Уравнение односторонней волны

A one- волновое уравнение - это уравнение в частных производных, используемое в таких областях науки, как геофизика, решения которого включают только волны, распространяющиеся в одном направлении. В одномерном случае одностороннее волновое уравнение позволяет рассчитать распространение волны без осложнений, связанных с наличием как исходящей, так и входящей волны (например, деструктивной или конструктивной интерференции). Некоторые методы аппроксимации используют одномерное волновое уравнение для трехмерных сейсмических расчетов.

Стандартное волновое уравнение 2-го порядка в одном измерении может быть записывается как:

$\partial \; 2\; s\; \partial \; t\; 2\; -\; c\; 2\; \partial \; 2\; s\; \partial \; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; s\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; c\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; s\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$,

где $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- координата, $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- время, $s\; =\; s\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; s\; (x,\; t)\}$- смещение, а $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- скорость волны.

Из-за неоднозначности направления скорости волны $c\; 2\; =\; (+\; c)\; 2\; =\; (-\; c)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; (+\; c)\; ^\; \{\; 2\}\; =\; (-\; c)\; ^\; \{2\}\}$, уравнение не ограничивает направление волны и поэтому имеет решения, распространяющиеся как в прямом направлении ($+\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; x\}$) и назад ($-\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\}$) направлениях. Общее решение уравнения - это решения в этих двух направлениях:

$s\; (x,\; t)\; =\; s\; +\; (t\; -\; x\; /\; c)\; +\; s\; -\; (t\; +\; x\; /\; c)\; \{\backslash \; textstyle\; s\; (x,\; t)\; =\; s\; \_\; \{+\}\; (tx\; /\; c)\; +\; s\; \_\; \{-\}\; (t\; +\; x\; /\; c)\}$

где $s\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{+\}\}$и $s\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{-\}\}$равные и противоположные смещения.

Когда формулируется задача односторонней волны, направление распространения волны может быть выбрано произвольно, удерживая один из двух членов в общем решении.

Факторизация оператора в левой части уравнения дает пару односторонних волновых уравнений, одно с решениями, которые распространяются вперед, а другое с решениями, которые распространяются назад.

$(\partial \; 2\; \partial \; t\; 2\; -\; с\; 2\; \partial \; 2\; \partial \; Икс\; 2)\; s\; знак\; равно\; (\partial \; \partial \; T\; -\; c\; \partial \; \partial \; x)\; (\partial \; \partial \; t\; +\; c\; \partial \; \partial \; x)\; s\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\; -\; c\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; s\; =\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; -c\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; +\; c\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; s\; =\; 0,\}$

Бегущие вперед и назад волны описываются соответственно:

$\partial \; s\; \partial \; t\; -\; c\; \partial \; s\; \partial \; x\; =\; 0\; \partial \; s\; \partial \; t\; +\; c\; \partial \; s\; \partial \; x\; =\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; c\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; 0\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; c\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; 0\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Уравнения односторонней волны (в однородная среда) также может быть получена непосредственно из характеристики удельное акустическое сопротивление. В продольной плоской волне удельный импеданс определяет локальную пропорциональность давления $p\; =\; p\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; p\; (x,\; t)\}$и скорости частицы $v\; знак\; равно\; v\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; v\; (x,\; t)\}$:

$pv\; =\; \rho \; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{v\}\}\; =\; \backslash \; rho\; c,\}$

где $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$= плотность.

Преобразование уравнения импеданса приводит к:

$v\; -\; 1\; \rho \; cp\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; rho\; c\}\}\; p\; =\; 0\}$(*)

Продольная плоская волна угловой частоты $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$имеет смещение $s\; =\; s\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; s\; (x,\; t)\}$. Давление $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и скорость частицы $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$могут быть выражены через смещение $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$($E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$: Модуль упругости ):

$p:\; =\; E\; \partial \; s\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; p:\; =\; E\; \{\backslash \; partial\; s\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\}$[Это полная аналогия с stress $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$в механике : $\sigma \; =\; E\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; E\; \backslash \; epsilon\}$, где деформация определяется как $ϵ\; =\; \Delta \; LL\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; L\}\; \{L\}\; \}\}$]

$v\; =\; \partial \; s\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; partial\; s\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\}$

Эти отношения, вставленные в уравнение выше (*), дают:

$\partial \; s\; \partial \; t\; -\; E\; \rho \; c\; \partial \; s\; \partial \; Икс\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; partial\; s\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; -\; \{E\; \backslash \; over\; \backslash \; rho\; c\}\; \{\backslash \; partial\; s\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; =\; 0\}$

с локальным определение скорости волны (скорость звука ):

$c\; =\; E\; (x)\; \rho \; (x)\; \iff \; c\; =\; E\; \rho \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{E\; (x)\; \backslash \; over\; \backslash \; rho\; (x)\}\}\; \backslash \; Leftrightarrow\; c\; =\; \{E\; \backslash \; o\; ver\; \backslash \; rho\; c\}\}$

непосредственно следует уравнению в частных производных 1-го порядка одностороннего волнового уравнения:

$\partial \; s\; \partial \; t\; -\; c\; \partial \; s\; \partial \; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; c\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; s\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; 0\}\}$

Скорость волны $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$можно задать в этом волновом уравнении как $+\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; c\}$или $-\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; -c\}$в соответствии с направлением распространения волны.

Для распространения волны в направлении $+\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; c\}$единственное решение:

$s\; (x,\; t)\; =\; s\; +\; (t\; -\; x\; /\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (x,\; t)\; =\; s\; \_\; \{+\}\; (tx\; /\; c)\}$

и для распространения волн в направлении $-\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; -c\}$соответствующее решение:

$s\; (x,\; t)\; =\; s\; -\; (t\; +\; x\; /\; c)\; \{\backslash \; textstyle\; s\; (x,\; t)\; =\; s\; \_\; \{-\}\; (t\; +\; x\; /\; c)\}$

• волновое уравнение

• стоячая волна

1. ^Trefethen, L N. «19. Уравнения односторонней волны» (PDF).
2. ^Qiqiang, Yang (2012- 01-01). «Прямое моделирование уравнения односторонней акустической волны методом Хартли». Науки об окружающей среде. 2011 Международная конференция экологических наук и инженерии. 12 : 1116–1121. doi : 10.1016 / j.proenv.2012.01.396. ISSN 1878-0296.
3. ^Чжан Юй; Чжан, Гуаньцюань; Блейстейн, Норман (сентябрь 2003 г.). «Миграция уравнения истинной амплитуды волны, возникающая из уравнений односторонней волны истинной амплитуды». Обратные задачи. 19 (5): 1113–1138. DOI : 10.1088 / 0266-5611 / 19/5/307. ISSN 0266-5611.
4. ^Ангус Д.А. (01.03.2014). «Уравнение односторонней волны: инструмент полной формы волны для моделирования явлений объемных сейсмических волн» (PDF). Исследования по геофизике. 35 (2): 359–393. DOI : 10.1007 / s10712-013-9250-2. ISSN 1573-0956. S2CID 121469325.
5. ^Байсал, Эдип; Kosloff, Dan D.; Sherwood, JWC (февраль 1984 г.), «Двустороннее неотражающее волновое уравнение», Geophysics, 49(2), pp. 132–141, doi : 10.1190 / 1.1441644, ISSN 0016-8033
6. ^Ангус, Д.А. (2013-08-17), «Уравнение односторонней волны: инструмент полной формы волны для моделирования сейсмического тела Волновые явления » (PDF), Surveys in Geophysics, 35(2), pp. 359–393, doi : 10.1007 / s10712-013-9250-2, ISSN 0169-3298, S2CID 121469325
7. ^Бшорр, Оскар; Раида, Ханс-Иоахим (март 2020 г.). «Уравнение односторонней волны, выведенное из теоремы об импедансе». Акустика. 2 (1): 164–170. doi :10.3390/acoustics2010012.
8. ^https://mathworld.wolfram.com/WaveEquation1-Dimensional.html