Отклонение позиции

В теоретической математике отклонение poset - это порядковый номер, измеряющий сложность частично упорядоченного набора.

Отклонение poset используется для определения измерения Крулля модуля над кольцом как отклонение его ч.ст. подмодулей.

Тривиальный объектный набор (тот, в котором никакие два элемента не могут быть сопоставимы) объявлен имеющим отклонение $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$. Нетривиальный чум, удовлетворяющий условию убывающей цепочки, называется имеющим отклонение 0. Тогда индуктивно говорят, что чум имеет отклонение не более α (для порядкового числа α), если для каждой нисходящей цепочки элементов a 0>a1>... все, кроме конечного числа положений элементов между a n и a n + 1, имеют отклонение меньше α. Отклонение (если оно существует) - это минимальное значение α, для которого это верно.

Не каждый позет имеет отклонение. Следующие условия для poset эквивалентны:

• poset имеет отклонение
• противоположное poset имеет отклонение
• poset не содержит подмножества порядок-изоморфен рациональным числам (с их стандартным числовым порядком)

У набора положительных целых чисел отклонение 0: каждая нисходящая цепочка конечна, поэтому определяющим условием отклонения является истинно пусто. Однако его противоположный ч.у.м. имеет отклонение 1.

Пусть k - алгебраически замкнутое поле, и рассмотрим ч.у. идеалов кольца многочленов k [x] от одной переменной. Поскольку отклонение этого чугуна является размерностью Крулля кольца, мы знаем, что оно должно быть 1. Это соответствует тому факту, что k [x] не имеет условия нисходящей цепочки (так что отклонение больше нуля), но в любой нисходящей цепочке последовательные элементы находятся «близко друг к другу». Например, возьмем убывающую цепочку идеалов $(x)\; \supset \; (x\; 2)\; \supset \; (x\; 3)\; \supset ...\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\; \backslash \; supset\; (x\; ^\; \{2\})\; \backslash \; supset\; (x\; ^\; \{3\})\; \backslash \; supset...\}$- это бесконечная убывающая цепочка, но для любых двух следующих друг за другом членов, скажем, $(xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{n\})\}$и $(xn\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{n\; +\; 1\})\}$, между этими членами нет бесконечной убывающей цепочки идеалов k [x].

Расширяя этот пример дальше, рассмотрим кольцо многочленов от двух переменных, k [x, y], которое имеет размерность Крулля 2. Возьмем нисходящую цепочку $(x)\; \supset \; (x\; 2)\; \supset \; (x\; 3)\; \supset ...\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х)\; \backslash \; supset\; (x\; ^\; \{2\})\; \backslash \; supset\; (x\; ^\; \{3\})\; \backslash \; supset...\}$. Учитывая любые два соседних члена в этой цепочке, $(xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{n\})\}$и $(xn\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{n\; +\; 1\})\}$, существует бесконечная убывающая цепочка $(xny,\; xn\; +\; 1)\; \supset \; (xny\; 2,\; xn\; +\; 1)\; \supset \; (xny\; 3,\; xn\; +\; 1)\; \supset ...\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{n\}\; y,\; x\; ^\; \{n\; +\; 1\})\; \backslash \; supset\; (x\; ^\; \{n\}\; y\; ^\; \{2\},\; x\; ^\; \{n\; +\; 1\})\; \backslash \; supset\; (x\; ^\; \{n\}\; y\; ^\; \{3\},\; x\; ^\; \{n\; +\; 1\})\; \backslash \; supset...\}$. Таким образом, мы можем найти нисходящую цепочку, такую, что между любыми двумя соседними элементами существует еще одна бесконечная нисходящая цепочка - мы можем «вложить» нисходящие цепочки в два слоя глубиной. Расширяя это, легко видеть, что в кольце многочленов от n переменных можно вкладывать нисходящие цепочки на глубину n слоев и не более. По сути, это означает, что набор идеалов имеет отклонение n.

• McConnell, J.C.; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца, Graduate Studies in Mathematics, 30(Revised ed.), Providence, RI: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2169-5, MR 1811901