Динамика файла

Термин динамика файла - это движение множества частиц в узком канале.

В науке: в химии, физике, математике и родственных областях, динамике файлов (иногда называют, динамика одного файла ) - это диффузия N (N → ∞) идентичных броуновских твердых сфер в квазиодномерном канале длиной L (L → ∞), так что сферы не прыгают одна на другую, а средняя плотность частиц приблизительно фиксирована. Наиболее известные статистические свойства этого процесса заключаются в следующем: среднеквадратичное смещение (MSD) частицы в файле: $MSD\; \approx \; t\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{MSD\}\; \backslash \; приблизительно\; t\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$, и его функция плотности вероятности (PDF) равна гауссову в позиции с дисперсией MSD.

Результаты в файлах, которые обобщают базовый файл, включают:

• В файлах с законом плотности, который не фиксирован, но затухает по степенному закону с показателем a с расстоянием от начала координат, частица в начале координат имеет МСД, который масштабируется как $МСД\; \approx \; t\; 1\; +\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; MSD\; \backslash \; приблизительно\; t\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; a\}\; \{2\}\}\}$с гауссовским PDF.
• Когда, кроме того, коэффициенты диффузии частиц распределены по степенному закону с показателем γ (вокруг начала координат), MSD следует, $MSD\; \approx \; t\; 1\; -\; \gamma \; 2\; /\; (1\; +\; a)\; -\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; MSD\; \backslash \; приблизительно\; t\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\; \{2\; /\; (1\; +\; a)\; -\; \backslash \; gamma\}\}\}$, с гауссовским PDF.
• В аномало us файлы, которые обновляются, а именно, когда все частицы пытаются совершить прыжок вместе, однако, со временем перехода, взятым из распределения, которое затухает по степенному закону с показателем −1 - α, MSD масштабируется как MSD соответствующей нормальной файл в степени α.
• В аномальных файлах независимых частиц MSD работает очень медленно и масштабируется как, $MSD\; \approx \; log\; 2\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; MSD\; \backslash \; приблизительно\; log\; ^\; \{2\; \}\; (t)\}$. Что еще более интересно, частицы образуют кластеры в таких файлах, определяя динамический фазовый переход. Это зависит от степени аномалии α: процент частиц в кластерах ξ следует, $\xi \; \approx \; 1\; -\; \alpha \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; alpha\; ^\; \{3\}\}\}\}$.
• Другие обобщения: когда частицы могут обходить друг друга с постоянной вероятностью при встрече, наблюдается усиленная диффузия. Когда частицы взаимодействуют с каналом, наблюдается более медленная диффузия. Файлы, встроенные в двухмерные, демонстрируют аналогичные характеристики файлов в одном измерении.

Обобщения базового файла важны, поскольку эти модели представляют реальность намного точнее, чем базовый файл. Действительно, файловая динамика используется при моделировании множества микроскопических процессов: диффузии в биологических и синтетических порах и пористом материале, диффузии вдоль одномерных объектов, таких как биологические дороги, динамика мономера в полимере и т. Д.

• 1 Математическая формулировка
  • 1.1 Простые файлы
  • 1.2 Гетерогенные файлы
  • 1.3 Обновленные, аномальные, гетерогенные файлы
  • 1.4 Аномальные файлы с независимыми частицами
• 2 Математический анализ
  • 2.1 Простые файлы
  • 2.2 Гетерогенные файлы
  • 2.3 Обновление аномальных разнородных файлов
  • 2.4 Аномальные файлы с независимыми частицами
    • 2.4.1 Законы масштабирования для аномальных файлов независимых частиц
    • 2.4.2 Численные исследования аномальных файлов независимых частиц
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Простые файлы

В простых броуновских файлах $P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\}$, совместная вероятность den Функция sity (PDF) для всех частиц в файле подчиняется уравнению нормальной диффузии:

$\partial \; t\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; =\; D\; \Sigma \; j\; =\; -\; MM\; \partial \; xj\; 2\; P\; (x,\; t\; \mid \; х\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; =\; D\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{j\; =\; -M\}\; ^\; \{M\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{\; j\}\}\; ^\; \{2\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\}).\}$

(1)

In $P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\}$, $x\; =\; \{x\; -\; M,\; x\; -\; M\; +\; 1,\dots ,\; x\; M\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \backslash \; \{x\; \_\; \{-\; M\},\; x\; \_\; \{-\; M\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{M\}\; \backslash \}\}$- это набор положений частиц в момент $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\}\}$- набор начальных положений частиц в начальное время $t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{0\}\}$(установить на ноль). Уравнение (1) решается с соответствующими граничными условиями, которые отражают твердосферный характер файла:

$(D\; \partial \; xj\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0))\; xj\; =\; xj\; +\; 1\; =\; (D\; \partial \; xj\; +\; 1\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0))\; xj\; +\; 1\; =\; xj;\; j\; =\; -\; M,\dots ,\; M\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; big\; (\}\; D\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\}\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; \{\; \backslash \; big)\}\; \_\; \{x\_\; \{j\}\; =\; x\_\; \{j\; +\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; D\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\; +\; 1\}\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{\; x\_\; \{0\}\})\; \{\backslash \; big)\}\; \_\; \{x\_\; \{j\; +\; 1\}\; =\; x\_\; \{j\}\};\; \backslash \; qquad\; j\; =\; -M,\; \backslash \; ldots,\; M-1,\}$

(2)

и с соответствующим начальным условием:

$P\; (x,\; t\; \to \; \infty \; \mid \; x\; 0)\; =\; \Pi \; j\; =\; -\; MM\; \delta \; (xj\; -\; x\; 0,\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\; \backslash \; mid\; x\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{j\; =\; -M\}\; ^\; \{M\}\; \backslash \; delta\; (x\_\; \{j\}\; -x\_\; \{0,\; j\; \}).\}$

(3)

В простом файле начальная плотность фиксирована, а именно: $x\; 0,\; j\; =\; j\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0,\; j\}\; =\; j\; \backslash \; Delta\}$, где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$- параметр, представляющий микроскопическую длину. Координаты PDF-файлов должны соответствовать порядку: $x\; -\; M\; \le \; x\; -\; M\; +\; 1\; \le \; \cdots \; \le \; x\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \_\; \{-\; M\}\; \backslash \; leq\; x\; \_\; \{-\; M\; +\; 1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; leq\; x\_\; \{M\}\}$.

Гетерогенные файлы

В таких файлах уравнение движения следует,

$\partial \; t\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; =\; \Sigma \; j\; =\; -\; MMD\; j\; \partial \; xj\; 2\; P\; (х,\; t\; \mid \; х\; 0).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; =\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{j\; =\; -M\}\; ^\; \{M\}\; D\_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\}\}\; ^\; \{2\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\}).\}$

(4)

с граничными условиями:

$(\; D\; j\; \partial \; xj\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0))\; xj\; =\; xj\; +\; 1\; =\; (D\; j\; +\; 1\; \partial \; xj\; +\; 1\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0))\; xj\; +\; 1\; =\; xj;\; j\; =\; -\; M,\dots ,\; M\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; big\; (\}\; D\_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\}\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\})\; \})\; \{\backslash \; big)\}\; \_\; \{x\_\; \{j\}\; =\; x\_\; \{j\; +\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; D\_\; \{j\; +\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\; +\; 1\}\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\; \},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; \{\backslash \; big)\}\; \_\; \{x\_\; \{j\; +\; 1\}\; =\; x\_\; \{j\}\};\; \backslash \; qquad\; j\; =\; -M,\; \backslash \; ldots,\; M-1,\}$

(5)

и с начальным условием, уравнение. (3), где начальные положения частиц подчиняются:

$x\; 0,\; j\; =\; s\; i\; g\; n\; (j)\; \Delta \; \mid \; j\; \mid \; 1\; /\; (1\; -\; a);\; 0\; \le \; a\; \le \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; x0,\; j\; =\; sign\; (j)\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mid\; j\; \backslash \; mid\; ^\; \{1\; /\; (1-a)\};\; \backslash \; qquad\; 0\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; mathit\; \{a\}\}\; \backslash \; leq\; 1.\}$

(6)

Коэффициенты распространения файла взяты независимо от PDF,

$W\; (D)\; =\; 1\; -\; \gamma \; \Lambda \; (D\; /\; \Lambda )\; -\; \gamma ,\; 0\; \le \; \gamma \; \le \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (D)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; Lambda\}\}\; (D\; /\; \backslash \; Lambda)\; ^\; \{-\; \backslash \; gamma\},\; \backslash \; qquad\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; gamma\; \backslash \; leq\; 1,\}$

(7)

где Λ имеет конечное значение, которое представляет самый быстрый коэффициент диффузии в файле.

Обновление, аномальные, гетерогенные файлы

В файлах с аномальным возобновлением случайный период берется независимо от функции плотности вероятности времени ожидания (WT-PDF; см. Марков с непрерывным временем процесс для получения дополнительной информации) вида: , где k - параметр. Затем все частицы в файле остаются неподвижными на этот случайный период, после чего все частицы пытаются прыгнуть в соответствии с правилами файла. Эта процедура повторяется снова и снова. Уравнение движения для PDF частиц в файле с аномальным обновлением получается при свертывании уравнения движения для броуновского файла с ядром $k\; \alpha \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (t)\}$:

$\partial \; t\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; =\; \Sigma \; j\; =\; -\; MMD\; j\; \partial \; xj\; 2\; \int \; 0\; tk\; \alpha \; (t\; -\; u)\; P\; (x,\; u\; \mid \; x\; 0)\; du.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; =\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{j\; =\; -M\}\; ^\; \{M\}\; D\_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{j\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; k\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (tu)\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; u\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; \backslash ,\; du.\}$

(8)

Здесь ядро ​​$k\; \alpha \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (t)\}$и WT-PDF $\psi \; \alpha \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (t)\}$связаны в пространстве Лапласа, $k\; ¯\; \alpha \; (s)\; =\; s\; \psi \; ¯\; \alpha \; (s)\; 1\; -\; \psi \; ¯\; \alpha \; (s)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{k\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (s)\}\; \{1-\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (s)\}\}\}$. (Преобразование Лапласа функции $f\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\}$читает, $f\; ¯\; (s)\; =\; \int \; 0\; \infty \; f\; (t)\; e\; -\; stdt\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{f\}\}\; (s)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (t)\; e\; ^\; \{-\; st\}\; \backslash ,\; dt\}$.) Отражающие граничные условия сопровождал уравнение. (8) получаются при свертывании граничных условий броуновского файла с ядром $k\; \alpha \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (t)\}$, где здесь и в броуновский файл начальные условия идентичны.

Аномальные файлы с независимыми частицами

Когда каждой частице в аномальном файле назначается свое собственное время перехода, нарисованная форма $\psi \; \alpha \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \}\; (t)\}$($\psi \; \alpha \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (t)\}$одинаково для всех частиц), аномальный файл не является файлом обновления. Базовый динамический цикл в таком файле состоит из следующих шагов: частица с самым быстрым временем перехода в файле, скажем, $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$для частицы i, попытки прыжок. Затем время ожидания для всех остальных частиц корректируется: мы вычитаем $t\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$из каждой из них. Наконец, для частицы i отображается новое время ожидания. Наиболее существенное различие между аномальными файлами обновления и аномальными файлами, которые не являются обновлением, заключается в том, что, когда каждая частица имеет свои собственные часы, частицы фактически связаны также во временной области, и результатом является дальнейшее замедление работы системы (доказано в основной текст). Уравнение движения для PDF в аномальных файлах независимых частиц имеет следующий вид:

$\partial \; ti\; P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; =\; D\; i\; \partial \; xi\; 2\; \int \; 0\; tik\; \alpha \; (ti\; -\; ui)\; P\; (x,\; t\; \prime \; (i),\; ui\; \mid \; x\; 0)\; dui;\; -\; M\; \le \; i\; \le \; M.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\_\; \{i\}\}\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{t\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; =\; D\_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{i\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\_\; \{i\}\}\; k\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (t\_\; \{i\}\; -u\_\; \{i\})\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{t\}\; ^\; \{\text{'}(\; i)\},\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; \backslash ,\; du\_\; \{i\};\; \backslash \; qquad\; -M\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; M.\}$

(9)

Обратите внимание, что аргумент времени в PDF $P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{t\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\}$- вектор времен: $t\; =\; \{ti\}\; i\; =\; -\; MM\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{t\}\; =\; \backslash \; \{t\_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; =\; -M\}\; ^\; \{M\}\}$и $t\; \prime \; (i)\; =\; \{tc\}\; c\; =\; -\; M,\; c\; \ne \; i\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{t\}\; ^\; \{\text{'}(i)\}\; =\; \backslash \; \{t\_\; \{c\}\; \backslash \; \}\; \_\; \{c\; =\; -M,\; c\; \backslash \; neq\; i\}\; ^\; \{M\}\}$. Сложение всех координат и выполнение интегрирования сначала в порядке меньшего времени (порядок определяется случайным образом из равномерного распределения в пространстве конфигураций) дает полное уравнение движения в аномальных файлах независимых частиц (усреднение уравнения по всем поэтому требуется дополнительная конфигурация). Действительно, даже уравнение. (9) очень сложно, и усреднение еще больше усложняет ситуацию.

Простые файлы

Решение уравнений. (1) - (2) - полный набор перестановок всех начальных координат, входящих в гауссианы,

$P\; (x,\; \mid \; x\; 0)\; =\; 1\; c\; N\; \Sigma \; \{p\}\; e\; -\; 1/4\; D\; t\; \Sigma \; j\; =\; -\; MM\; (xj\; -\; x\; 0,\; j\; (p))\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mid\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\_\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; \{p\; \backslash \}\}\; e\; ^\; \{-\; 1\; /\; 4Dt\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{j\; =\; -M\}\; ^\; \{M\}\; (x\_\; \{j\}\; -x\_\; \{0,\; j\}\; (p))\; ^\; \{2\}\}.\}$

(10)

Здесь, индекс $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$проходит по всем перестановкам начальных координат и содержит $N!\; \{\backslash \; displaystyle\; N!\}$перестановки. Из уравнения. (10), PDF-файл помеченной частицы в файле, $P\; (r,\; t\; \mid \; r\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (r,\; t\; \backslash \; mid\; r\_\; \{0\})\}$, вычисляется

$P\; (r,\; t\; \mid \; r\; 0)\; \sim \; 1\; c\; N\; e\; -\; R\; d\; 2/2\; \tau ,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (r,\; t\; \backslash \; mid\; r\_\; \{0\})\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{c\_\; \{N\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; R\_\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; tau\}\}\},\}$

(11)

В уравнении. (11), $R\; d\; =\; rd\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{d\}\; =\; r\_\; \{d\}\; \backslash \; Delta\}$, $rd\; =\; r\; -\; r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{d\}\; =\; r-r\_\; \{\; 0\}\}$($r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\}$- начальное состояние помеченной частицы) и $\tau \; =\; \Delta \; -\; 2\; D\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; Дельта\; ^\; \{-\; 2\}\; Dt\}$. MSD для меченой частицы получается непосредственно из уравнения. (11):

$R\; d\; 2⟩\; \sim \; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; R\_\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tau\}\}.\}$

(12)

Гетерогенные файлы

Решение уравнений (4) - (7) аппроксимируется выражением

$P\; (x,\; t\; \mid \; x\; 0)\; \approx \; 1\; c\; N\; \Sigma \; \{p\}\; e\; -\; \Sigma \; j\; =\; -\; MM\; (xj\; -\; x\; 0,\; j\; (p))\; 2/4\; t\; D\; j.\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х,\; т\; \backslash \; середина\; х\_\; \{0\})\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{c\_\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; \{p\; \backslash \}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{j\; =\; -M\}\; ^\; \{M\}\; (x\_\; \{j\}\; -x\_\; \{0,\; j\}\; (p))\; ^\; \{2\}\; /\; 4tD\_\; \{j\}\}.\}$

(13)

Начиная с уравнения. (13) следует PDF-файл помеченной частицы в гетерогенном файле:

$P\; (r,\; t\; \mid \; r\; 0)\; \sim \; 1\; c\; N\; e\; -\; R\; d\; 2/4\; \tau \; \tau \; (1\; -\; a))\; /\; (2\; -\; \gamma \; (1\; +\; a));\; \tau \; =\; \Delta \; -\; 2\; \Lambda \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (r,\; t\; \backslash \; mid\; r\_\; \{0\})\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\_\; \{N\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; R\_\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; /\; 4\; \backslash \; tau\; \backslash \; tau\; ^\; \{\; (1-a))\; /\; (2-\; \backslash \; gamma\; (1\; +\; a))\}\};\; \backslash \; qquad\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; Delta\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; Lambda\; t.\}$

(14)

СКО Помеченная частица в гетерогенном файле взята из уравнения. (14):

$⟨R\; d\; 2⟩\; =\; 2\; \tau \; (1\; -\; \gamma )\; /\; (2\; c\; -\; \gamma ),\; c\; =\; 1\; /\; ((1\; +\; a)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; R\_\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; =\; 2\; \backslash \; tau\; ^\; \{(1-\; \backslash \; gamma)\; /\; (2c-\; \backslash \; gamma)\},\; \backslash \; qquad\; c\; =\; 1\; /\; ((1\; +\; a)).\; \}$

(15)

Обновление аномальных разнородных файлов

Результаты обновления аномальных файлов просто выводятся из результатов броуновских файлов. Во-первых, PDF в уравнении. (8) записывается в терминах PDF, который решает несверточное уравнение, то есть уравнение броуновского файла; это соотношение осуществляется в пространстве Лапласа:

$P\; ¯\; (x,\; s\; \mid \; x\; 0)\; =\; 1\; k\; ¯\; \alpha \; (s)\; P\; ¯\; nrml\; (x,\; s\; /\; k\; ¯\; \alpha \; (s)\; \mid \; x\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{P\}\}\; (x,\; s\; \backslash \; mid\; x\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; bar\; \{k\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (s)\}\}\; \{\backslash \; bar\; \{\; P\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{nrml\}\}\; (x,\; s\; /\; \{\backslash \; bar\; \{k\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (s)\; \backslash \; mid\; x\_\; \{0\}).\}$

(16)

( Нижний индекс nrml обозначает нормальную динамику.) Из уравнения. (16), легко связать MSD броуновских разнородных файлов и неоднородных файлов с аномальным обновлением,

$⟨r\; ¯\; 2\; (s)⟩\; =\; 1\; k\; ¯\; \alpha \; (s)\; ⟨r\; ¯\; 2\; (s\; /\; k\; ¯\; \alpha \; (s))⟩\; nrml.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; bar\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; (s)\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; bar\; \{k\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (s)\}\}\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; bar\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; (s\; /\; \{\backslash \; bar\; \{k\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (s))\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; text\; \{nrml\}\}.\}$

(17)

От Уравнение (18), обнаруживается, что MSD файла с нормальной динамикой в ​​степени $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$является MSD соответствующего файла с аномальным обновлением,

$⟨R\; 2\; (t)⟩\; \sim \; r\; 2\; (t)⟩\; nrml\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; r\; ^\; \{2\}\; (t)\; \backslash \; rangle\; \backslash \; sim\; \backslash \; langle\; r\; ^\; \{2\}\; (t)\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; text\; \{nrml\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}.\}$

(19)

Аномальные файлы с независимыми частицами

Уравнение движения для аномальных файлов с независимыми частицами (9) очень сложно. Решения для таких файлов достигаются при выводе законов масштабирования и с помощью численного моделирования.

Законы масштабирования для аномальных файлов независимых частиц

Во-первых, мы записываем закон масштабирования для среднего абсолютного смещения (MAD) в файл обновления с постоянной плотностью:

$⟨\mid \; r\; \mid ⟩\; \sim \; ⟨\mid \; r\; \mid ⟩\; бесплатно\; /\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\; \backslash \; sim\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; text\; \{free\}\}\; /\; n.\}$

(20)

Здесь $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- количество частиц в покрытой длине $⟨\mid \; r\; \mid ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\}$, и $⟨\mid \; r\; \mid ⟩\; free\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; text\; \{free\}\}\}$- MAD свободной аномальной частицы, $⟨\mid \; р\; \mid ⟩\; бесплатно\; \sim \; t\; \alpha \; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; text\; \{free\}\}\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{\backslash \; alpha\; /\; 2\})\}$. В формуле. (20), $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$входит в вычисления, поскольку все частицы на расстоянии $⟨\mid \; r\; \mid ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\}$от помеченной частицы должна двигаться в том же направлении, чтобы помеченная частица достигла расстояния $⟨\mid \; r\; \mid ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\}$из исходного положения. На основании уравнения. (20), мы пишем обобщенный закон масштабирования для аномальных файлов независимых частиц:

(21)

Первый член в правой части уравнения. (21) также появляется в файлах продления; тем не менее, член f (n) единственен. f (n) - это вероятность, которая объясняет тот факт, что для перемещения n аномальных независимых частиц в одном направлении, когда эти частицы действительно пытаются прыгнуть в одном направлении (выражается с помощью члена ($⟨\mid \; r\; \mid ⟩\; free\; /\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mid\; r\; \backslash \; mid\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; text\; \{free\}\}\; /\; n)\}$), частицы на периферии должны двигаться первыми, так что частицы в середине файла будет иметь свободное пространство для перемещения, что потребует более быстрого перехода для тех, кто находится на периферии. f (n) появляется, потому что нет типичной шкалы времени для скачка в аномальных файлах, а частицы независимы, и поэтому конкретная частица может стоять на месте в течение очень долгого времени, существенно ограничивая возможности прогресса для частиц вокруг него., в течение этого времени. Ясно, что , где f (n) = 1 для файлов обновления, поскольку частицы прыгают вместе, но также и в файлах независимых частиц с $\alpha >1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha>1\}$, так как в таких файлах есть типичная шкала времени для скачка, рассматриваемая как время для синхронизированного скачка. Мы вычисляем f (n) из числа конфигураций, в которых порядок времени скачка частиц допускает движение; то есть порядок, в котором более быстрые частицы всегда находятся к периферии. Для n частиц существует n! различных конфигураций, из которых одна конфигурация является оптимальной; поэтому $(1\; /\; n!)\; \le \; f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; /\; n!)\; \backslash \; leq\; f\; (n)\}$. Тем не менее, хотя и не оптимально, распространение также возможно во многих других конфигурациях; когда m - количество движущихся частиц, тогда

$f\; (n)\; \sim \; (нм)\; (п\; -\; т)!\; 1\; /\; п!,\; \{\backslash \; disp\; Laystyle\; f\; (n)\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; dbinom\; \{n\}\; \{m\}\}\; (n-m)!\; 1\; /\; n\; !,\}$

(22)

где $(n\; m)\; (n\; -\; m)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dbinom\; \{n\}\; \{m\}\}\; (n-m)!\}$подсчитывает количество конфигураций, в которых m частиц вокруг помеченной частицы имеют оптимальный порядок перехода. Теперь, даже когда m ~ n / 2, $f\; (n)\; \sim \; e\; -\; n\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; \backslash \; sim\; e\; ^\; \{-\; n\; /\; 2\}\}$. Использование в формуле. (21), $е\; (n)\; \sim \; e\; -\; n\; /\; n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; \backslash \; sim\; e\; ^\; \{-\; n\; /\; n\_\; \{0\}\}\}$($n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\}$небольшое число больше 1), мы видим,

$MSD\; \sim \; (\alpha \; n\; 0)\; 2\; ln\; 2\; \; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{MSD\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{n\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ln\; ^\; \{2\}\; (t).\}$

(23)

(В уравнении (23) мы используем $MSD\; \sim \mid \; MAD\; \mid \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; MSD\; \backslash \; sim\; \backslash \; mid\; MAD\; \backslash \; mid\; ^\; \{2\}\}$.) Уравнение (23) показывает, что асимптотически частицы очень медленные в аномальных файлах независимых частиц.

Численные исследования аномальных файлов независимых частиц

Рис. 1 Траектории моделирования 501 аномальной независимой частицы с $\alpha \; =\; 0.9,\; 0.1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0.9,\; 0.1\}$(рекомендуется: открыть файл в новом окне)

При численных исследованиях видно, что аномальные файлы независимых частиц образуют кластеры. Это явление определяет динамический фазовый переход. В установившемся режиме процент частиц в кластере, $\xi \; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; (\backslash \; alpha)\}$, следует,

$\xi \; (\alpha )\; \approx \; 1\; -\; \alpha \; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; alpha\; ^\; \{3\}\}\}\}$

(24)

На рисунке 1 мы показываем траектории от 9 частиц в файле из 501 частицы. (Рекомендуется открывать файл в новом окне). На верхних панелях показаны траектории для $\alpha \; =\; 0,9\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0.9\}$, а на нижних панелях показаны траектории для $\alpha \; =\; 0,1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0,1\}$. Для каждого значения $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$показаны траектории на ранних этапах моделирования (слева) и на всех этапах моделирования (справа). Панели демонстрируют явление кластеризации, когда траектории притягиваются друг к другу, а затем перемещаются в значительной степени вместе.

• Броуновское движение
• Ланжевеновская динамика
• Системная динамика