Пандиагональный магический квадрат

Pandiagonal квадрат магии или panmagic квадрат (также дьявольский квадрат, дьявольский квадрат или дьявольский квадрат магии) является магическим квадратом с дополнительным свойством, что сломанные диагонали, то есть диагонали, которые обертывают круглые по краям площади, а также добавить до магическая константа.

Пандиагональный магический квадрат остается пандиагонально магическим не только при вращении или отражении, но также при перемещении строки или столбца с одной стороны квадрата на противоположную. Таким образом, пандиагональный магический квадрат можно рассматривать как имеющий ориентацию. ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle 8n ^ {2}}$

• 1 3 × 3 пандиагональных магических квадрата
• 2 пандиагональных магических квадрата 4 × 4
• 3 пандиагональных магических квадрата 5 × 5
• 4 (4 n +2) × (4 n +2) пандиагональных магических квадрата с непоследовательными элементами
• 5 (6 n ± 1) × (6 n ± 1) пандиагональных магических квадратов
• 6 4 n × 4 n пандиагональных магических квадратов
• 7 (6 n +3) × (6 n +3) пандиагональных магических квадратов
• 8 ссылки
• 9 Внешние ссылки

Можно показать, что нетривиальных пандиагональных магических квадратов третьего порядка не существует. Предположим, что квадрат

${\ displaystyle {\ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \! \! a_ {11} \! \! \! amp; \! \! a_ {12} \! \! \! amp; \! \! a_ {13} \! \! \! \\\ hline \! \! a_ {21} \! \! \! amp; \! \! a_ {22} \! \! \! amp; \! \! a_ {23} \! \! \! \\\ hline \! \! a_ {31} \! \! \! amp; \! \! a_ {32} \! \! \! amp; \! \! a_ {33} \! \! \! \\\ hline \ end {массив}}}$

пандиагонально магия с магической суммой. Суммы и результаты складываются в. Вычитаем и получаем. Однако, если мы переместим третий столбец вперед и проведем то же доказательство, мы получим. Фактически, используя симметрию магических квадратов 3 × 3, все клетки должны быть равны. Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 3 × 3 должны быть тривиальными. ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle a_ {11} + a_ {22} + a_ {33},}$ ${\ displaystyle a_ {12} + a_ {22} + a_ {32},}$${\ displaystyle a_ {13} + a_ {22} + a_ {31}}$${\ displaystyle 3s}$${\ displaystyle a_ {11} + a_ {12} + a_ {13}}$${\ displaystyle a_ {31} + a_ {32} + a_ {33},}$${\ displaystyle 3a_ {22} = s}$${\ displaystyle 3a_ {21} = s}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} s}$

Однако, если концепция магического квадрата обобщается и включает геометрические формы вместо чисел - геометрические магические квадраты, открытые Ли Саллоусом - пандиагональный магический квадрат 3 × 3 действительно существует.

Диаграмма Эйлера требований некоторых типов магических квадратов 4 × 4. Ячейки одного цвета суммируются с магической константой.

Наименьшие нетривиальные пандиагональные магические квадраты - это квадраты 4 × 4. Все пандиагональные магические квадраты 4 × 4 должны быть трансляционно симметричными по форме

а	а + б + с + е	а + с + г	а + б + г + д
а + б + с + г	а + г + е	а + б	а + с + е
а + б + е	а + с	а + б + с + г + д	а + г
а + с + г + д	а + б + г	а + е	а + б + с

Поскольку каждый подквадрат 2 × 2 суммируется с магической константой, пандиагональные магические квадраты 4 × 4 являются наиболее совершенными магическими квадратами. Кроме того, два числа в противоположных углах любого квадрата 3 × 3 в сумме составляют половину магической суммы. Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 4 × 4, которые являются ассоциативными, должны иметь повторяющиеся ячейки.

Все 4 × 4 pandiagonal квадратов магических чисел с использованием 1-16 без дубликатов получаются, позволяя в равной 1; позволяя b, c, d и e равняться 1, 2, 4 и 8 в некотором порядке; и применяя некоторый перевод. Например, при b = 1, c = 2, d = 4 и e = 8 у нас есть магический квадрат

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

Количество пандиагональных магических квадратов 4 × 4, использующих числа 1-16 без дубликатов, составляет 384 (16 × 24, где 16 соответствует переводу, а 24 - 4! Способам присвоения 1, 2, 4 и 8 значению b, c, d и e).

Есть много пандиагональных магических квадратов 5 × 5. В отличие от пандиагональных магических квадратов 4 × 4, они могут быть ассоциативными. Ниже приведен ассоциативный пандиагональный магический квадрат 5 × 5:

20	8	21 год	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

Помимо строк, столбцов и диагоналей, пандиагональный магический квадрат 5 × 5 также показывает свою магическую сумму в четырех образцах « quincunx », которые в приведенном выше примере:

17 + 25 + 13 + 1 + 9 = 65 (центр плюс квадраты соседних строк и столбцов)

21 + 7 + 13 + 19 + 5 = 65 (центр плюс оставшиеся квадраты строки и столбца)

4 + 10 + 13 + 16 + 22 = 65 (центр плюс прилегающие по диагонали квадраты)

20 + 2 + 13 + 24 + 6 = 65 (центр плюс оставшиеся квадраты на его диагоналях)

Каждый из этих квинконсов может быть переведен в другие позиции в квадрате путем циклической перестановки строк и столбцов (обертывания), что в пандиагональном магическом квадрате не влияет на равенство магических сумм. Это приводит к 100 сумм квинконса, включая сломанные квинконсы, аналогичные сломанным диагоналям.

Суммы quincunx могут быть доказаны путем взятия линейных комбинаций сумм по строкам, столбцам и диагонали. Рассмотрим пандиагональный магический квадрат

${\ displaystyle {\ begin {array} {| c | c | c | c | c |} \ hline \! \! a_ {11} \! \! \! amp; \! \! a_ {12} \! \ ! \! amp; \! \! a_ {13} \! \! \! amp; \! \! a_ {14} \! \! \! amp; \! \! a_ {15} \! \! \! \\ \ hline \! \! a_ {21} \! \! \! amp; \! \! a_ {22} \! \! \! amp; \! \! a_ {23} \! \! \! amp; \! \ ! a_ {24} \! \! \! amp; \! \! a_ {25} \! \! \! \\\ hline \! \! a_ {31} \! \! \! amp; \! \! a_ {32} \! \! \! amp; \! \! A_ {33} \! \! \! amp; \! \! A_ {34} \! \! \! amp; \! \! A_ {35} \! \! \! \\\ hline \! \! a_ {41} \! \! \! amp; \! \! a_ {42} \! \! \! amp; \! \! a_ {43} \! \! \! amp; \! \! a_ {44} \! \! \! amp; \! \! a_ {45} \! \! \! \\\ hline \! \! a_ {51} \! \! \! amp; \! \! a_ {52} \! \! \! amp; \! \! a_ {53} \! \! \! amp; \! \! a_ {54} \! \! \! amp; \! \! a_ {55} \! \! \! \\\ hline \ end {массив}}}$

с магической суммой s. Чтобы доказать сумму quincunx (соответствующая приведенному выше примеру 20 + 2 + 13 + 24 + 6 = 65), мы можем сложить следующее: ${\ displaystyle a_ {11} + a_ {15} + a_ {33} + a_ {51} + a_ {55} = s}$

3 раза каждую диагональную сумму и,${\ displaystyle a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} + a_ {44} + a_ {55}}$${\ displaystyle a_ {15} + a_ {24} + a_ {33} + a_ {42} + a_ {51}}$

Диагональные суммы,,, и,${\ displaystyle a_ {11} + a_ {25} + a_ {34} + a_ {43} + a_ {52}}$${\ displaystyle a_ {12} + a_ {23} + a_ {34} + a_ {45} + a_ {51}}$${\ displaystyle a_ {14} + a_ {23} + a_ {32} + a_ {41} + a_ {55}}$${\ displaystyle a_ {15} + a_ {21} + a_ {32} + a_ {43} + a_ {54}}$

Строка суммирует и.${\ displaystyle a_ {11} + a_ {12} + a_ {13} + a_ {14} + a_ {15}}$${\ displaystyle a_ {51} + a_ {52} + a_ {53} + a_ {54} + a_ {55}}$

Из этой суммы вычтите следующее:

Суммы строк и,${\ displaystyle a_ {21} + a_ {22} + a_ {23} + a_ {24} + a_ {25}}$${\ displaystyle a_ {41} + a_ {42} + a_ {43} + a_ {44} + a_ {45}}$

Сумма столбца,${\ displaystyle a_ {13} + a_ {23} + a_ {33} + a_ {43} + a_ {53}}$

Дважды каждая из колонок суммирует и.${\ displaystyle a_ {12} + a_ {22} + a_ {32} + a_ {42} + a_ {52}}$${\ displaystyle a_ {14} + a_ {24} + a_ {34} + a_ {44} + a_ {54}}$

Чистый результат: деление на 5 дает сумму квинконса. Подобные линейные комбинации могут быть построены и для других моделей квиконса, и. ${\ displaystyle 5a_ {11} + 5a_ {15} + 5a_ {33} + 5a_ {51} + 5a_ {55} = 5s}$${\ displaystyle a_ {23} + a_ {32} + a_ {33} + a_ {34} + a_ {43}}$${\ displaystyle a_ {13} + a_ {31} + a_ {33} + a_ {35} + a_ {53}}$${\ displaystyle a_ {22} + a_ {24} + a_ {33} + a_ {42} + a_ {44}}$

Не существует пандиагонального магического квадрата порядка, если используются последовательные целые числа. Но некоторые последовательности непоследовательных целых чисел допускают использование пандиагональных магических квадратов order- (). ${\ displaystyle 4n + 2}$${\ displaystyle 4n + 2}$

Рассмотрим сумму 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24. Эту сумму можно разделить пополам, взяв соответствующие группы из трех слагаемых, или на трети, используя группы из двух слагаемых:

1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 12

1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 8

Дополнительное равное разделение суммы квадратов гарантирует полумагическое свойство, указанное ниже:

1 ² +5 ² +6 ² = 2 ² +3 ² +7 ² = 62

Обратите внимание, что последовательная целочисленная сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, нечетная сумма, не имеет половинного разбиения.

При наличии обоих равных разделов числа 1, 2, 3, 5, 6, 7 могут быть организованы в пандигональные шаблоны 6x6 A и B, соответственно задаваемые следующим образом:

1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3
1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3

6	5	1	6	5	1
1	6	5	1	6	5
5	1	6	5	1	6
2	3	7	2	3	7
7	2	3	7	2	3
3	7	2	3	7	2

Затем (где C - магический квадрат с 1 для всех ячеек) дает непоследовательный пандиагональный квадрат 6x6: ${\ displaystyle 7A + B-7C}$

6	33	36	48	19	8
29	41 год	5	15	13	47
40	1	34	12	43 год	20
2	31 год	42	44 год	17	14
35 год	37	3	21 год	9	45
38	7	30	10	49	16

с максимальным элементом 49 и пандиагональной магической суммой 150. Этот квадрат является пандиагональным и полубимагическим, это означает, что строки, столбцы, главные диагонали и ломаные диагонали имеют сумму 150 и, если возвести в квадрат все числа в квадрате, только строки и столбцы являются магическими и имеют сумму 5150.

Для 10-го порядка аналогичное построение возможно с использованием равных разбиений суммы 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70:

1 + 3 + 9 + 10 + 12 = 2 + 4 + 5 + 11 + 13 = 35

1 + 13 = 2 + 12 = 3 + 11 = 4 + 10 = 5 + 9 = 14

1 ² +3 ² +9 ² +10 ² +12 ² = 2 ² +4 ² +5 ² +11 ² +13 ² = 335 (равное разбиение квадратов; полумагическое свойство)

Это приводит к квадратам с максимальным элементом 169 и пандиагональной магической суммой 850, которые также являются полумагическими с суммой квадратов в каждой строке или столбце, равной 102 850.

Pandiagonal квадрат магии может быть построен с помощью алгоритма ниже. ${\ Displaystyle (6n \ pm 1) \ раз (6n \ pm 1)}$

1. Установите первый столбец квадрата с первыми натуральными числами. ${\ displaystyle 6n \ pm 1}$

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
2. Скопируйте первый столбец во второй столбец, но сдвиньте его по кольцу на 2 строки.

   1	6
   2	7
   3	1
   4	2
   5	3
   6	4
   7	5
3. Продолжайте копировать текущий столбец в следующий столбец с кольцевым сдвигом на 2 строки, пока квадрат не заполнится полностью.

   1	6	4	2	7	5	3
   2	7	5	3	1	6	4
   3	1	6	4	2	7	5
   4	2	7	5	3	1	6
   5	3	1	6	4	2	7
   6	4	2	7	5	3	1
   7	5	3	1	6	4	2
4. Постройте второй квадрат и скопируйте в него транспонирование первого квадрата.

   А   1    6    4    2    7    5    3    2    7    5    3    1    6    4    3    1    6    4    2    7    5    4    2    7    5    3    1    6    5    3    1    6    4    2    7    6    4    2    7    5    3    1    7    5    3    1    6    4    2

   ${\ displaystyle A ^ {T}}$   1    2    3    4    5    6    7    6    7    1    2    3    4    5    4    5    6    7    1    2    3    2    3    4    5    6    7    1    7    1    2    3    4    5    6    5    6    7    1    2    3    4    3    4    5    6    7    1    2
5. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на, добавив первый квадрат и вычитая в каждой ячейке квадрата. ${\ displaystyle 6n \ pm 1}$${\ displaystyle 6n \ pm 1}$

   Пример:, где B - магический квадрат, в котором все ячейки равны 1. ${\ Displaystyle A + (6n \ pm 1) A ^ {T} - (6n \ pm 1) B}$

   1	13	18	23	35 год	40	45
   37	49	5	10	15	27	32
   24	29	41 год	46	2	14	19
   11	16	28 год	33	38	43 год	6
   47	3	8	20	25	30	42
   34	39	44 год	7	12	17	22
   21 год	26 год	31 год	36	48	4	9

Pandiagonal квадрат магии может быть построен с помощью алгоритма ниже. ${\ displaystyle 4n \ times 4n}$

1. Поместите первые натуральные числа в первую строку и первые столбцы квадрата. ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 2n}$

   1	2	3	4
2. Поместите следующие натуральные числа под первыми натуральными числами в обратном порядке. Каждая вертикальная пара должна иметь одинаковую сумму. ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 2n}$

   1	2	3	4
   8	7	6	5
3. Скопируйте этот прямоугольник под первым прямоугольником. ${\ displaystyle 2 \ times 2n}$${\ displaystyle 2n-1}$

   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
4. Скопируйте левый прямоугольник в правый, но сдвиньте его по кольцу на один ряд. ${\ displaystyle 4n \ times 2n}$${\ displaystyle 4n \ times 2n}$

   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
5. Постройте второй квадрат 4n × 4n и скопируйте в него первый квадрат, но поверните его на 90 °.

   А   1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4

   B   5    4    5    4    5    4    5    4    6    3    6    3    6    3    6    3    7    2    7    2    7    2    7    2    8    1    8    1    8    1    8    1    4    5    4    5    4    5    4    5    3    6    3    6    3    6    3    6    2    7    2    7    2    7    2    7    1    8    1    8    1    8    1    8
6. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на, добавив первый квадрат и вычитая в каждой ячейке квадрата. ${\ displaystyle 4n}$${\ displaystyle 4n}$

   Пример:, где C - магический квадрат, в котором все ячейки равны 1. ${\ displaystyle A + 4nB-4nC}$

   33	26 год	35 год	28 год	40	31 год	38	29
   48	23	46	21 год	41 год	18	43 год	20
   49	10	51	12	56	15	54	13
   64	7	62	5	57 год	2	59	4
   25	34	27	36	32	39	30	37
   24	47	22	45	17	42	19	44 год
   9	50	11	52	16	55	14	53
   8	63	6	61	1	58	3	60

Если мы построим пандиагональный магический квадрат с помощью этого алгоритма, тогда каждый квадрат в квадрате будет иметь одинаковую сумму. Следовательно, многие симметричные образцы ячеек имеют такую ​​же сумму, как любая строка и любой столбец квадрата. Особенно каждый и каждый прямоугольник будет иметь ту же сумму, как и любой строки и любого столбца квадрата. Квадрат также Наиболее совершенный магический квадрат. ${\ displaystyle 4n \ times 4n}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$${\ displaystyle 4n \ times 4n}$${\ displaystyle 4n}$${\ displaystyle 4n \ times 4n}$${\ displaystyle 2n \ times 2}$${\ displaystyle 2 \ times 2n}$${\ displaystyle 4n \ times 4n}$${\ displaystyle 4n \ times 4n}$

Pandiagonal квадрат магии может быть построен с помощью алгоритма ниже. ${\ Displaystyle (6n + 3) \ раз (6n + 3)}$

1. Создайте прямоугольник с первыми натуральными числами, чтобы в каждом столбце была одинаковая сумма. Вы можете сделать это, начав с магического квадрата 3 × 3 и настроив остальные ячейки прямоугольника в стиле меандра. Вы также можете использовать шаблон, показанный в следующих примерах. ${\ Displaystyle (2n + 1) \ раз 3}$${\ displaystyle 6n + 3}$

   Для квадрата 9 × 9  1   2   3   5   6   4   9   7   8  сумма по вертикали = 15

   Для квадрата 15 × 15  1   2   3   5   6   4   9   7   8   10   11   12   15   14   13  сумма по вертикали = 40

   Для квадрата 21 × 21  1   2   3   5   6   4   9   7   8  10 11 12 15 14 13 16 17 18 21 год 20 19 сумма по вертикали = 77
2. Поместите этот прямоугольник в левый верхний угол квадрата и две копии прямоугольника под ним так, чтобы первые 3 столбца квадрата были заполнены полностью. ${\ Displaystyle (6n + 3) \ раз (6n + 3)}$

   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
3. Скопируйте 3 левых столбца в следующие 3 столбца, но сдвиньте их по кольцу на 1 строку.

   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
4. Продолжайте копировать текущие 3 столбца в следующие 3 столбца, сдвинутые по кольцу на 1 строку, пока квадрат не будет заполнен полностью.

   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
5. Постройте второй квадрат и скопируйте в него транспонирование первого квадрата.

   А   1    2    3    9    7    8    5    6    4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3

   ${\ displaystyle A ^ {T}}$   1    5    9    1    5    9    1    5    9   2   6   7   2   6   7   2   6   7   3   4   8   3   4   8   3   4   8   9   1   5   9   1   5   9   1   5   7   2   6   7   2   6   7   2   6   8   3   4   8   3   4   8   3   4   5   9   1   5   9   1   5   9   1   6   7   2   6   7   2   6   7   2   4   8   3   4   8   3   4   8   3
6. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на, добавив первый квадрат и вычитая в каждой ячейке квадрата. ${\ displaystyle 6n + 3}$${\ displaystyle 6n + 3}$

   Пример:, где B - магический квадрат, в котором все ячейки равны 1. ${\ Displaystyle A + (6n + 3) A ^ {T} - (6n + 3) B}$

   1	38	75	9	43 год	80	5	42	76
   14	51	58	10	47	57 год	18	52	62
   27	34	71	23	33	67	19	29	66
   73	2	39	81 год	7	44 год	77	6	40
   59	15	49	55	11	48	63	16	53
   72	25	35 год	68	24	31 год	64	20	30
   37	74	3	45	79	8	41 год	78	4
   50	60	13	46	56	12	54	61	17
   36	70	26 год	32	69	22	28 год	65	21 год

1. ↑ Нг, Луи (13 мая 2018 г.). «Магический счет с вывернутыми наизнанку многогранниками» (PDF).

• В. С. Эндрюс, Магические квадраты и кубы. Нью-Йорк: Довер, 1960. Первоначально напечатано в 1917 году. См. Особенно главу X.

• Panmagic Square в MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares