Моделирование N-тел

редактировать

Моделирование N-тел космологического образования скопления галактик в расширяющейся Вселенной.

In физика и астрономия, моделирование N-тела - это моделирование динамической системы частиц, обычно под действием физических сил, таких как как гравитация (см. задача n-тела ). Моделирование N-тел - широко используемые инструменты в астрофизике, начиная с исследования динамики систем из нескольких тел, таких как Земля - Луна - Солнце система понимания эволюции крупномасштабной структуры Вселенной. В физической космологии моделирование N-тел используется для изучения процессов формирования нелинейных структур, таких как нити галактик и гало галактик от воздействия темной материи. Прямое моделирование N-тел используется для изучения динамической эволюции звездных скоплений.

Содержание

1 Природа частиц
2 Прямое гравитационное моделирование N-тел
3 Моделирование общей теории относительности
4 Оптимизация вычислений
- 4.1 Древовидные методы
- 4.2 Метод сетки частиц
- 4.3 Оптимизация для особых случаев
5 Двухчастичные системы
6 Включение барионов, лептонов и фотонов в моделирование
7 Сложность вычислений
8 См. Также
9 Ссылки
- 9.1 Дополнительная литература

Природа частиц

«Частицы», обрабатываемые при моделировании, могут соответствовать или не соответствовать физическим объектам, которые являются частицами в природа. Например, моделирование звездного скопления из N тел может иметь частицу на звезду, поэтому каждая частица имеет определенное физическое значение. С другой стороны, моделирование газового облака не может позволить иметь частицу для каждого атома или молекулы газа, так как для этого потребуется порядка 10 частиц на каждый моль материала (см. Константа Авогадро ), поэтому одна «частица» будет представлять гораздо большее количество газа (часто реализуется с помощью Гидродинамика сглаженных частиц ). Это количество не обязательно должно иметь какое-либо физическое значение, но должно быть выбрано как компромисс между точностью и управляемыми компьютерными требованиями.

Прямое гравитационное моделирование N-тел

Воспроизвести медиа Моделирование N-тел 400 объектов с параметрами, близкими к параметрам планет Солнечной системы.

В прямом гравитационном N При моделировании тел, уравнения движения системы из N частиц под действием их взаимных гравитационных сил численно интегрируются без каких-либо упрощающих приближений. Эти вычисления используются в ситуациях, когда взаимодействия между отдельными объектами, такими как звезды или планеты, важны для эволюции системы.

Первое прямое моделирование N-тел было выполнено Эриком Холмбергом в Лундской обсерватории в 1941 году, где силы между звездами при столкновении с галактиками были определены с помощью математической эквивалентности. между распространением света и гравитационным взаимодействием: помещая лампочки в положения звезд и измеряя направленные световые потоки в положениях звезд с помощью фотоэлемента, уравнения движения можно интегрировать с помощью $O (N) {\ displaystyle O (N)}$ $O (N)$ усилие. Первое чисто вычислительное моделирование было выполнено Себастьяном фон Хёрнером в Astronomisches Rechen-Institut в Гейдельберге, Германия. Сверре Орсет из Кембриджского университета (Великобритания) посвятил всю свою научную жизнь разработке серии высокоэффективных кодов N-тел для астрофизических приложений, использующих адаптивные (иерархические) временные шаги, схема соседей Ахмада-Коэна и регуляризация близких встреч. Регуляризация - это математическая уловка, позволяющая устранить сингулярность в законе тяготения Ньютона для двух частиц, которые сближаются произвольно близко друг к другу. Коды Сверре Орсета используются для изучения динамики звездных скоплений, планетных систем и ядер галактик.

Моделирование общей теории относительности

Многие модели достаточно велики, чтобы эффект общей теории относительности в установлении космологии Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера. Это включено в моделирование как развивающаяся мера расстояния (или масштабный коэффициент ) в системе сопутствующих координат, что заставляет частицы замедляться в сопутствующих координатах (а также из-за красное смещение их физической энергии). Однако вклад общей теории относительности и конечной скорости гравитации в противном случае можно игнорировать, поскольку типичные динамические временные шкалы длинны по сравнению со временем пересечения света для моделирования, а кривизна пространства-времени, вызванная частицами и скорости частиц малы. Граничные условия этих космологических симуляций обычно периодические (или тороидальные), так что один край объема симуляции совпадает с противоположным краем.

Оптимизация вычислений

Моделирование N-тел в принципе простое, потому что оно включает простое интегрирование 6N обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих движения частиц в ньютоновской гравитации. На практике количество вовлеченных частиц N обычно очень велико (типичное моделирование включает многие миллионы, моделирование Millennium включает десять миллиардов), и количество взаимодействий частицы с частицами, которые необходимо вычислить, увеличивается на порядок N, и поэтому прямое интегрирование дифференциальных уравнений может быть чрезмерно затратным с точки зрения вычислений. Поэтому обычно используется ряд уточнений.

Численное интегрирование обычно выполняется с небольшими временными шагами с использованием такого метода, как интегрирование через скачок. Однако любое численное интегрирование приводит к ошибкам. Меньшие шаги дают меньше ошибок, но выполняются медленнее. Интеграция Leapfrog составляет примерно 2-й порядок по временному шагу, другие интеграторы, такие как методы Рунге – Кутта, могут иметь точность 4-го порядка или намного выше.

Одно из самых простых усовершенствований состоит в том, что каждая частица несет с собой свою собственную переменную временного шага, так что частицы с сильно различающимся динамическим временем не должны все эволюционировать вперед со скоростью, соответствующей наименьшему времени.

Есть две основные схемы аппроксимации для уменьшения времени вычислений для таких симуляций. Это может снизить вычислительную сложность до O (N log N) или лучше при потере точности.

Древовидные методы

В древовидных методах, таких как моделирование Барнса – Хата, октодерево обычно используется для разделите объем на кубические ячейки, и индивидуально нужно рассматривать только взаимодействия между частицами из соседних ячеек; частицы в отдаленных ячейках можно рассматривать вместе как одну большую частицу с центром в центре масс удаленной ячейки (или как мультипольное разложение низкого порядка ). Это может значительно сократить количество взаимодействий пар частиц, которые необходимо вычислить. Чтобы моделирование не загромождалось вычислением взаимодействий между частицами, ячейки должны быть уточнены до меньших ячеек в более плотных частях моделирования, которые содержат много частиц на ячейку. Для моделирования, в котором частицы распределены неравномерно, методы хорошо разделенной парной декомпозиции Каллахана и Косараджу дают оптимальное время O (n log n) на итерацию с фиксированной размерностью.

Метод сетки частиц

Другой возможностью является метод сетки частиц, в котором пространство дискретизируется на сетке и для целей вычисления гравитационного потенциала предполагается, что частицы разделены между ближайшими вершинами сетки. Найти потенциальную энергию Φ легко, потому что уравнение Пуассона

∇ 2 Φ = 4 π G ρ, {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 4 \ pi G {\ rho}, \, }

\ nabla ^ 2 \ Phi = 4 \ pi G {\ rho}, \,

где G - константа Ньютона и $ρ {\ displaystyle {\ rho}}$ ${\ rho}$ - плотность (количество частиц в точках сетки), тривиально для решить с помощью быстрого преобразования Фурье, чтобы перейти в частотную область, где уравнение Пуассона имеет простую форму

Φ ^ = - 4 π G ρ ^ k 2, {\ displaystyle {\ hat {\ Phi}} = - 4 \ pi G {\ frac {\ hat {\ rho}} {k ^ {2}}}, \,}

{\ hat {\ Phi}} = - 4 \ pi G {\ frac {{\ hat {\ rho}}} {k ^ {2}}}, \,

где $k → {\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ vec {k}}$ - сопутствующее волновое число, а шляпы обозначают преобразования Фурье. Гравитационное поле теперь можно найти, умножив на $k → {\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ vec {k}}$ и вычислив обратное преобразование Фурье (или вычислив обратное преобразование, а затем используя какой-либо другой метод). Поскольку этот метод ограничен размером ячейки, на практике используется меньшая сетка или какой-либо другой метод (например, объединение с деревом или простой алгоритм частицы-частицы) для вычисления мелкомасштабных сил. Иногда используется адаптивная сетка, в которой ячейки сетки намного меньше в более плотных областях моделирования.

Оптимизация для особых случаев

Несколько различных алгоритмов гравитационного возмущения используются для получения достаточно точных оценок пути объектов в солнечной системе.

Люди часто решают вывести спутник на замороженную орбиту. Путь спутника, вращающегося вокруг Земли, можно точно смоделировать, начиная с эллиптической орбиты двух тел вокруг центра Земли и добавляя небольшие поправки из-за сжатости Земли, гравитационного притяжения Солнце и Луна, сопротивление атмосферы и т. Д. Можно найти замороженную орбиту, не вычисляя фактический путь спутника.

Путь малой планеты, кометы или космического корабля дальнего действия часто можно точно смоделировать, начиная с эллиптической орбиты двух тел вокруг Солнца и добавляя небольшие поправки от гравитационного притяжения более крупных планет в их известные орбиты.

Некоторые характеристики долговременных траекторий системы частиц можно рассчитать напрямую. Фактический путь любой конкретной частицы не нужно рассчитывать в качестве промежуточного шага. К таким характеристикам относятся устойчивость по Ляпунову, время Ляпунова, различные измерения из эргодической теории и т.д.

Двухчастичные системы

Хотя в типовом моделировании присутствуют миллионы или миллиарды частиц, они обычно соответствуют реальной частице с очень большой массой, обычно 10 массой Солнца. Это может вызвать проблемы с короткодействующими взаимодействиями между частицами, такими как образование двухчастичных бинарных систем. Поскольку частицы предназначены для представления большого количества частиц темной материи или групп звезд, эти двойные системы нефизичны. Чтобы предотвратить это, используется смягченный закон Ньютона силы, который не расходится как обратный квадрат радиуса на малых расстояниях. Большинство симуляторов реализуют это вполне естественно, выполняя симуляции на ячейках конечного размера. Важно реализовать процедуру дискретизации таким образом, чтобы частицы всегда оказывали на себя исчезающую силу.

Включение барионов, лептонов и фотонов в моделирование

Многие модели моделирования моделируют только холодную темную материю и, таким образом, включают только гравитационную силу. Включение в моделирование барионов, лептонов и фотонов резко увеличивает их сложность, и зачастую необходимо радикально упростить лежащую в основе физику. Тем не менее, это чрезвычайно важная область, и многие современные модели теперь пытаются понять процессы, которые происходят во время формирования галактик, что могло бы объяснить.

Вычислительная сложность

Reif et al. докажите, что если проблема достижимости n тел определяется следующим образом - для данных n тел, удовлетворяющих фиксированному закону электростатического потенциала, определение того, достигает ли тело целевого шара в заданный временной интервал, где нам требуется поли (n) бит точности и целевое время poly (n) находится в PSPACE.

С другой стороны, если вопрос в том, достигнет ли тело в конечном итоге целевого шара, проблема будет сложной для PSPACE. Эти ограничения основаны на аналогичных оценках сложности, полученных для трассировки лучей.

См. Также

Физический портал

Ссылки

Дополнительная литература

фон Хёрнер, Себастьян (1960). "Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. I". Zeitschrift für Astrophysik (на немецком языке). 50 : 184. Bibcode : 1960ZA..... 50..184V.
фон Хёрнер, Себастьян (1963). "Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. II". Zeitschrift für Astrophysik (на немецком языке). 57 : 47. Bibcode : 1963ZA..... 57... 47V.
Aarseth, Sverre J. (2003). Гравитационное моделирование N тел: инструменты и алгоритмы. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-12153-8.
Бертшингер, Эдмунд (1998). «Моделирование образования структуры во Вселенной». Ежегодный обзор астрономии и астрофизики. 36 (1): 599–654. Bibcode : 1998ARA A..36..599B. doi : 10.1146 / annurev.astro.36.1.599.
Бинни, Джеймс; Тремейн, Скотт (1987). Галактическая динамика. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08445-9.
Каллахан, Пол Б.; Косараджу, Самбасива Рао (1992). «Разложение многомерных точечных множеств с приложениями к k-ближайшим соседям и потенциальным полям n тел (предварительная версия)». STOC '92: Proc. ACM Symp. Теория вычислений. ACM..