Войти
Треугольники перспективы. Соответствующие стороны треугольников при удлинении встречаются в точках на линии, называемой осью перспективы. Линии, проходящие через соответствующие вершины треугольников, встречаются в точке, называемой центром перспективности. Теорема Дезарга утверждает, что истинность первого условия необходима и достаточна для истинности второго. В проективной геометрии, теорема Дезарга, названная в честь Дезарг, гласит:
Обозначим через три вершины одного треугольника с в, б и с, и тех, с другой стороны A, B и C. Осевая перспективность означает, что прямые ab и AB пересекаются в одной точке, прямые ac и AC встречаются во второй точке, а прямые bc и BC пересекаются в третьей точке, и что все эти три точки лежат на общей линии, называемой осью перспективности.. Центральная перспективность означает, что три линии Aa, Bb и Cc параллельны в точке, называемой центром перспективности.
Эта теорема о пересечении верна в обычной евклидовой плоскости, но в исключительных случаях нужно проявлять особую осторожность, например, когда пара сторон параллельна, так что их «точка пересечения» уходит в бесконечность. Обычно, чтобы удалить эти исключения, математики «завершают» евклидову плоскость, добавляя точки на бесконечности, следуя Жан-Виктору Понселе. Это приводит к проективной плоскости.
Теорема Дезарга верна для реальной проективной плоскости и для любого проективного пространства, определенного арифметически из поля или тела ; который включает любое проективное пространство размерности больше двух или в котором выполняется теорема Паппа. Однако существует множество « недезарговских плоскостей », в которых теорема Дезарга неверна.
Дезарг никогда не публиковал эту теорему, но она появилась в приложении под названием Универсальный метод М. Дезарга для использования перспективы ( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la перспектива) к практической книге по использованию перспективы, опубликованной в 1648 г. его другом. и ученик Авраам Боссе (1602–1676).
Важность теоремы Дезарга в абстрактной проективной геометрии обусловлена, в частности, тем фактом, что проективное пространство удовлетворяет этой теореме тогда и только тогда, когда оно изоморфно проективному пространству, определенному над полем или телом.
В аффинном пространстве, таком как евклидова плоскость, подобное утверждение верно, но только если вы перечисляете различные исключения, связанные с параллельными линиями. Теорема Дезарга, таким образом, является одной из простейших геометрических теорем, естественным домом которой является проективное, а не аффинное пространство.
По определению, два треугольника являются перспективными тогда и только тогда, когда они находятся в перспективе по центру (или, что эквивалентно согласно этой теореме, в перспективе по оси). Обратите внимание, что перспективные треугольники не обязательно должны быть похожими.
При стандартной двойственности плоской проективной геометрии (где точки соответствуют линиям, а коллинеарность точек соответствует параллельности линий) утверждение теоремы Дезарга самодвойственно: осевая перспективность переводится в центральную перспективность и наоборот. Конфигурация Дезарга (ниже) является самодвойственной конфигурацией.
Эта самодуальность в формулировке объясняется обычным современным способом написания теоремы. Исторически сложилось так, что теорема читалась только так: «В проективном пространстве пара треугольников с центральной перспективой является аксиальной перспективой», и двойственное утверждение этого утверждения называлось обратной теоремой Дезарга и всегда упоминалось под этим именем.
Теорема Дезарга верна для проективного пространства любой размерности над любым полем или телом, а также верна для абстрактных проективных пространств размерности не менее 3. В размерности 2 плоскости, для которых она верна, называются дезарговыми плоскостями и аналогичны плоскостям, которые можно задать координаты над телом. Есть также много недезарговских плоскостей, на которых теорема Дезарга не выполняется.
Теорема Дезарга верна для любого проективного пространства размерности не менее 3, и в более общем плане для любого проективного пространства, которое может быть вложено в пространство размерности не менее 3.
Теорема Дезарга может быть сформулирована следующим образом:
Точки A, B, a и b компланарны (лежат в одной плоскости) из-за предполагаемого параллелизма Aa и Bb. Следовательно, прямые AB и ab принадлежат одной плоскости и должны пересекаться. Далее, если два треугольника лежат на разных плоскостях, то точка AB ∩ ab принадлежит обеим плоскостям. По симметричному рассуждению точки AC ∩ ac и BC c bc также существуют и принадлежат плоскостям обоих треугольников. Поскольку эти две плоскости пересекаются более чем в одной точке, их пересечение представляет собой линию, содержащую все три точки.
Это доказывает теорему Дезарга, если два треугольника не лежат в одной плоскости. Если они находятся в одной плоскости, теорему Дезарга можно доказать, выбрав точку не в плоскости, используя это, чтобы поднять треугольники из плоскости, чтобы приведенный выше аргумент работал, а затем спроецировав обратно в плоскость. Последний шаг доказательства не выполняется, если размерность проективного пространства меньше 3, поскольку в этом случае невозможно найти точку не на плоскости.
Теорема Монжа также утверждает, что три точки лежат на прямой, и имеет доказательство, использующее ту же идею рассмотрения ее в трех, а не в двух измерениях и записи линии как пересечения двух плоскостей.
Поскольку существуют недезарговы проективные плоскости, в которых теорема Дезарга неверна, необходимо выполнить некоторые дополнительные условия, чтобы ее доказать. Эти условия обычно принимают форму предположения о существовании достаточно большого числа коллинеаций определенного типа, что, в свою очередь, приводит к показу, что лежащая в основе алгебраическая система координат должна быть телом (телом).
Теорема Паппа о шестиугольнике утверждает, что если шестиугольник AbCaBc нарисован таким образом, что вершины a, b и c лежат на одной прямой, а вершины A, B и C лежат на второй линии, то каждые две противоположные стороны шестиугольника лежат на одной прямой. две прямые, которые встречаются в точке, и три точки, построенные таким образом, лежат на одной прямой. Плоскость, на которой теорема Паппа универсально верна, называется папповой. Хессенберг (1905) показал, что теорему Дезарга можно вывести из трех приложений теоремы Паппа.
Обратное этот результат не соответствует действительности, то есть, не все дезарговы самолеты Pappian. Универсальное удовлетворение теоремы Паппа эквивалентно коммутативности лежащей в основе системы координат. Плоскость, определенная над некоммутативным телом (телом, не являющимся полем), следовательно, будет дезарговой, но не папской. Однако из-за маленькой теоремы Веддерберна, которая утверждает, что все конечные тела являются полями, все конечные дезарговы плоскости являются папповыми. Нет никакого известного полностью геометрического доказательства этого факта, хотя Bamberg amp; Penttila (2015) дает доказательство, использующее только «элементарные» алгебраические факты (а не всю силу маленькой теоремы Веддерберна).
Конфигурация Дезарга рассматривается как пара вписанных друг в друга пятиугольников: каждая вершина пятиугольника лежит на линии, проходящей через одну из сторон другого пятиугольника. Десять прямых, участвующих в теореме Дезарга (шесть сторон треугольников, три прямые Aa, Bb и Cc и ось перспективности), и десять задействованных точек (шесть вершин, три точки пересечения на оси перспективности и центр перспективы) расположены так, что каждая из десяти линий проходит через три из десяти точек, а каждая из десяти точек лежит на трех из десяти линий. Эти десять точек и десять линий составляют конфигурацию Дезарга, пример проективной конфигурации. Хотя теорема Дезарга выбирает разные роли для этих десяти линий и точек, сама конфигурация Дезарга более симметрична : любая из десяти точек может быть выбрана в качестве центра перспективы, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников и какая линия будет осью перспективности.
Эта ограниченная версия утверждает, что если два треугольника являются перспективными из точки на данной линии, и две пары соответствующих сторон также пересекаются на этой линии, то третья пара соответствующих сторон также пересекается на этой линии. Таким образом, это специализация теоремы Дезарга только на тех случаях, когда центр перспективности лежит на оси перспективности.
Муфангова плоскость проективная плоскость, в которой мало Дезаргах теорема справедлива для каждой строки.
