Окно Кайзера

редактировать

Окно Кайзера для нескольких значений его параметра

Окно Кайзера, также известное как Окно Кайзера – Бесселя было разработано Джеймсом Кайзером в Bell Laboratories. Это однопараметрическое семейство оконных функций, используемых в конечной импульсной характеристике конструкции фильтра и спектральном анализе. Окно Кайзера аппроксимирует окно DPSS, которое максимизирует концентрацию энергии в главном лепестке, но которое трудно вычислить.

Содержание

1 Определение
2 Окно Кайзера – Бесселя (KBD)
- 2.1 Приложения
3 Ссылки
4 Дополнительная литература

Определение

Кайзер окно и его преобразование Фурье задаются следующим образом:

w 0 (x) ≜ {I 0 [π α 1 - (2 x / L) 2] I 0 [π α], | х | ≤ L / 2 0, | х |>L / 2} F L ⋅ sinh ⁡ (π α 1 - (L f / α) 2) I 0 (π α) ⋅ π α 1 - (L f / α) 2. {\ Displaystyle w_ {0} (х) \ треугольник \ left \ {{\ begin {array} {ccl} {\ frac {I_ {0} \ left [\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (2x / L \ right) ^ {2}}} \ right]} {I_ {0} [\ pi \ alpha]}}, \ quad \ left | x \ right | \ leq L / 2 \\ 0, \ quad \ left | x \ right |>L / 2 \ end {array}} \ right \} \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {L \ cdot \ sinh \ left (\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (Lf \ right / \ alpha) ^ {2}}} \ right)} {I_ {0} (\ pi \ alpha) \ cdot \ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (Lf \ right / \ alpha) ^ {2}}}}}.}

w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad \left|x\right|\leq L/2\\0,\quad \left|x\right|>L / 2 \ end {array}} \ right \} \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {L \ cdot \ sinh \ left (\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (Lf \ right / \ alpha) ^ {2}) }} \ right)} {I_ {0} (\ pi \ alpha) \ cdot \ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (Lf \ right / \ alpha) ^ {2}}}}}.

преобразования окон Фурье двух окон Кайзера 158>где:

I0- это модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода,
L - продолжительность окна, а
α - неотрицательное действительное число, определяющее форму окна. В частотной области он определяет компромисс между шириной главного лепестка и уровнем бокового лепестка, что является центральным решением при проектировании окон.
Иногда окно Кайзера параметризуется с помощью β, где β = πα.

Для обработки цифрового сигнала функция может быть дискретизирована симметрично следующим образом:

w [n] = w 0 (LN (n - N / 2)) = I 0 [π α 1 - (2 n N - 1) 2] I 0 [π α], 0 ≤ n ≤ N, {\ displaystyle w [n] = w_ {0} \ left ({\ tfrac {L} {N}} (nN / 2) \ right) = {\ frac {I_ {0} \ left [\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2n} {N}} - 1 \ right) ^ {2}}] } \ right]} {I_ {0} [\ pi \ alpha]}}, \ quad 0 \ leq n \ leq N,}

{\ displaystyle w [n] = w_ {0} \ left ({\ tfrac {L} {N}} (nN / 2) \ right) = {\ frac {I_ {0} \ left [\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2n} {N}} - 1 \ right) ^ {2}}} \ right]} {I_ {0} [ \ pi \ alpha]}}, \ quad 0 \ leq n \ leq N,}

где длина окна $N + 1, {\ displaystyle N + 1,}$ ${\ displaystyle N + 1,}$ и N могут быть четными или нечетными. (см. Window_function # A_list_of_window_functions )

В преобразовании Фурье первый нуль после главного лепестка встречается в $f = 1 + α 2 L, {\ displaystyle f = {\ tfrac {\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}} {L}},}$ ${\ displaystyle f = {\ tfrac {\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}} {L}},}$ что равно $1 + α 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}}}$ ${\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}}$ в единицах N («ячейки» ДПФ). С увеличением α ширина главного лепестка увеличивается, а амплитуда боковых лепестков уменьшается. Α = 0 соответствует прямоугольному окну. Для больших α форма окно Кайзера (как во временной, так и в частотной области) стремится к кривой Гаусса. Окно Кайзера почти оптимально в смысле концентрации его пиков около частоты 0.

Полученное по Кайзеру – Бесселю (KBD)) window

Связанная оконная функция - это окно, производное от Кайзера – Бесселя (KBD), которое разработано для использования с модифицированным дискретным косинусным преобразованием (MDCT). Оконная функция KBD определяется в терминах окна Кайзера длины N + 1 по формуле :

dn = {∑ i = 0 nw [i] ∑ i = 0 N w [i], если 0 ≤ n < N ∑ i = 0 2 N − 1 − n w [ i ] ∑ i = 0 N w [ i ] if N ≤ n ≤ 2 N − 1 0 otherwise. {\displaystyle d_{n}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}{\t_dv{if }}0\leq n

{\ displaystyle d_ {n} = {\ begin {cases} {\ sqrt {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {n} w [i]} {\ sum _ {i = 0} ^ {N} w [i ]}}} {\ t_dv {if}} 0 \ leq n <N \\ {\ sqrt {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {2N-1-n} w [i]} {\ sum _ {i = 0} ^ {N} w [i]}}} {\ t_dv {if}} N \ leq n \ leq 2N-1 \\ 0 {\ t_dv {else}}. \\\ конец {case}}}

Это определяет окно длиной 2N, где по построению d n удовлетворяет условию Принсена-Брэдли для MDCT ( используя тот факт, что w N − n = w n): d n + (d n + N) = 1 (интерпретируя n и n + N по модулю 2N). Окно KBD также симметрично надлежащим образом для MDCT: d n = d 2N-1-n.

Приложения

Окно KBD используется в Advanced Audio Coding формат цифрового звука.

Ссылки

^"Slepian или DPSS Window". ccrma.stanford.edu. Проверено 13 апреля 2016 г.
^Oppenheim, A. V.; Шафер, Р. В. (2009). Обработка сигналов в дискретном времени. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 541. ISBN 9780131988422.
^Харрис, Фредрик Дж. (Январь 1978 г.). «Об использовании окон для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF). Труды IEEE. 66 (1): 51–83. CiteSeerX 10.1.1.649.9880. doi : 10.1109 / PROC.1978.10837.
^Оппенгейм, Алан В. ; Шафер, Рональд В. ; Бак, Джон Р. (1999). «7.2». Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 474. ISBN 0-13-754920-2. почти оптимальное окно может быть сформировано с использованием модифицированной функции Бесселя нулевого порядка первого типаТакже доступно по адресу https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

Дополнительная литература

Kaiser, James F.; Шафер, Рональд В. (1980). «Об использовании окна I 0 -sinh для анализа спектра». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. 28 : 105–107. doi : 10.1109 / TASSP.1980.1163349.
Smith, J.O. (2011). «Сравнение спектральной обработки аудиосигнала, окон Kaiser и DPSS». ccrma.stanford.edu. Проверено 13 апреля 2016 г.
Smith, J.O. (2011). «Обработка спектрального аудиосигнала, окно Кайзера». ccrma.stanford.edu. Проверено 20 марта 2019. Иногда окно Кайзера параметризуется параметром α, где β = πα.
«Окно Кайзера, R2018b». www.mathworks.com. Математические работы. Проверено 20 марта 2019 г.