Формула локализации для эквивариантных когомологий

редактировать

В дифференциальной геометрии формула локализации утверждает: для эквивалентно замкнутой эквивариантной дифференциальной формы $α { \ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ на орбифолде M с действием тора и для достаточно малого $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ в алгебре Ли тора T,

1 d M ∫ M α (ξ) = ∑ F 1 d F ∫ F α (ξ) e T (F) (ξ) {\ displaystyle {1 \ over d_ {M}} \ int _ {M} \ alpha (\ xi) = \ sum _ {F} {1 \ over d_ {F}} \ int _ {F} {\ alpha (\ xi) \ over e_ { T} (F) (\ xi)}}

{1 \ over d_M} \ int_M \ alpha (\ xi) = \ sum_F {1 \ over d_F} \ int_F {\ alpha (\ xi) \ over e_T (F) (\ xi)}

где сумма проходит по всем компонентам связности F множества неподвижных точек $MT {\ displa ystyle M ^ {T}}$ $M ^ T$ , $d M {\ displaystyle d_ {M}}$ $d_M$ - орбифолдная кратность M (которая равна единице, если M - многообразие) и $e T (F) {\ displaystyle e_ {T} (F)}$ $e_T (F)$ является эквивариантной формой Эйлера нормального пучка F.

Формула позволяет вычислить кольцо эквивариантных когомологий орбифолда M (особый вид дифференцируемого стека ) из эквивариантных когомологий его компонент неподвижной точки с точностью до кратностей и форм Эйлера. Аналог таких результатов не имеет места в неэквивариантных когомологиях.

Одним из важных следствий формулы является теорема Дуистермаата – Хекмана, которая гласит: предположим, что существует гамильтонова окружность (для простоты) на компактном симплектическом многообразии M размерности 2n,

∫ M e - т H ω n / n! = ∑ p e - t H (p) t n ∏ α j (p). {\ displaystyle \ int _ {M} e ^ {- tH} \ omega ^ {n} / n! = \ sum _ {p} {e ^ {- tH (p)} \ over t ^ {n} \ prod \ alpha _ {j} (p)}.}

\ int_M e ^ {- tH} \ omega ^ n / п! = \ sum_p {e ^ {- tH (p)} \ over t ^ n \ prod \ alpha_j (p)}.

где H - гамильтониан для действия круга, сумма берется по точкам, зафиксированным действием круга, и $α j (p) {\ displaystyle \ alpha _ { j} (p)}$ $\ alpha_j (p)$ - собственные значения в касательном пространстве в точке p (см. действие группы Ли.)

Формула локализации также может вычислять Преобразование Фурье (симплектической формы Костанта на) коприсоединенной орбите, дающее, в свою очередь, дает формулу характера Кириллова.

Теорема локализации для эквивариантных когомологий в нерациональных коэффициентах обсуждается в Дэниеле Квиллене Документы.

Неабелева локализация

Теорема локализации утверждает, что эквивариантные когомологии могут быть восстановлены с точностью до элементов кручения из эквивариантных когомологий подмножества неподвижных точек. Дословно это не распространяется на неабелево действие. Но все же существует версия теоремы о локализации для неабелевых действий.

Ссылки

Майкл Атия, Рауль Ботт, Карта моментов и эквивариантные когомологии, Топология 23 (1984).
Лю, Кефэн (2006), «Локализация и предположения из струнной двойственности», в Ge, Mo-Lin; Чжан, Вэйпин (ред.), Дифференциальная геометрия и физика, Nankai Tracts in Mathematics, 10, World Scientific, стр. 63–105, ISBN 978-981-270 -377-4, MR 2322389
Экхард Майнренкен, Симплектическая хирургия и оператор Дирака Spin-c. Успехи в математике 134 (1998), 240–277
Дэниэл Квиллен, Спектр эквивариантного кольца когомологий, I, II