Войти
Теорема Монжа. Пересечение красных линий, синих и зеленых линий коллинеарно, и все они попадают на черную линию. В геометрии, теорема Монжа, названная в честь Монжа, утверждает, что для любых трех окружностей на плоскости, ни один из которых не является полностью в один из других, точек пересечения каждых из трех пар внешних касательных линий коллинеарны.
Для любых двух окружностей на плоскости внешняя касательная - это линия, которая касается обеих окружностей, но не проходит между ними. Для любых двух окружностей есть две такие внешние касательные. Каждая такая пара имеет уникальную точку пересечения на расширенной евклидовой плоскости. Теорема Монжа утверждает, что три такие точки, заданные тремя парами окружностей, всегда лежат на одной прямой. В случае двух окружностей равного размера две внешние касательные параллельны. В этом случае теорема Монжа утверждает, что две другие точки пересечения должны лежать на прямой, параллельной этим двум внешним касательным. Другими словами, если считается, что две внешние касательные пересекаются в бесконечно удаленной точке, то две другие точки пересечения должны находиться на прямой, проходящей через ту же бесконечно удаленную точку, поэтому линия между ними принимает тот же угол, что и внешняя касательная.
В простейшем доказательстве используется трехмерная аналогия. Пусть три круга соответствуют трем сферам разного радиуса; круги соответствуют экваторам, которые образуются из плоскости, проходящей через центры сфер. Три сферы можно однозначно зажать между двумя плоскостями. Каждая пара сфер определяет конус, который касается обеих сфер с внешней стороны, и вершина этого конуса соответствует точке пересечения двух внешних касательных, то есть внешнему центру гомотетики. Поскольку одна линия конуса лежит в каждой плоскости, вершина каждого конуса должна лежать в обеих плоскостях и, следовательно, где-то на линии пересечения двух плоскостей. Следовательно, три внешних центра гомотетии коллинеарны.
Теорема Монжа также может быть доказана с помощью теоремы Дезарга. Другое простое доказательство использует теорему Менелая, поскольку отношения могут быть вычислены с диаметрами каждой окружности, которые будут исключены циклическими формами при использовании теоремы Менелая. Теорема Дезарга также утверждает, что 3 точки лежат на прямой, и имеет аналогичное доказательство, использующее ту же идею рассмотрения ее в 3, а не в 2 измерениях и записи линии как пересечения двух плоскостей.
