Интеграл Джексона

В q-аналоговой теории, интеграл Джексона ряд в теории специальных функций, которые выражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона был введен Фрэнком Хилтоном Джексоном. Методы числовой оценки см. В Exton (1983) harvtxt error: no target: CITEREFExton1983 (help ).

• 1 Определение
• 2 Интеграл Джексона как q-первообразное
  • 2.1 Теорема
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

Пусть f (x) будет функция действительной переменной x. Интеграл Джексона от f определяется следующим разложением в ряд:

$\int \; f\; (x)\; d\; q\; x\; =\; (1\; -\; q)\; x\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; q\; k\; f\; (q\; k\; x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; е\; (х)\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \_\; \{q\}\; x\; =\; (1-q)\; \backslash ,\; x\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{k\}\; f\; (q\; ^\; \{k\}\; x).\}$

В более общем смысле, если g (x) - другая функция и D q g обозначает ее q-производную, мы можем формально записать

$\int \; f\; (x)\; D\; qgdqx\; =\; (1\; -\; q)\; x\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; qkf\; (qkx)\; D\; qg\; (qkx)\; =\; (1\; -\; q)\; x\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; qkf\; (qkx)\; g\; (qkx)\; -\; g\; (qk\; +\; 1\; Икс)\; (1\; -\; q)\; qkx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; f\; (x)\; \backslash ,\; D\_\; \{q\}\; g\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \_\; \{q\}\; x\; =\; (1-q)\; \backslash ,\; x\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{k\}\; f\; (q\; ^\; \{k\}\; x)\; \backslash ,\; D\_\; \{q\}\; g\; (q\; ^\; \{k\}\; x)\; =\; (1-q)\; \backslash ,\; x\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{k\}\; f\; (q\; ^\; \{k\}\; x)\; \{\backslash \; tfrac\; \{g\; (q\; ^\; \{k\}\; x)\; -g\; (q\; ^\; \{k\; +\; 1)\; \}\; x)\}\; \{(1-q)\; q\; ^\; \{k\}\; x\}\},\}$or

$\int \; f\; (x)\; dqg\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; f\; (qkx)\; \cdot \; (g\; (qkx)\; -\; g\; (QK\; +\; 1\; Икс)),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Int\; е\; (х)\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \_\; \{q\}\; g\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (\; q\; ^\; \{k\}\; x)\; \backslash \; cdot\; (g\; (q\; ^\; \{k\}\; x)\; -g\; (q\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; x)),\}$

, что дает q-аналог Riemann – Stieltjes интеграл.

Так же, как обычное первообразное от непрерывной функции может быть представлено с помощью интеграла Римана ral, можно показать, что интеграл Джексона дает уникальную q-первообразную в определенном классе функций, см.

Теорема

Предположим, что If $|\; f\; (x)\; x\; \alpha \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; (x)\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; |\}$ограничен интервалом $[0,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; A)\}$для некоторого интеграл Джексона сходится к функции $F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\}$на $[0,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; A)\}$, которая является q-первообразной от $f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x).\}$Кроме того, $F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\}$является непрерывным в $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$с $F\; (0)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (0)\; =\; 0\}$и является уникальной первообразной от $f\; (x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$в этом классе функций.

1. ^Kempf, A; Маджид, Шан (1994). «Алгебраическое q-интегрирование и теория Фурье на квантовых и сплетенных пространствах». Журнал математической физики. 35 (12): 6802–6837. arXiv : hep-th / 9402037. Bibcode : 1994JMP.... 35.6802K. doi : 10.1063 / 1.530644.
2. ^Кац-Чунг, Теорема 19.1.

• Виктор Кац, Покман Чунг, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• Джексон Ф. Х. (1904 г.), "Обобщение функций Γ (n) и x n ", Proc. R. Soc. 7464–72.
• Джексон Ф. Х (1910), «О q-определенных интегралах», Q. J. Pure Appl. Математика. 41 193–203.
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения, Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538

.