Сечение передачи импульса

В физике, и особенно в теории рассеяния, сечение передачи импульса (иногда называемое сечением переноса импульса) является эффективным сечением рассеяния, используемым для описания среднего импульса, передаваемого частицей, когда она сталкивается с мишенью. По сути, он содержит всю информацию о процессе рассеяния, необходимую для вычисления среднего переданного импульса, но игнорирует другие детали об угле рассеяния.

Сечение передачи импульса определяется в терминах (азимутально симметричного и независимого от импульса) дифференциального сечения формулой ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {tr}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} (\ theta)}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {tr}} = \ int (1- \ cos \ theta) {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} (\ theta) \ mathrm {d} \ Omega}$

${\ displaystyle = \ int \ int (1- \ cos \ theta) {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} (\ theta) \ sin \ theta \ mathrm {d } \ theta \ mathrm {d} \ phi}$.

Сечение передачи импульса можно записать в терминах фазовых сдвигов из парциального волнового анализа как

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {tr}} = {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2}}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} (l + 1) \ sin ^ {2} [\ delta _ {l + 1} (k) - \ delta _ {l} (k)].}$

Фактор возникает следующим образом. Пусть падающая частица движется по оси с векторным импульсом ${\ Displaystyle 1- \ соз \ тета}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {\ mathrm {in}} = q {\ hat {z}}}$.

Предположим, что частица рассеивается от мишени с полярным углом и плоскостью азимутального угла. Его новый импульс ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {\ mathrm {out}} = q '\ cos \ theta {\ hat {z}} + q' \ sin \ theta \ cos \ phi {\ hat {x}} + q '\ sin \ theta \ sin \ phi {\ hat {y}}}$.

Для столкновения с гораздо более тяжелой целью, чем поражающая частица (например, электрон, падающий на атом или ион), поэтому ${\ displaystyle q '\ backsimeq q}$

${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {\ mathrm {out}} \ simeq q \ cos \ theta {\ hat {z}} + q \ sin \ theta \ cos \ phi {\ hat {x}} + q \ sin \ theta \ sin \ phi {\ hat {y}}}$

Сохраняя импульс, цель приобрела импульс

${\ displaystyle \ Delta {\ vec {p}} = {\ vec {p}} _ {\ mathrm {in}} - {\ vec {p}} _ {\ mathrm {out}} = q (1- \ cos \ theta) {\ hat {z}} - q \ sin \ theta \ cos \ phi {\ hat {x}} - q \ sin \ theta \ sin \ phi {\ hat {y}}}$.

Теперь, если много частиц разлетаются от цели, и предполагается, что цель имеет азимутальную симметрию, то радиальные ( и) компоненты переданного импульса будут усреднены до нуля. Средняя передача импульса будет справедливой. Если провести полное усреднение по всем возможным событиям рассеяния, мы получим ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle д (1- \ соз \ тета) {\ шляпа {z}}}$

${\ displaystyle \ Delta {\ vec {p}} _ {\ mathrm {avg}} = \ langle \ Delta {\ vec {p}} \ rangle _ {\ Omega}}$.

${\ displaystyle = \ sigma _ {\ mathrm {tot}} ^ {- 1} \ int \ Delta {\ vec {p}} (\ theta, \ phi) {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} { \ mathrm {d} \ Omega}} (\ theta) \ mathrm {d} \ Omega}$.

${\ Displaystyle = \ sigma _ {\ mathrm {tot}} ^ {- 1} \ int \ left [q (1- \ cos \ theta) {\ hat {z}} - q \ sin \ theta \ cos \ phi {\ hat {x}} - q \ sin \ theta \ sin \ phi {\ hat {y}} \ right] {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} ( \ theta) \ mathrm {d} \ Omega}$

${\ displaystyle = q {\ hat {z}} \ sigma _ {\ mathrm {tot}} ^ {- 1} \ int (1- \ cos \ theta) {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} { \ mathrm {d} \ Omega}} (\ theta) \ mathrm {d} \ Omega}$

${\ displaystyle = q {\ hat {z}} \ sigma _ {\ mathrm {tr}} / \ sigma _ {\ mathrm {tot}}}$

где полное сечение

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {tot}} = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} (\ theta) \ mathrm {d} \ Omega}$.

Здесь усреднение выполняется с использованием вычисления ожидаемого значения (см. Функцию плотности вероятности). Следовательно, для данного полного сечения нет необходимости вычислять новые интегралы для каждого возможного импульса, чтобы определить средний импульс, передаваемый цели. Просто нужно посчитать. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} (\ theta) / \ sigma _ {\ mathrm {tot}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {tr}}}$

Эта концепция используется при вычислении зарядового радиуса ядер, таких как протон и дейтрон, с помощью экспериментов по рассеянию электронов.

С этой целью полезная величина, называемая вектором рассеяния q, имеющим размерность обратной длины, определяется как функция энергии E и угла рассеяния θ:

${\ displaystyle q = {\ frac {{\ frac {2E} {\ hbar c}} \ sin (\ theta / 2)} {{[1 + {\ frac {2E} {Mc ^ {2}}} \ грех ^ {2} (\ theta / 2)}] ^ {1/2}}}}$

1. ^ Zaghloul, Mofreh R.; Bourham, Mohamed A.; Достер, Дж. Майкл (апрель 2000 г.). «Усредненное по энергии сечение переноса электрон-ионного импульса в борновском приближении и потенциал Дебая – Хюккеля: сравнение с теорией обрезания». Физика Буквы A. 268 (4–6): 375–381. Bibcode : 2000PhLA..268..375Z. DOI : 10.1016 / S0375-9601 (00) 00217-6.
2. ^ Брансден, BH; Иоахайн, CJ (2003). Физика атомов и молекул (2-е изд.). Харлоу [ua]: Прентис-Холл. п. 584. ISBN   978-0582356924.