \; =\; M\; 0\; R\; 2\; a\; 2\; +\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (R)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{R\}\; \backslash \; Sigma\; (R\; \text{'})\; \backslash ,\; R\text{'}dR\text{'}\; =\; M\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

В астрономии удобно определять двумерный радиус полумассы, который представляет собой радиус, в котором двумерный прогнозируемый профиль массы составляет половину общей массы: $M\; (R\; 1/2)\; =\; M\; 0/2\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (\; R\_\; \{1/2\})\; =\; M\_\; \{0\}\; /\; 2\}$.

Для профиля Plummer: $R\; 1/2\; =\; a\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; R\_\; \{1/2\}\; =\; a\}$.

Радиальные точки поворота орбиты, характеризующиеся удельной энергией $E\; =\; 1\; 2\; v\; 2\; +\; \Phi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; v\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; Phi\; (r)\}$и удельный угловой момент $L\; =\; |\; г\; \to \; \times \; v\; \to \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; |\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; |\}$задаются положительными корнями кубического уравнения

$R\; 3\; +\; GM\; 0\; ER\; 2\; -\; (L\; 2\; 2\; E\; +\; a\; 2)\; R\; -\; GM\; 0\; a\; 2\; E\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{GM\_\; \{0\}\}\; \{E\}\}\; R\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{2E\}\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; R\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\_\; \{0\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{E\}\}\; =\; 0,\; \}$

где $R\; =\; r\; 2\; +\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\}\}\}$, так что $r\; =\; R\; 2\; -\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{R\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\}\}\}$. Это уравнение имеет три действительных корня для $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$: два положительных и один отрицательный, учитывая, что , где $L\; c\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{c\; \}\; (E)\}$- удельный угловой момент для круговой орбиты при той же энергии. Здесь $L\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{c\}\}$может быть вычислено из единственного действительного корня дискриминанта кубического уравнения, которое само по себе является еще одним кубическим уравнением .

$E\; \_\; L\; \_\; c\; 3\; +\; (6\; E\; \_\; 2\; a\; \_\; 2\; +\; 1\; 2)\; L\; \_\; c\; 2\; +\; (12\; E\; \_\; 3\; a\; \_\; 4\; +\; 20\; E\; \_\; a\; \_\; 2)\; L\; \_\; c\; +\; (8\; E\; \_\; 4\; a\; \_\; 6–16\; E\; \_\; 2\; a\; \_\; 4\; +\; 8\; a\; \_\; 2)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{E\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; underline\; \{L\}\}\; \_\; \{c\}\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; left\; (6\; \{\backslash \; underline\; \{E\}\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; underline\; \{a\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; underline\; \{L\}\}\; \_\; \{c\; \}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (12\; \{\backslash \; underline\; \{E\}\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; underline\; \{a\}\}\; ^\; \{4\}\; +20\; \{\backslash \; underline\; \{E\}\}\; \{\backslash \; underline\; \{a\}\}\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; underline\; \{L\}\}\; \_\; \{c\}\; +\; \backslash \; left\; (8\; \{\backslash \; underline\; \{E\}\}\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; underline\; \{a\}\}\; ^\; \{6\}\; -16\; \{\backslash \; underline\; \{E\; \}\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; underline\; \{a\}\}\; ^\; \{4\}\; +8\; \{\backslash \; underline\; \{a\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; 0,\}$

где подчеркнутые параметры безразмерны в Henon единицы определены как $E\; \_\; =\; E\; r\; V\; /\; (GM\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{E\}\}\; =\; Er\_\; \{V\}\; /\; (GM\_\; \{0\})\}$, $L\; \_\; c\; =\; L\; c\; /\; GM\; r\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{L\}\}\; \_\; \{c\}\; =\; L\_\; \{c\}\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{GMr\_\; \{V\}\}\}\}$и $a\; \_\; =\; а\; /\; г\; V\; =\; 3\; \pi \; /\; 16\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{a\}\}\; =\; a\; /\; r\_\; \{V\}\; =\; 3\; \backslash \; pi\; /\; 16\}$.

Модель Пламмера наиболее близко подходит к представлению наблюдаемых профилей плотности звездные скопления, хотя быстрое падение плотности на больших радиусах ($\rho \; \to \; r\; -\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; rightarrow\; r\; ^\; \{-\; 5\}\}$) составляет не очень хорошее описание этих систем.

Поведение плотности вблизи центра не соответствует наблюдениям эллиптических галактик, которые обычно демонстрируют расходящуюся центральную плотность.

Легкость, с которой сфера Пламмера может быть реализована как модель Монте-Карло, сделала ее излюбленным выбором экспериментаторов с N телами, несмотря на отсутствие реализма модели.