Общие принципы алгебры

В история математики, универсальность алгебры - это фраза, которую Огюстен-Луи Коши использовал для описания метода аргументации, который применялся в XVIII веке математиками, такими как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж, особенно в работе с бесконечными рядами. Согласно Кутсиеру, общность принципа алгебры предполагала, грубо говоря, что алгебраические правила, которые выполняются для определенного класса выражений, могут быть расширены для более общего применения на более широком классе объектов, даже если правила очевидно, больше не действует. Как следствие, математики 18-го века считали, что они могут получить значимые результаты, применяя обычные правила алгебры и исчисления, которые справедливы для конечных расширений даже при манипулировании бесконечными расширениями. В таких работах, как Cours d'Analyse, Коши отвергал использование методов «общности алгебры» и искал строгие основы для математического анализа.

. Примером может служить Вывод Эйлера ряда

$\pi \; -\; x\; 2\; =\; sin\; \; x\; +\; 1\; 2\; sin\; \; 2\; x\; +\; 1\; 3\; sin\; \; 3\; x\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; -x\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; sin\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; 2x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; sin\; 3x\; +\; \backslash \; cdots\}$

(1)

для . Сначала он оценил тождество

$1\; -\; r\; cos\; \; x\; 1-2\; r\; cos\; \; x\; +\; r\; 2\; =\; 1\; +\; r\; cos\; \; x\; +\; r\; 2\; cos\; \; 2\; x\; +\; r\; 3\; cos\; \; 3\; x\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1-r\; \backslash \; cos\; x\}\; \{1-2r\; \backslash \; cos\; x\; +\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 1\; +\; r\; \backslash \; cos\; x\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; 2x\; +\; r\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cos\; 3x\; +\; \backslash \; cdots\}$

(2)

при $r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1\}$, чтобы получить

$0\; =\; 1\; 2\; +\; cos\; \; x\; +\; cos\; \; 2\; х\; +\; соз\; \; 3\; х\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cos\; x\; +\; \backslash \; cos\; 2x\; +\; \backslash \; cos\; 3x\; +\; \backslash \; cdots.\}$

(3)

Бесконечный ряд в правой части (3) расходится для всех real $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Но, тем не менее, интегрирование этого построчно дает (1), идентичность, которая известна современными методами.

.