Плоское разбиение

редактировать

Плоское разбиение, представленное в виде стопок единичных кубов

В математике и особенно в комбинаторике, плоское разбиение представляет собой двумерный массив неотрицательных целых чисел $π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}$ $\pi _{i,j}$ (с положительное целое индексы i и j), которое не увеличивается в обоих индексах. Это означает, что

π i, j ≥ π i, j + 1 {\ displaystyle \ pi _ {i, j} \ geq \ pi _ {i, j + 1} \ quad}

\pi _{i,j}\geq \pi _{i,j+1}\quad

π i, j ≥ π i + 1, j {\ displaystyle \ quad \ pi _ {i, j} \ geq \ pi _ {i + 1, j} \,}

\quad \pi _{i,j}\geq \pi _{i+1,j}\,

для всех i и j.

Более того, только конечное число из $π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}$ $\pi _{i,j}$ отличны от нуля. Плоские разделы могут быть визуально представлены размещением стопки $π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}$ $\pi _{i,j}$ единичных кубов над точкой (i, j) в плоскость, давая трехмерное твердое тело, как показано на рисунке.

Сумма плоского разбиения равна

n = ∑ i, j π i, j. {\ displaystyle n = \ sum _ {i, j} \ pi _ {i, j}.}

n=\sum _{i,j}\pi _{i,j}.

Сумма описывает количество кубиков, из которых состоит плоское разбиение. Количество плоских разбиений с суммой n обозначается PL (n).

Например, есть шесть разделов плоскости с суммой 3:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 1 1 1 \ end {matrix} } \ qquad {\ begin {matrix} 1 1 \\ 1 \ end {matrix}} \ qquad {\ begin {matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {matrix}} \ qquad {\ begin {matrix} 2 1 \ end {matrix}} \ qquad {\ begin {matrix} 2 \\ 1 \ end {matrix}} \ qquad {\ begin {matrix} 3 \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}111\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}11\\1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}21\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}3\end{matrix}}

, поэтому PL (3) = 6. (Здесь разделы плоскости нарисованы с использованием матричной индексации для координат, а записи, равные 0, подавлены для удобства чтения.) Пусть $N i (r, s, t) {\ displaystyle N_ {i } (r, s, t)}$ $N_{i}(r,s,t)$ - общее количество разделов плоскости, в которых r - количество строк, не равных нулю, s - количество столбцов, которые не равны нулю, а t - наибольшее целое число матрицы. Плоские разделы часто описываются позициями единичных кубов. Следовательно, плоское разбиение определяется как конечное подмножество $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\mathcal {P}}$ положительных целочисленных точек решетки (i, j, k) в $N 3 { \ displaystyle \ mathbb {N} ^ {3}}$ $\mathbb {N} ^{3}$ , так что если (r, s, t) лежит в $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\mathcal {P}}$ и если (i, j, k) удовлетворяет $1 ≤ i ≤ r {\ displaystyle 1 \ leq i \ leq r}$ $1\leq i\leq r$ , $1 ≤ j ≤ s {\ displaystyle 1 \ leq j \ leq s}$ $1\leq j\leq s$ и $1 ≤ k ≤ t {\ displaystyle 1 \ leq k \ leq t}$ $1\leq k\leq t$ , тогда (i, j, k) также лежит в $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\mathcal {P}}$ .

B (r, s, t) = {(i, j, k) | 1 ≤ я ≤ р, 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ К ≤ T} {\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (г, s, t) = \ {(я, j, k) | 1 \ Leq я \ leq r, 1 \ leq j \ leq s, 1 \ leq k \ leq t \}}

{\mathcal {B}}(r,s,t)=\{(i,j,k)|1\leq i\leq r,1\leq j\leq s,1\leq k\leq t\}

Содержание

1 Производящая функция плоских перегородок
2 Диаграммы Феррерса для плоских перегородок
- 2.1 Эквивалентность два представления
3 Действие S 2, S 3 и C 3 на плоских разделах
4 Симметричных плоских разделах
5 Циклически симметричные плоские перегородки
6 Полностью симметричные плоские перегородки
7 Самостоятельные плоские перегородки
8 Циклически симметричные самокомплементарные плоские перегородки
9 Полностью симметричные самокомплементарные плоские перегородки
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Производящая функция плоских разделений

В результате Перси А. МакМэхона, производящая функция для PL (n) задается как

∑ n знак равно 0 ∞ PL ⁡ (n) xn = ∏ k = 1 ∞ 1 (1 - xk) k = 1 + x + 3 x 2 + 6 x 3 + 13 x 4 + 24 x 5 + ⋯. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {PL} (n) x ^ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} { (1-x ^ {k}) ^ {k}}} = 1 + x + 3x ^ {2} + 6x ^ {3} + 13x ^ {4} + 24x ^ {5} + \ cdots.}

\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {PL} (n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-x^{k})^{k}}}=1+x+3x^{2}+6x^{3}+13x^{4}+24x^{5}+\cdots.

Иногда это называют функцией Мак-Магона.

Эту формулу можно рассматривать как двумерный аналог формулы произведения Эйлера для количества целочисленных разбиений числа n. Не существует аналогичной формулы для перегородок в более высоких измерениях (например, для твердых перегородок ). Асимптотика плоских разбиений была разработана Э. М. Райт. Для больших $n {\ displaystyle n}$ $n$ :

PL ⁡ (n) ∼ ζ (3) 7/36 12 π (n 2) - 25/36 exp ⁡ (3 ζ (3) 1 / 3 (N 2) 2/3 + ζ '(- 1)), {\ displaystyle \ operatorname {PL} (n) \ sim {\ frac {\ zeta (3) ^ {7/36}} {\ sqrt { 12 \ pi}}} \ \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) ^ {- 25/36} \ \ exp \ left (3 \ \ zeta (3) ^ {1/3} \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) ^ {2/3} + \ zeta '(-1) \ right) \,}

\operatorname {PL} (n)\sim {\frac {\zeta (3)^{7/36}}{\sqrt {12\pi }}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{-25/36}\ \exp \left(3\ \zeta (3)^{1/3}\left({\frac {n}{2}}\right)^{2/3}+\zeta '(-1)\right)\,

Здесь опечатка (в статье Райта) была исправлена, на что указали Мутафчиев и Каменов. Численное вычисление дает

ln ⁡ PL ⁡ (n) ∼ 2,00945 n 2/3 - 0,69444 ln ⁡ n - 1,4631. {\ displaystyle \ ln \ operatorname {PL} (n) \ sim 2.00945n ^ {2/3} -0.69444 \ ln n-1.4631.}

\ln \operatorname {PL} (n)\sim 2.00945n^{2/3}-0.69444\ln n-1.4631.

Примерно в 1896 году Перси А. МакМэхон создал производящая функция плоских разбиений, которые являются подмножествами $B (r, s, t) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ в его первой статье о плоскости перегородки. Формула задается следующим образом:

∑ π ∈ B (r, s, t) q | π | Знак равно ∏ я знак равно 1 р ∏ J знак равно 1 s 1 - qi + j + t - 1 1 - qi + j - 1 {\ displaystyle \ sum _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)} q ^ {| \ pi |} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ prod _ {j = 1} ^ {s} {\ frac {1-q ^ {i + j + t -1}} {1-q ^ {i + j-1}}}}

\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,s,t)}q^{|\pi |}=\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {1-q^{i+j+t-1}}{1-q^{i+j-1}}}

Доказательство этой формулы можно найти в книге «Комбинаторный анализ» Перси А. Мак-Магона. Перси А. Мак-Магон также упоминает в своей книге «Комбинаторный анализ» производящие функции плоских разбиений в статье 429. Формула для производящей функции может быть записана другим способом, который задается следующим образом:

∑ π ∈ B (r, s, t) q | π | Знак равно ∏ я знак равно 1 р ∏ J знак равно 1 s ∏ К знак равно 1 T 1 - qi + j + k - 1 1 - qi + j + k - 2 {\ displaystyle \ sum _ {\ pi \ in {\ mathcal {B }} (r, s, t)} q ^ {| \ pi |} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ prod _ {j = 1} ^ {s} \ prod _ {k = 1 } ^ {t} {\ frac {1-q ^ {i + j + k-1}} {1-q ^ {i + j + k-2}}}}

\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,s,t)}q^{|\pi |}=\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}\prod _{k=1}^{t}{\frac {1-q^{i+j+k-1}}{1-q^{i+j+k-2}}}

Установка q = 1 в формулах выше дает

N 1 (r, s, t) = ∏ (i, j, k) ∈ B (r, s, t) i + j + k - 1 i + j + k - 2 = ∏ i = 1 р ∏ J знак равно 1 Си + J + T - 1 я + J - 1 {\ Displaystyle N_ {1} (г, s, t) = \ prod _ {(я, j, k) \ in {\ mathcal { B}} (r, s, t)} {\ frac {i + j + k-1} {i + j + k-2}} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ prod _ { j = 1} ^ {s} {\ frac {i + j + t-1} {i + j-1}}}

N_{1}(r,s,t)=\prod _{(i,j,k)\in {\mathcal {B}}(r,s,t)}{\frac {i+j+k-1}{i+j+k-2}}=\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {i+j+t-1}{i+j-1}}

Перси А. МакМэхон получил, что общее количество секций плоскости в $B ( р, s, t) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ дается как $N 1 (r, s, t) {\ displaystyle N_ { 1} (r, s, t)}$ $N_{1}(r,s,t)$ . Плоский случай (когда t = 1) дает биномиальные коэффициенты :

B (r, s, 1) = (r + sr) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, 1) = {\ binom {r + s} {r}}}

{\mathcal {B}}(r,s,1)={\binom {r+s}{r}}

Диаграммы Феррерса для плоских разбиений

Другое представление для плоских разбиений - в виде диаграмм Феррерса. диаграмма Феррерса плоского разбиения $n {\ displaystyle n}$ $n$ представляет собой совокупность $n {\ displaystyle n}$ $n$ точек или узлы, $λ = (y 1, y 2,…, yn) {\ displaystyle \ lambda = (\ mathbf {y} _ {1}, \ mathbf {y} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {y} _ {n})}$ $\lambda =({\mathbf {y}}_{1},{\mathbf {y}}_{2},\ldots,{\mathbf {y}}_{n})$ , где $yi ∈ Z ≥ 0 3 {\ displaystyle \ mathbf {y} _ {i} \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq 0 } ^ {3}}$ ${\mathbf {y}}_{i}\in {\mathbb {Z}}_{{\geq 0}}^{{3}}$ удовлетворяет условию:

Условие FD: Если узел

a = (a 1, a 2, a 3) ∈ λ {\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) \ in \ lambda}

{\mathbf {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\in \lambda

, тогда то же самое делают все узлы

y = (y 1, y 2, y 3) {\ displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}

{\mathbf {y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})

0 ≤ yi ≤ ai {\ displaystyle 0 \ leq y_ {i} \ leq a_ {i}}

0\leq y_{i}\leq a_{i}

для всех

i = 1, 2, 3 {\ displaystyle i = 1,2,3}

i=1,2,3

Замена каждого узла плоского раздела единичным кубом с ребрами, выровненными по осям, приводит к представлению стопки кубов для плоского разбиения.

Эквивалентность двух представлений

Учитывая диаграмму Феррерса, строят плоское разбиение (как в основном определении) следующим образом.

Пусть

π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}

\pi _{i,j}

будет количеством узлов на диаграмме Феррерса с координатами вида

(i - 1, j - 1, ∗) {\ displaystyle (i-1, j-1, *)}

(i-1,j-1,*)

где

∗ {\ displaystyle *}

*

обозначает произвольное значение. Набор

π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}

\pi _{i,j}

образуют плоское разделение. Можно проверить, что условие FD подразумевает, что выполняются условия для плоского разбиения.

Для набора $π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}$ $\pi _{i,j}$ , что образуют плоское разбиение, можно получить соответствующую диаграмму Феррерса следующим образом.

Начните с диаграммы Феррерса без узлов. Для каждого ненулевого

π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}

\pi _{i,j}

добавьте

π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j} }

\pi _{i,j}

узлы формы

(i - 1, j - 1, y 3) {\ displaystyle (i-1, j-1, y_ {3})}

(i-1,j-1,y_{3})

для

0 ≤ y 3 < π i, j − 1 {\displaystyle 0\leq y_{3}<\pi _{i,j}-1}

0\leq y_{3}<\pi _{i,j}-1

диаграмме Феррерса. По построению легко видеть, что условие FD выполняется.

Например, ниже показаны два представления плоских разбиений 5.

(0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0) ⟺ 2 1 1 1 {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {smallmatrix}} {\ begin {smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {smallmatrix }} {\ begin {smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}} {\ begin {smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {smallmatrix}} {\ begin {smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}} \ right) \ qquad \ Longleftrightarrow \ qquad {\ begin {matrix} 2 1 \\ 1 1 \ end {matrix}}}

\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {\begin{matrix}21\\11\end{matrix}}

Выше каждый узел диаграммы Феррерса записан как столбец, и мы записали только ненулевой $π i, j {\ displaystyle \ pi _ {i, j}}$ $\pi _{i,j}$ как обычно.

Действие S 2, S 3 и C 3 на разделах плоскости

$S 2 {\ displaystyle {\ mathcal {S }} _ {2}}$ ${\mathcal {S}}_{2}$ - это группа перестановок, действующих на первые две координаты (i, j, k). Эта группа содержит тождество (i, j, k) и транспозицию (i, j, k) → (j, i, k). Число элементов на орбите $η {\ displaystyle \ eta}$ $\eta$ обозначается | $η {\ displaystyle \ eta}$ $\eta$ |. $B / S 2 {\ displaystyle {\ mathcal {B}} / {\ mathcal {S}} _ {2}}$ ${\mathcal {B}}/{\math cal {S}}_{2}$ обозначает набор орбит элементов $B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\mathcal {B}}$ под действием $S 2 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {2}}$ ${\mathcal {S}}_{2}$ . Высота элемента (i, j, k) определяется как

ht (i, j, k) = i + j + k - 2 {\ displaystyle ht (i, j, k) = i + j + k-2}

ht(i,j,k)=i+j+k-2

Высота увеличивается на единицу с каждым шагом от правого заднего угла. Например, угловая позиция (1,1,1) имеет высоту 1 и ht (2,1,1) = 2. ht ( $η {\ displaystyle \ eta}$ $\eta$ ) - высота орбиты, то есть высота любого элемента на орбите. Это обозначение высоты отличается от обозначения Яна Г. Макдональда.

Существует естественное действие группы перестановок $S 3 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {3}}$ ${\mathcal {S}}_{3}$ на диаграмме Феррерса - это соответствует одновременной перестановке трех координат всех узлов. Это обобщает операцию сопряжения для разделов. Действие $S 3 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {3}}$ ${\mathcal {S}}_{3}$ может сгенерировать новые разделы плоскости, начиная с данного раздела плоскости. Ниже показаны шесть плоских разделов из 4, которые генерируются действием $S 3 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {3}}$ ${\mathcal {S}}_{3}$ . Только обмен первыми двумя координатами проявляется в представлении, приведенном ниже.

3 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 {\ displaystyle {\ begin {smallmatrix} 3 1 \ end {smallmatrix}} \ quad {\ begin {smallmatrix} 3 \\ 1 \ конец {smallmatrix}} \ quad {\ begin {smallmatrix} 2 1 1 \ end {smallmatrix}} \ quad {\ begin {smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \ end {smallmatrix}} \ quad {\ begin {smallmatrix} 1 1 1 \\ 1 \ end {smallmatrix}} \ quad {\ begin {smallmatrix} 1 1 \\ 1 \\ 1 \ end {smallmatrix}}}

{\begin{smallmatrix}31\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}211\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}111\\1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}11\\1\\1\end{smallmatrix}}

$C 3 {\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {3} }$ ${\mathcal {C}}_{3}$ называется группой циклических перестановок и состоит из

(i, j, k) → (i, j, k), (i, j, k) → (j, k, i) и (i, j, k) → (k, i, j). {\ displaystyle (я, j, k) \ rightarrow (я, j, k), \ quad (i, j, k) \ rightarrow (j, k, i), \ quad {\ text {и}} \ quad (i, j, k) \ rightarrow (k, i, j).}

(i,j,k)\rightarrow (i,j,k),\quad (i,j,k)\rightarrow (j,k,i),\quad {\text{and }}\quad (i,j,k)\rightarrow (k,i,j).

Симметричные плоские разбиения

Плоское разбиение $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ равно называется симметричным, если π i, j = π j, i для всех i, j. Другими словами, плоское разбиение является симметричным, если (i, j, k) $∈ B (r, s, t) {\ displaystyle \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ $\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$ тогда и только тогда, когда (j, i, k) $∈ B (r, s, t) {\ displaystyle \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ $\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$ . Плоские перегородки этого типа симметричны относительно плоскости x = y. Ниже приводится пример симметричного плоского разбиения. Прикрепленная матрица визуализирована.

Симметричное плоское разбиение с суммой 35

4 3 3 2 1 3 3 2 1 3 2 2 1 2 1 1 1 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 3 3 2 1 \\ 3 3 2 1 \\ 3 2 2 1 \\ 2 1 1 \ \ 1 \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}43321\\3321\\3221\\211\\1\end{matrix}}

В 1898 году Перси А. Мак-Магон сформулировал свою гипотезу о производящей функции для симметричных плоских разбиений, которые являются подмножествами $B (r, r, t) {\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (г, г, т)}$ ${\mathcal {B}}(r,r,t)$ . Эта гипотеза называется гипотезой Мак-Магона. Производящая функция задается как

∑ π ∈ B (r, r, t) / S 2 q | π | = ∏ i = 1 r [1 - qt + 2 i - 1 1 - q 2 i - 1 ∏ j = i + 1 r 1 - q 2 (i + j + t - 1) 1 - q 2 (i + j - 1)] {\ displaystyle \ sum _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, r, t) / {\ mathcal {S}} _ {2}} q ^ {| \ pi |} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ left [{\ frac {1-q ^ {t + 2i-1}} {1-q ^ {2i-1}}} \ prod _ {j = я + 1} ^ {r} {\ frac {1-q ^ {2 (i + j + t-1)}} {1-q ^ {2 (i + j-1)}}} \ right]}

\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {S}}_{2}}q^{|\pi |}=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {1-q^{t+2i-1}}{1-q^{2i-1}}}\prod _{j=i+1}^{r}{\frac {1-q^{2(i+j+t-1)}}{1-q^{2(i+j-1)}}}\right]

Ян Г. Макдональд указал, что гипотеза Перси А. Мак-Магона сводится к

∑ π ∈ B (r, r, t) / S 2 q | π | = ∏ η ∈ B (r, r, t) / S 2 1 - q | η | (1 + h t (η)) 1 - q | η | ht (η) {\ displaystyle \ sum _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, r, t) / {\ mathcal {S}} _ {2}} q ^ {| \ pi |} = \ prod _ {\ eta \ in {\ mathcal {B}} (r, r, t) / {\ mathcal {S}} _ {2}} {\ frac {1-q ^ {| \ eta | ( 1 + ht (\ eta))}} {1-q ^ {| \ eta | ht (\ eta)}}}}

\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {S}}_{2}}q^{|\pi |}=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {S}}_{2}}{\frac {1-q^{|\eta |(1+ht(\eta))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta)}}}

В 1972 году Эдвард А. Бендер и Дональд Э. Кнут предположили простая замкнутая форма производящей функции для плоского разбиения, которое имеет не более r строк и строго убывает по строкам. Джордж Эндрюс показал, что гипотеза Эдварда А. Бендера и Дональда Э. Кнута и гипотеза Мак-Магона эквивалентны. Гипотеза Мак-Магона была доказана почти одновременно Джорджем Эндрюсом в 1977 году, а позже Ян Г. Макдональд представил альтернативное доказательство [пример 16–19, стр. 83–86]. При установке q = 1 получается функция подсчета $N 2 (r, r, t) {\ displaystyle N_ {2} (r, r, t)}$ $N_{2}(r,r,t)$ , которая задается как

N 2 (r, r, t) = ∏ i = 1 r 2 i + t - 1 2 i - 1 ∏ 1 ≤ i < j ≤ r i + j + t − 1 i + j − 1 {\displaystyle N_{2}(r,r,t)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {2i+t-1}{2i-1}}\prod _{1\leq i

N_{2}(r,r,t)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {2i+t-1}{2i-1}}\prod _{1\leq i<j\leq r}{\frac {i+j+t-1}{i+j-1}}

Для доказательства случая q = 1, пожалуйста, обратитесь к статье Джорджа Эндрюса, гипотезы Мак-Магона о симметричные плоские перегородки.

Циклически симметричные плоские перегородки

π называются циклически симметричными, если i-я строка $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ является сопряжены с i-м столбцом для всех i. I-я строка считается обычным разделом. Сопряжение раздела $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ - это раздел, диаграмма которого является транспонированной частью раздела $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ . Другими словами, плоское разбиение является циклически симметричным, если всякий раз, когда (i, j, k) $∈ B (r, s, t) {\ displaystyle \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t) }$ $\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$ , тогда (k, i, j) и (j, k, i) также находятся в $B (r, s, t) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ . Ниже приводится пример циклически симметричного плоского разбиения и его визуализация.

Циклически симметричная плоская перегородка

6 5 5 4 3 3 6 4 3 3 1 6 4 3 1 1 4 2 2 1 3 1 1 1 1 1 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 6 5 5 4 3 3 \\ 6 4 3 3 1 \\ 6 4 3 1 1 \\ 4 2 2 1 \\ 3 1 1 \\ 1 1 1 \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}655433\\64331\\64311\\4221\\311\\111\end{matrix}}

Гипотеза Яна Дж. Макдональда дает формулу для вычисления количества циклически симметричных разбиений плоскости для заданного целого числа r. Эта гипотеза называется гипотезой Макдональда . Производящая функция для циклически симметричных плоских разбиений, которые являются подмножествами $B (r, r, r) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, r, r)}$ ${\mathcal {B}}(r,r,r)$ , задается следующим образом:

∑ π ∈ B (r, r, r) / C 3 q | π | = ∏ η ∈ B (r, r, r) / C 3 1 - q | η | (1 + h t (η)) 1 - q | η | ht (η) {\ displaystyle \ sum _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {C}} _ ​​{3}} q ^ {| \ pi |} = \ prod _ {\ eta \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {C}} _ ​​{3}} {\ frac {1-q ^ {| \ eta | ( 1 + ht (\ eta))}} {1-q ^ {| \ eta | ht (\ eta)}}}}

\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {C}}_{3}}q^{|\pi |}=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {C}}_{3}}{\frac {1-q^{|\eta |(1+ht(\eta))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta)}}}

Это уравнение также можно записать по-другому

∏ η ∈ B (r, r, r) / C 3 1 - q | η | (1 + h t (η)) 1 - q | η | ht (η) = ∏ i = 1 r [1 - q 3 i - 1 1 - q 3 i - 2 ∏ j = ir 1 - q 3 (r + i + j - 1) 1 - q 3 (2 i + j - 1)] {\ displaystyle \ prod _ {\ eta \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {C}} _ ​​{3}} {\ frac {1-q ^ {| \ eta | (1 + ht (\ eta))}} {1-q ^ {| \ eta | ht (\ eta)}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ left [{\ frac {1-q ^ {3i-1}} {1-q ^ {3i-2}}} \ prod _ {j = i} ^ {r} {\ frac {1-q ^ {3 ( r + i + j-1)}} {1-q ^ {3 (2i + j-1)}}} \ right]}

\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {C}}_{3}}{\frac {1-q^{|\eta |(1+ht(\eta))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta)}}}=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {1-q^{3i-1}}{1-q^{3i-2}}}\prod _{j=i}^{r}{\frac {1-q^{3(r+i+j-1)}}{1-q^{3(2i+j-1)}}}\right]

В 1979 году Джордж Эндрюс доказал гипотезу Макдональда для случай q = 1 как «слабая» гипотеза Макдональда . Три года спустя Уильям. Х. Миллс, Дэвид Роббинс и Говард Рамси доказали общий случай гипотезы Макдональда в своей статье «Доказательство гипотезы Макдональда». Формула для $N 3 (r, r, r) {\ displaystyle N_ {3} (r, r, r)}$ $N_{3}(r,r,r)$ дается «слабой» гипотезой Макдональда

N 3 (г, г, г) знак равно ∏ я знак равно 1 р [3 я - 1 3 я - 2 ∏ j = iri + j + r - 1 2 я + j - 1] {\ Displaystyle N_ {3} ( r, r, r) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ left [{\ frac {3i-1} {3i-2}} \ prod _ {j = i} ^ {r} {\ frac {i + j + r-1} {2i + j-1}} \ right]}

N_{3}(r,r,r)=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {3i-1}{3i-2}}\prod _{j=i}^{r}{\frac {i+j+r-1}{2i+j-1}}\right]

Полностью симметричные плоские разбиения

Полностью симметричные плоские разбиения $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ - плоская перегородка, которая является симметричной и циклически симметричной. Это означает, что диаграмма симметрична во всех трех диагональных плоскостях. Итак, если (i, j, k) $∈ B (r, s, t) {\ displaystyle \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ $\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$ , тогда все шесть перестановок (i, j, k) также находятся в $B (r, s, t) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ . Ниже приводится пример матрицы для полносимметричного плоского разбиения. На картинке представлена визуализация матрицы.

Полностью симметричное плоское разделение

5 4 4 3 1 4 3 3 1 4 3 2 1 3 1 1 1 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 5 4 4 3 1 \\ 4 3 3 1 \\ 4 3 2 1 \\ 3 1 1 \\ 1 \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}54431\\4331\\4321\\311\\1\end{matrix}}

Ян Г. Макдональд обнаружил общее количество полностью симметричных плоских разбиений, которые являются подмножествами $B (r, r, r) {\ displaystyle {\ mathcal {B} } (г, г, г)}$ ${\mathcal {B}}(r,r,r)$ . Формула задается следующим образом:

N 4 (r, r, r) = ∏ η ∈ B (r, r, r) / S 3 1 + ht (η) ht (η) {\ displaystyle N_ {4} ( r, r, r) = \ prod _ {\ eta \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {S}} _ {3}} {\ frac {1 + ht ( \ eta)} {ht (\ eta)}}}

N_{4}(r,r,r)=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {S}}_{3}}{\frac {1+ht(\eta)}{ht(\eta)}}

В 1995 году Джон Р. Стембридж впервые доказал формулу для $N 4 (r, r, r) {\ displaystyle N_ { 4} (r, r, r)}$ $N_{4}(r,r,r)$ , а позже, в 2005 году, это было доказано Джорджем Эндрюсом, Питером Полом и Карстеном Шнайдером. Примерно в 1983 году Джордж Эндрюс и Дэвид Роббинс независимо друг от друга сформулировали явную формулу произведения для производящей функции счета орбит для полностью симметричных плоских разбиений. Эта формула уже упоминалась в статье Джорджа Эндрюса «Полностью симметричные плоские разбиения», опубликованной в 1980 году. Гипотеза называется .q-TSPPгипотеза, и она дается выражением:

Пусть $S 3 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {3}}$ ${\mathcal {S}}_{3}$ будет симметричной группой. Функция подсчета орбит для полностью симметричных плоских разделов, которые помещаются внутри $B (r, r, r) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, r, r)}$ ${\mathcal {B}}(r,r,r)$ , задается следующим образом: формула

∑ π ∈ B (r, r, r) / S 3 q | π | = ∏ η ∈ B (r, r, r) / S 3 1 - q 1 + ht (η) 1 - qht (η) = ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ r 1 - qi + j + k - 1 1 - qi + j + k - 2. {\ displaystyle \ sum _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {S}} _ {3}} q ^ {| \ pi |} = \ prod _ {\ eta \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {S}} _ {3}} {\ frac {1-q ^ {1 + ht (\ eta)}} {1-q ^ {ht (\ eta)}}} = \ prod _ {1 \ leq i \ leq j \ leq k \ leq r} {\ frac {1-q ^ {i + j + k-1} } {1-q ^ {i + j + k-2}}}.}

\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {S}}_{3}}q^{|\pi |}=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {S}}_{3}}{\frac {1-q^{1+ht(\eta)}}{1-q^{ht(\eta)}}}=\prod _{1\leq i\leq j\leq k\leq r}{\frac {1-q^{i+j+k-1}}{1-q^{i+j+k-2}}}.

Эта гипотеза превратилась в теорему в 2011 году. Доказательство гипотезы q-TSPP см. В статье Доказательство Джорджа Эндрюса. 'и гипотеза Дэвида Роббинса о q-TSPP Кристофа Кутшана, Мануэля Кауэрса и Дорана Зейлбергера.

Самодополнительные плоские разбиения

If $π я, j + π р - я + 1, s - j + 1 знак равно t {\ displaystyle \ pi _ {i, j} + \ pi _ {r-i + 1, s-j + 1} = t }$ $\pi _{i,j}+\pi _{r-i+1,s-j+1}=t$ для всех $1 ≤ i ≤ r {\ displaystyle 1 \ leq i \ leq r}$ $1\leq i\leq r$ , $1 ≤ j ≤ s {\ displaystyle 1 \ leq j \ leq s}$ $1\leq j\leq s$ , то плоское разбиение называется самодополняющим. Необходимо, чтобы произведение $r ⋅ s ⋅ t {\ displaystyle r \ cdot s \ cdot t}$ $r\cdot s\cdot t$ было четным. Ниже приводится пример самодополняемого симметричного плоского разбиения и его визуализация.

Самостоятельно дополняющее плоское разбиение

4 4 3 2 1 4 2 2 2 3 2 1 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 4 3 2 1 \\ 4 2 2 2 2 \\ 3 2 1 \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}44321\\4222\\321\end{matrix}}

Ричард П. Стэнли предположил формулы для общего числа самодополняемых плоских разбиений $N 5 (r, s, t) {\ displaystyle N_ {5} (r, s, t)}$ $N_{5}(r,s,t)$ . Согласно Ричарду Стэнли, Дэвид Роббинс также сформулировал формулы для общего числа самодополняемых плоских разбиений в другой, но эквивалентной форме. Дано общее количество самодополняемых плоских разделов, которые являются подмножествами $B (r, s, t) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ по

N 5 (2 r, 2 s, 2 t) = N 1 (r, s, t) 2 {\ displaystyle N_ {5} (2r, 2s, 2t) = N_ {1} (r, s, t) ^ {2}}

N_{5}(2r,2s,2t)=N_{1}(r,s,t)^{2}

N 5 (2 r + 1, 2 s, 2 t) = N 1 (r, s, t) N 1 (r + 1, s, t) {\ displaystyle N_ {5} (2r + 1,2s, 2t) = N_ {1} (r, s, t) N_ {1} (r + 1, s, t)}

N_{5}(2r+1,2s,2t)=N_{1}(r,s,t)N_{1}(r+1,s,t)

N 5 (2 r + 1, 2 s + 1, 2 t) знак равно N 1 (r + 1, s, t) N 1 (r, s + 1, t) {\ displaystyle N_ {5} (2r + 1,2s + 1,2t) = N_ {1} (r + 1, s, t) N_ {1} (r, s + 1, t)}

N_{5}(2r+1,2s+1,2t)=N_{1}(r+1,s,t)N_{1}(r,s+1,t)

Необходимо, чтобы произведение r, s и t было четным. Доказательство можно найти в статье «Симметрии плоских разбиений», написанной Ричардом П. Стэнли. Доказательство работает с функциями Шура $s s r (x) {\ displaystyle s_ {s ^ {r}} (x)}$ $s_{s^{r}}(x)$ . Доказательство Стэнли обычного перечисления самодополняемых плоских разбиений дает q-аналог заменой $xi = qi {\ displaystyle x_ {i} = q ^ {i}}$ $x_{i}=q^{i}$ вместо $i. = 1,…, n {\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ $i=1,\ldots,n$ . Это частный случай формулы Стэнли для содержания крючков. Производящая функция для самодополняемых плоских разбиений задается как

s γ α (q, q 2,…, qn) = q γ α (α + 1) / 2 ∏ i = 1 α ∏ j = 0 γ - 1 1 - qi + n - α + j 1 - qi + j {\ displaystyle s _ {\ gamma ^ {\ alpha}} (q, q ^ {2}, \ ldots, q ^ {n}) = q ^ { \ gamma \ alpha (\ alpha +1) / 2} \ prod _ {i = 1} ^ {\ alpha} \ prod _ {j = 0} ^ {\ gamma -1} {\ frac {1-q ^ { i + n- \ alpha + j}} {1-q ^ {i + j}}}}

s_{\gamma ^{\alpha }}(q,q^{2},\ldots,q^{n})=q^{\gamma \alpha (\alpha +1)/2}\prod _{i=1}^{\alpha }\prod _{j=0}^{\gamma -1}{\frac {1-q^{i+n-\alpha +j}}{1-q^{i+j}}}

Подставляя эту формулу в

ssr (x 1, x 2,…, xt + r) 2 для B (2 р, 2 с, 2 т) {\ Displaystyle s_ {s ^ {r}} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {t + r}) ^ {2} \ {\ text {for}} {\ mathcal {B}} (2r, 2s, 2t)}

s_{s^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{t+r})^{2}\ {\text{ for }}{\mathcal {B}}(2r,2s,2t)

ssr (x 1, x 2,…, xt + r) s (s + 1) r (x 1, x 2, …, Xt + r) для B (2 r, 2 s + 1, 2 t) {\ displaystyle s_ {s ^ {r}} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {t + r }) s _ {(s + 1) ^ {r}} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {t + r}) {\ text {for}} {\ mathcal {B}} ( 2r, 2s + 1,2t)}

s_{s^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{t+r})s_{(s+1)^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{t+r}){\text{ for }}{\mathcal {B}}(2r,2s+1,2t)

ssr + 1 (x 1, x 2,…, xt + r + 1) ssr (x 1, x 2,…, xt + r + 1) для B (2 г + 1, 2 s, 2 t + 1) {\ displaystyle s_ {s ^ {r + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {t + r + 1}) s_ { s ^ {r}} ( x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {t + r + 1}) {\ text {for}} {\ mathcal {B}} (2r + 1,2s, 2t + 1)}

s_{s^{r+1}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{t+r+1})s_{s^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{t+r+1}){\text{ for }}{\mathcal {B}}(2r+1,2s,2t+1)

поставляет желаемый случай q-аналога.

Циклически симметричные самокомплементарные плоские разбиения

Плоское разбиение $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ называется циклически симметричным самокомплементарным, если оно циклически симметричный и самодополняющий. На рисунке представлено циклически симметричное самодополняющее плоское разбиение, а соответствующая матрица приведена ниже.

Циклически симметричное самокомплементарное плоское разбиение

4 4 4 1 3 3 2 1 3 2 1 1 3 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 4 4 1 \\ 3 3 2 1 \\ 3 2 1 1 \\ 3 \ end {matrix }}}

{\begin{matrix}4441\\3321\\3211\\3\end{matrix}}

В частном общении с Ричардом П. Стэнли, Дэвид Роббинс предположил, что общее количество циклически симметричных самодополняемых плоских разбиений равно $N 6 (2 р, 2 р, 2 р) {\ displaystyle N_ {6} (2r, 2r, 2r)}$ $N_{6}(2r,2r,2r)$ . Общее количество циклически симметричных самодополняющих плоских разделов определяется выражением

N 6 (2 r, 2 r, 2 r) = D r 2 {\ displaystyle N_ {6} (2r, 2r, 2r) = D_ { r} ^ {2}}

N_{6}(2r,2r,2r)=D_{r}^{2}

$D r {\ displaystyle D_ {r}}$ $D_{r}$ - число $r × r {\ displaystyle r \ times r}$ $r\times r$ матриц с переменными знаками.. Формула для $D r {\ displaystyle D_ {r}}$ $D_{r}$ задается как

D r = ∏ j = 0 r - 1 (3 j + 1)! (г + дж)! {\ displaystyle D_ {r} = \ prod _ {j = 0} ^ {r-1} {\ frac {(3j + 1)!} {(r + j)!}}}

D_{r}=\prod _{j=0}^{r-1}{\frac {(3j+1)!}{(r+j)!}}

Грег Куперберг доказал формулу для $N 6 (r, r, r) {\ displaystyle N_ {6} (r, r, r)}$ $N_{6}(r,r,r)$ в 1994 году.

Полностью симметричное Я -дополнительные плоские перегородки

Полностью симметричные самодополнительные плоские перегородки - это плоские перегородки, которые одновременно полностью симметричны и самодополняемы. Например, матрица ниже представляет собой такое плоское разбиение; это визуализировано на сопроводительном рисунке.

Полностью симметричное самокомплементарное плоское разбиение

6 6 6 5 5 3 6 5 5 3 3 1 6 5 5 3 3 1 5 3 3 1 1 5 3 3 1 1 3 1 1 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 6 6 6 5 5 3 \\ 6 5 5 3 3 1 \\ 6 5 5 3 3 1 \\ 5 3 3 1 1 \\ 5 3 3 1 1 \\ 3 1 1 \ end {matrix}}}

{\begin{matrix}666553\\655331\\655331\\53311\\53311\\311\end{matrix}}

Формула $r_style 7 (r_, display) } (r, r, r)}$ $N_{7}(r,r,r)$ было предположено Уильямом Х. Миллсом, Дэвидом Роббинсом и Говардом Рамси в их работе «Самодополняемые полностью симметричные плоские разбиения». Общее количество полностью симметричных самодополняющих плоских секций определяется выражением

N 7 (2 r, 2 r, 2 r) = D r {\ displaystyle N_ {7} (2r, 2r, 2r) = D_ {r }}

N_{7}(2r,2r,2r)=D_{r}

Джордж Эндрюс доказал эту формулу в 1994 году в своей статье Plane Partitions V: The TSSCPP Conjecture.

Ссылки

^Ричард П. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, том 2 Следствие 7.20.3.
^Р.П. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 2. С. 365, 401–2.
^Э. М. Райт, Формулы асимптотических разбиений I. Плоские разбиения, Ежеквартальный журнал математики 1 (1931) 177–189.
^Л. Мутафчиев и Э. Каменов, «Асимптотическая формула для числа плоских разбиений положительных целых чисел», Comptus Rendus-Academie Bulgare Des Sciences 59 (2006), нет. 4, 361.
^Мак-Магон, Перси А. (1896 г.). «XVI. Воспоминания по теории разбиения чисел. -Часть I». Философские труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 187 : Статья 52.
^Мак-Магон, майор Перси А. (1916). Комбинаторный анализ Том 2. Издательство Кембриджского университета. С. §495.
^Мак-Магон, майор Перси А. (1916). Комбинаторный анализ. 2 . Издательство Кембриджского университета. С. §429.
^Мак-Магон, майор Перси А. (1916). Комбинаторный анализ. Издательство Кембриджского университета. стр. §429, §494.
^Аткин, А. О. Л.; Bratley, P.; Macdonald, I.G.; Маккей, Дж. К. С. (1967). «Некоторые вычисления для m-мерных разбиений». Proc. Camb. Фил. Soc. 63 (4): 1097–1100. Bibcode : 1967PCPS... 63.1097A. doi : 10.1017 / s0305004100042171.
^ Макдональд, Ян Г. (1998). Симметричные функции и многочлены Холла. Кларендон Пресс. стр. 20f, 85f. ISBN 9780198504504.
^Мак-Магон, Перси Александр (1899). «Разбиения чисел, графики которых обладают симметрией». Труды Кембриджского философского общества. 17.
^Бендер и Кнут (1972). «Перечень плоских перегородок». Журнал комбинаторной теории, серия A. 13 : 40–54. doi : 10.1016 / 0097-3165 (72) 90007-6.
^Эндрюс, Джордж Э. (1977). «Плоские перегородки II: эквивалентность гипотез Бендера-Кнута и Мак-Магона». Тихоокеанский математический журнал. 72 (2): 283–291. doi : 10.2140 / pjm.1977.72.283.
^Эндрюс, Джордж (1975). «Плоские перегородки (I): гипотеза Мак-Махона». Adv. Математика. Дополнение Stud. 1.
^Эндрюс, Джордж Э. (1977). «Гипотеза Мак-Магона о симметричных плоских разбиениях». Труды Национальной академии наук. 74 (2): 426–429. Bibcode : 1977PNAS... 74..426A. doi : 10.1073 / pnas.74.2.426. PMC 392301. PMID 16592386.
^Эндрюс, Джордж Э. (1979). «Плоские перегородки (III): слабая гипотеза Макдональда». Inventiones Mathematicae. 53 (3): 193–225. Bibcode : 1979InMat..53..193A. doi : 10.1007 / bf01389763. S2CID 122528418.
^Миллс, Роббинс, Рамси (1982). «Доказательство гипотезы Макдональда». Inventiones Mathematicae. 66 : 73–88. Bibcode : 1982InMat..66... 73M. doi : 10.1007 / bf01404757. S2CID 120926391. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
^Стембридж, Джон Р. (1995). "Перечисление полностью симметричной плоскости Разделы ». Успехи в математике. 111 (2): 227–243. doi : 10.1006 / aima.1995.1023.
^Эндрюс, Пол, Шнайдер (2005). «Плоские разделы VI: теорема Стембриджа TSPP». Достижения в прикладной математике. 34 (4): 709–739. doi : 10.1016 / j.aam.2004.07.008. CS1 maint: множественные имена: список авторов (ссылка )
^Bressoud, David M. (1999). Proofs and Confirmations. Cambridge University Press. Стр. Соедин. 13. ISBN 9781316582756.
^ Стэнли, Ричард П. (1970). «Дюжина гипотез Бейкера относительно плоских разбиений». Combinatoire enumérative: 285–293.
^Эндрюс, Джордж (1980). «Полностью симметричный. плоские перегородки ". Abstracts Amer. Math. Soc. 1 : 415.
^Koutschan, Kauers, Zeilberger (2011)." Доказательство гипотезы Джорджа Эндрюса и Дэвида Роббинса q-TSPP ". PNAS. 108 (6): 2196–2199. arXiv : 1002.4384. Bibcode : 2011PNAS..108.2196K. doi : 10.1073 / pnas.1019186108. S2CID 12077490. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
^ Стэнли, Ричард П. (1986). «Симметрии плоских разделов». Журнал комбинаторной теории, серия A. 43 : 103–113. doi : 10.1016 / 0097-3165 (86) 90028-2.
^"Erratum". комбинаторной теории. 43 : 310. 1986.
^Eisenkölbl, Theresia (2008). «Тождество функции Шура, связанное с (−1) -перечислением самодополняемых плоских разбиений» 95>. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 115 : 199–212. doi : 10.1016 / j.jcta.2007.05.004.
^Стэнли, Ричард П.. (1971). "Теория и применение плоских разделений. Часть 2". Достижения в прикладной математике. 50 (3): 259–279. doi : 10.1002 / sapm1971503259.
^Kuperberg, Greg (1994). "Symmetries of plane partitions and the permanent-determinant method". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 68: 115–151. arXiv :math/9410224. Bibcode : 1994math.....10224K. doi :10.1016/0097-3165(94)90094-9. S2CID 14538036.
^Mills, Robbins, Rumsey (1986). "Self-Complementary Totally Symmetric Plane Partitions". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 42(2): 277–292. doi :10.1016/0097-3165(86)90098-1.CS1 maint: multiple names: authors list (link )
^Andrews, George E. (1994). "Plane Partitions V: The TSSCPP Conjecture". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 66: 28–39. doi :10.1016/0097-3165(94)90048-5.

G. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press, Cambridge, 1998, ISBN 0-521-63766-X
Bender, Edward A.; Knuth, Donald E. (1972), "Enumeration of plane partitions", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 13: 40–54, doi :10.1016/0097-3165(72)90007-6, ISSN 1096-0899, MR 0299574
I.G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, Oxford, 1999, ISBN 0-19-850450-0
P.A. MacMahon, Combinatory analysis, 2 vols, Cambridge University Press, 1915–16.

External links