Войти
В геометрии группа изометрия гиперболического пространства называется геометрически конечным, если оно имеет хорошо настроенную фундаментальную область. Гиперболическое многообразие называется геометрически конечным, если оно может быть описано в терминах геометрически конечных групп.
A выпуклый многогранник C в гиперболическом пространстве называется геометрически конечным, если его замыкание C в конформной компактификации гиперболического пространства обладает следующим свойством :
Например, каждые Многогранник с конечным числом граней геометрически конечен. В гиперболическом пространстве размерности не более 2 каждый геометрически конечный многогранник имеет конечное число сторон, но существуют геометрически конечные многогранники размерности 3 и выше с бесконечным числом сторон. Например, в евклидовом пространстве R размерности n≥2 существует многогранник P с бесконечным числом сторон. Модель верхней полуплоскости n + 1-мерного гиперболического пространства в R проецируется на R, а прообраз P под этой проекцией представляет собой геометрически конечный многогранник с бесконечным числом сторон.
Геометрически конечный многогранник имеет только конечное число точек возврата, и все стороны, кроме конечного числа, пересекают одну из точек возврата.
Дискретная группа G изометрий гиперболического пространства называется геометрически конечной, если у нее есть фундаментальная область C, которая является выпуклой, геометрически конечной и точной. (каждая грань является пересечением C и gC для некоторого g ∈ G) (Ratcliffe 1994, 12.4).
В гиперболических пространствах размерности не более 3 каждый точный выпуклый фундаментальный многогранник геометрически конечной группы имеет только конечное число сторон, но в размерностях 4 и выше есть примеры с бесконечным числом сторон (Рэтклифф 1994, теорема 12.4.6).
В гиперболических пространствах размерности не выше 2 конечно порожденные дискретные группы геометрически конечны, но Гринберг (1966) показал, что существуют примеры конечно порожденных дискретных групп размерности 3, которые не являются геометрически конечный.
Гиперболическое многообразие называется геометрически конечным, если оно имеет конечное число компонентов, каждая из которых представляет собой частное отношение гиперболического пространства к геометрически конечному дискретная группа изометрий (Ratcliffe 1994, 12.7).
