тип фильтра при обработке сигналов
В обработке сигналов, a конечная импульсная характеристика (FIR ) фильтр - это фильтр, импульсный отклик (или отклик на любой ввод конечной длины) конечной продолжительности, потому что она обнуляется за конечное время. Это отличается от фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (IIR), которые могут иметь внутреннюю обратную связь и могут продолжать реагировать бесконечно (обычно с затуханием).
Импульсная характеристика (то есть выход в ответ на вход дельта Кронекера ) дискретного КИХ-фильтра N-го порядка длится ровно N + 1 выборок (от первого ненулевого элемента до последнего ненулевого элемента) перед тем, как он станет равным нулю.
КИХ-фильтры могут быть дискретными или непрерывными, и цифровыми или аналоговыми.
Содержание
- 1 Определение
- 2 Свойства
- 3 Частотная характеристика
- 4 Дизайн фильтра
- 4.1 Метод проектирования окна
- 4.2 Метод наименьшей MSE (среднеквадратичной ошибки)
- 5 Пример скользящего среднего
- 6 См. также
- 7 Примечания
- 8 Ссылки
Определение
КИХ-фильтр прямого действия с дискретным временем порядка N. Верхняя часть представляет собой N-ступенчатую линию задержки с N + 1 ответвлениями. Каждая единичная задержка - это оператор z в нотации
Z-преобразования.
Решетчатый дискретный FIR-фильтр порядка N. Каждая единичная задержка - это оператор z в
Z-преобразовании Для причинного КИХ-фильтра с дискретным временем порядка N каждое значение выходной последовательности представляет собой взвешенную сумму самых последних входных значений :
где :
- - входной сигнал,
- - выходной сигнал,
- - порядок фильтрации; фильтр -го порядка имеет члены в правой части
- - значение импульсной характеристики в i-й момент для из КИХ-фильтр-го порядка. Если фильтр является КИХ-фильтром прямой формы, то также является коэффициентом фильтра.
Это вычисление также известно как дискретное свертка.
в этих терминах обычно называют отводами на основе структуры линия задержки с ответвлением, которая во многих реализациях или блок-схемах обеспечивает задержанные входы для операций умножения. Например, можно говорить о фильтре 5-го порядка / 6-ти отводного фильтра.
Определенная импульсная характеристика фильтра отлична от нуля в течение конечной продолжительности. Включая нули, импульсная характеристика представляет собой бесконечную последовательность :
Если КИХ-фильтр не является причинным, диапазон ненулевых значений в его импульсной характеристике может начинаться до n = 0, с соответствующим обобщением определяющей формулы.
Свойства
КИХ-фильтр имеет ряд полезных свойств, которые иногда делают его предпочтительнее фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). КИХ-фильтры:
- Не требуют обратной связи. Это означает, что любые ошибки округления не усугубляются суммированием итераций. Одна и та же относительная ошибка возникает в каждом вычислении. Это также упрощает реализацию.
- По своей сути стабильны, поскольку выходные данные представляют собой сумму конечного числа конечных кратных входных значений, поэтому не могут быть больше, чем , умноженное на наибольшее значение, появляющееся во входных данных.
- Может быть легко спроектировано как линейная фаза с помощью делая последовательность коэффициентов симметричной. Это свойство иногда требуется для приложений, чувствительных к фазе, например для передачи данных, сейсмологии, кроссоверных фильтров и управления.
. Требуется больше вычислительной мощности в процессоре общего назначения по сравнению с БИХ-фильтром с аналогичной резкостью или избирательностью, особенно когда требуются низкочастотные (относительно частоты дискретизации) среза. Однако многие процессоры цифровых сигналов предоставляют специализированные аппаратные функции, позволяющие сделать КИХ-фильтры примерно такими же эффективными, как БИХ-фильтры для многих приложений.
Частотная характеристика
Влияние фильтра на последовательность описывается в частотной области тегом теорема о свертке :
- и
где операторы и соответственно обозначают преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) и его обратное. Следовательно, комплексная мультипликативная функция является частотной характеристикой фильтра. Он определяется рядом Фурье :
где добавленный индекс обозначает 2π-периодичность. Здесь представляет частоту в нормализованных единицах (радиан / отсчет). Замена , одобренная многими программами разработки фильтров, изменяет единицы измерения частоты для циклов / выборки и периодичности до 1. Когда последовательность x [n] имеет известную частоту дискретизации, выборок в секунду, подстановка изменяет единицы частоты до циклов в секунду (герц ) и периодичность до Значение соответствует частоте Гц циклов / выборка, которая является частотой Найквиста.
также может быть выражено в терминах Z-преобразования импульсной характеристики фильтра:
Дизайн фильтра
КИХ-фильтр разработан путем нахождения коэффициентов и порядка фильтрации, которые соответствуют определенным спецификациям, которые могут быть во временной области (например, согласованный фильтр ) и / или частотную область (наиболее часто). Согласованные фильтры выполняют взаимную корреляцию между входным сигналом и известной формой импульса. Свертка FIR - это взаимная корреляция между входным сигналом и обращенной во времени копией импульсной характеристики. Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра «разрабатывается» путем выборки известной формы импульса и использования этих выборок в обратном порядке в качестве коэффициентов фильтра.
Когда требуется конкретная частотная характеристика, используются несколько различных методов проектирования. распространены:
- метод проектирования окна
- метод частотной выборки
- метод наименьшей MSE (среднеквадратичной ошибки)
- метод Паркса-Макклеллана (также известный как Equiripple, Optimal или Minimax метод). Алгоритм обмена Ремеза обычно используется для поиска оптимального равноправного набора коэффициентов. Здесь пользователь указывает желаемый частотный отклик, весовую функцию для ошибок из этого ответа и порядок фильтрации N. Затем алгоритм находит набор коэффициенты, минимизирующие максимальное отклонение от идеала. Интуитивно это находит фильтр, который максимально приближен к желаемому ответу, учитывая, что только коэффициенты могут использоваться. Этот метод особенно прост на практике, поскольку, по крайней мере, один текст включает программу, которая берет требуемый фильтр и N и возвращает оптимальные коэффициенты.
- КИХ-фильтры Equiripple также могут быть разработаны с использованием алгоритмов БПФ. Алгоритм носит итеративный характер. ДПФ исходной конструкции фильтра вычисляется с использованием алгоритма БПФ (если начальная оценка недоступна, можно использовать h [n] = delta [n]). В области Фурье или области БПФ частотная характеристика корректируется в соответствии с желаемыми характеристиками, а затем вычисляется обратное БПФ. Во временной области сохраняются только первые N коэффициентов (остальные коэффициенты устанавливаются равными нулю). Затем процесс повторяется итеративно: FFT вычисляется еще раз, коррекция применяется в частотной области и т. Д.
Программные пакеты, такие как MATLAB, GNU Octave, Scilab и SciPy предоставляют удобные способы применения этих различных методов.
Метод проектирования окна
В методе проектирования окна сначала разрабатывают идеальный БИХ-фильтр, а затем обрезают бесконечную импульсную характеристику, умножая ее на оконную функцию конечной длины . Результатом является фильтр с конечной импульсной характеристикой, частотная характеристика которого отличается от частотной характеристики БИХ-фильтра. Умножение бесконечного импульса на оконную функцию во временной области приводит к тому, что частотная характеристика IIR свернута с преобразованием Фурье (или DTFT) оконной функции. Если главный лепесток окна узкий, составная частотная характеристика остается близкой к таковой у идеального БИХ-фильтра.
Идеальный ответ обычно имеет прямоугольную форму, а соответствующий IIR является функцией sinc. Результатом свертки частотной области является то, что края прямоугольника сужаются, а в полосе пропускания и полосе задерживания появляются рябь. Работая в обратном направлении, можно указать наклон (или ширину) сужающейся области (переходная полоса ) и высоту ряби и, таким образом, получить параметры частотной области соответствующей оконной функции. Возврат к импульсной характеристике может быть выполнен путем повторения программы проектирования фильтра для нахождения минимального порядка фильтра. Другой метод состоит в том, чтобы ограничить набор решений параметрическим семейством окон Кайзера, которое обеспечивает отношения замкнутой формы между параметрами временной и частотной областей. В общем, этот метод не обеспечивает минимально возможного порядка фильтрации, но он особенно удобен для автоматизированных приложений, которым требуется динамическое проектирование фильтров «на лету».
Метод проектирования окна также является выгодным для создания эффективных полуполосных фильтров, поскольку соответствующая функция sinc равна нулю в каждой другой точке выборки (кроме центральной). Произведение с оконной функцией не изменяет нули, поэтому почти половина коэффициентов конечной импульсной характеристики равны нулю. Соответствующая реализация вычислений FIR может использовать это свойство для удвоения эффективности фильтра.
Метод наименьшей MSE (среднеквадратичной ошибки)
Цель:
- Чтобы разработать FIR-фильтр в смысле MSE, мы минимизируем среднеквадратичную ошибку между полученным фильтром и желаемым фильтром.
- , где - частота дискретизации, - спектр полученного нами фильтра, а - спектр желаемого фильтра.
Метод:
- Для N-точечного КИХ-фильтра и .
- Шаг 1. Предположим, что даже симметричный. Тогда дискретное временное преобразование Фурье определяется как
- Шаг 2: Вычислить среднеквадратичную ошибку.
- Следовательно,
- Шаг 3. Минимизируйте среднеквадратичную ошибку, выполнив частную производную от MSE по
- После организации у нас есть
- Шаг 4: заменить обратно на представление
- и
In Кроме того, мы можем трактовать важность полосы пропускания и полосы задерживания по-разному в соответствии с нашими потребностями, добавляя взвешенную функцию, Затем ошибка MSE становится
Пример скользящего среднего
Рис. (а) Блок-схема простого КИХ-фильтра (в данном случае фильтр 2-го порядка / 3-отводной, реализующий скользящее среднее)
Рис. (b)
Диаграмма полюс – ноль КИХ-фильтра второго порядка
Рис. (c) Амплитудно-фазовые характеристики
Рис. (d) Амплитудные и фазовые характеристики
A фильтр скользящего среднего представляет собой очень простой FIR-фильтр. Иногда его называют фильтром boxcar, особенно если за ним следует прореживание. Коэффициенты фильтра, , находятся с помощью следующего уравнения:
Чтобы предоставить более конкретный пример, мы выбираем порядок фильтров:
Импульсная характеристика результирующего фильтра равна :
На рисунке (a) справа показана блок-схема фильтра скользящего среднего 2-го порядка, обсуждаемого ниже. Передаточная функция равна :
Рис. (b) справа показана соответствующая диаграмма полюс – ноль. Нулевая частота (DC) соответствует (1, 0), положительные частоты продвигаются против часовой стрелки по кругу до частоты Найквиста в (-1, 0). Два полюса расположены в начале координат, а два нуля расположены в точке , .
Частотная характеристика в единицах нормализованной частоты ω, равно :
Рис. (c) справа показывает амплитуду и фазовые составляющие Но такие графики также можно сгенерировать, выполнив дискретное преобразование Фурье (DFT) импульсной характеристики. И из-за симметрии программное обеспечение для проектирования фильтров или просмотра часто отображает только область [0, π]. График величины показывает, что фильтр скользящего среднего пропускает низкие частоты с коэффициентом усиления, близким к 1, и ослабляет высокие частоты, и, таким образом, является грубым фильтром нижних частот. Фазовый график является линейным, за исключением разрывов на двух частотах, где величина стремится к нулю. Размер разрывов равен π, что соответствует изменению знака. Они не влияют на свойство линейной фазы. Этот факт проиллюстрирован на рис. (D).
См. Также
Примечания
Ссылки
- ^Оппенгейм, Алан В., Виллски, Алан С. и Янг, Ян Т., 1983: Сигналы и системы, стр. 256 (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-809731-3
- ^Рабинер, Лоуренс Р. и Голд, Бернард, 1975: Теория и применение цифровой обработки сигналов (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0- 13-914101-4
- ^AE Cetin, ON Gerek, Y. Yardimci, "Equiripple FIR filter by the FFT algorithm", IEEE Signal Processing Magazine, стр. 60-64, март 1997.