Гудман – Нгуен – ван Алгебра Фраассена

A Алгебра Гудмана – Нгуена – ван Фраассена - это тип условной алгебры событий (CEA), которая включает стандарт логическое al gebra безусловных событий в более крупной алгебре, которая сама является булевой. Цель (как и для всех CEA) состоит в том, чтобы приравнять условную вероятность P (A ∩ B) / P (A) с вероятностью условного события P (A → B) для большего, чем просто тривиального выбор A, B и P.

• 1 Построение алгебры
• 2 Определение расширенной функции вероятности
• 3 P (A → B) = P (B | A)
• 4 Ссылки

Для данного множества Ω, которое является набором возможных исходов, и множества F подмножеств Ω - так что F является множеством возможных событий - рассмотрим бесконечное Декартово произведение вида E 1 × E 2 ×… × E n × Ω × Ω × Ω ×…, где E 1, E 2,… E n являются членами F. Такой продукт определяет набор всех бесконечных последовательностей, первый элемент которых находится в E 1, второй элемент которого находится в E 2,…, и чей n-й элемент находится в E n, и все элементы которого находятся в Ω. Обратите внимание, что одним из таких произведений является то, где E 1 = E 2 =… = E n = Ω, то есть множество Ω × Ω × Ω × Ω ×…. Обозначьте этот набор как $\Omega \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; Omega\}\}\}$; это множество всех бесконечных последовательностей, элементы которых лежат в Ω.

Теперь сформирована новая булева алгебра, элементы которой являются подмножествами $\Omega \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; Omega\}\}\}$. Начнем с того, что любое событие, которое раньше представлялось подмножеством A из Ω, теперь представлено как $A\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\}$= A × Ω × Ω × Ω × ….

Дополнительно, однако, для событий A и B, пусть условное событие A → B будет представлено в виде следующего бесконечного объединения непересекающихся множеств:

[(A ∩ B) × Ω × Ω × Ω × …] ∪

[A ′ × (A ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪

[A ′ × A ′ × (A ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪….

Мотивация для такого представления условных событий будет вскоре объяснена. Обратите внимание, что конструкция может быть повторена; A и B сами могут быть условными событиями.

Интуитивно, безусловное событие A должно быть представлено как условное событие Ω → A. И действительно: поскольку Ω ∩ A = A и Ω ′ = ∅, бесконечное объединение, представляющее Ω → A, сводится к A × Ω × Ω × Ω ×….

Пусть $F\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{F\}\}\}$теперь будет набором подмножеств $\Omega \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; Omega\; \}\}\}$, который содержит представления всех событий в F и в остальном достаточно велик, чтобы быть закрытым при построении условных событий и при знакомых логических операциях . $F\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{F\}\}\}$- это булева алгебра условных событий, содержащая булеву алгебру, соответствующую алгебре обычных событий.

Соответствующее вновь созданным логическим объектам, называемым условными событиями, является новое определение функции вероятности, $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$, на основе стандартной функции вероятности P:

$P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$(E1× E 2 ×… E n × Ω × Ω × Ω ×…) = P (E 1) ⋅P (E 2) ⋅… ⋅ P (E n) ⋅P (Ω) ⋅P (Ω) ⋅P (Ω) ⋅… = P (E 1) ⋅P (E 2) ⋅… ⋅P (E n), поскольку P (Ω) = 1.

Это следует из определения $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$, что $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$($A\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\}$) = P (A). Таким образом, $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$= P в области P.

Теперь приходит понимание, которое мотивирует всю предыдущую работу. Для P исходная функция вероятности P (A ′) = 1 - P (A), и поэтому P (B | A) = P (A ∩ B) / P (A) может быть переписана как P (A ∩ B) / [1 - P (A ′)]. Фактор 1 / [1 - P (A ′)], однако, может, в свою очередь, быть представлен его разложением в ряд Маклорена, 1 + P (A ′) + P (A ′)…. Следовательно, P (B | A) = P (A ∩ B) + P (A ′) P (A ∩ B) + P (A ′) P (A ∩ B) +….

Правая часть уравнения - это в точности выражение для вероятности $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$A → B, просто определенной как объединение тщательно подобранных непересекающихся множеств. Таким образом, это объединение можно рассматривать для представления условного события A → B, такого что $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$(A → B) = P (B | A) для любого выбора A, B и P. Но поскольку $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$= P в области определения P, обозначение шляпы необязательно. Пока контекст понят (то есть условная алгебра событий), можно записать P (A → B) = P (B | A), где P теперь является расширенной функцией вероятности.

Бамбер, Дональд, И. Р. Гудман и Х. Т. Нгуен. 2004. «Вывод из условного знания». Мягкие вычисления 8: 247–255.

Гудман И. Р., Р. П. С. Малер и Х. Т. Нгуен. 1999. «Что такое условная алгебра событий и почему вас это должно волновать?» SPIE Proceedings, Vol 3720.