Внешний размер

В геометрия, внешний размер - это тип измерения, который может использоваться для характеристики масштабирования «толстых фракталов». Толстый фрактал определяется как такое подмножество евклидова пространства, что для каждой точки $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$набора и каждого достаточно малого числа $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \}$, шар радиуса $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$с центром в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$содержит оба ненулевых мера Лебега точек, принадлежащих фракталу, и ненулевая мера Лебега точек, не принадлежащих фракталу. Для такого набора размерность Хаусдорфа такая же, как у окружающего пространства.

Размерность Хаусдорфа набора $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$можно вычислить с помощью «откорма» $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$(взяв его сумму Минковского с шаром радиуса $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$), и исследуя, как объем полученного откормленного набора масштабируется с помощью $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$, в пределах как $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$стремится к нулю. Внешний размер вычисляется таким же образом, но с учетом объема разностного набора , полученного вычитанием исходного набора $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$из набора с откормом.

В статье, посвященной внешнему измерению, утверждалось, что он будет применим к сетям кровеносных сосудов. Однако непостоянное поведение этих сосудов в разных частях тела, относительно небольшое количество уровней ветвления и медленная сходимость методов, основанных на внешних размерах, ставят под сомнение практическую применимость этого параметра.