Уравнение Дегаспериса – Прочези

редактировать

В математическая физика, уравнение Дегаспериса – Прочези

ut - uxxt + 2 κ ux + 4 uux = 3 uxuxx + uuxxx {\ displaystyle \ displaystyle u_ {t} -u_ {xxt} +2 \ kappa u_ {x} + 4uu_ {x} = 3u_ {x} u_ {xx} + uu_ {xxx}}

\ displaystyle u_ {t} -u _ {{xxt}} + 2 \ kappa u_ {x} + 4uu_ {x} = 3u_ {x} u _ {{xx}} + uu _ {{xxx}}

является одним из двух точно решаемых уравнений в следующем семействе третьего- порядок, нелинейный, дисперсионные уравнения в частных производных :

ut - uxxt + 2 κ ux + (b + 1) uux = buxuxx + uuxxx, {\ displaystyle \ displaystyle u_ {t} -u_ { xxt} +2 \ kappa u_ {x} + (b + 1) uu_ {x} = bu_ {x} u_ {xx} + uu_ {xxx},}

\ displaystyle u_ { t} -u _ {{xxt}} + 2 \ kappa u_ {x} + (b + 1) uu_ {x} = bu_ {x} u _ {{xx}} + uu _ {{xxx}},

где $κ {\ displaystyle \ kapp a}$ $\ kappa$ и b - действительные параметры (b = 3 для уравнения Дегаспериса – Прочези). Оно было обнаружено Дегасперисом и Прочези в поисках интегрируемых уравнений, похожих по форме на уравнение Камасса – Холма, которое является другим интегрируемым уравнением в этом семействе (соответствует b = 2); То, что эти два уравнения являются единственными интегрируемыми случаями, было проверено с помощью множества различных тестов на интегрируемость. Хотя уравнение Дегаспериса – Прочези было обнаружено исключительно благодаря своим математическим свойствам (с $κ>0 {\ displaystyle \ kappa>0}$ $\kappa>0$ ), как было позже выяснено, играет аналогичную роль в теории волны воды, что и Уравнение Камасса – Холма.

Содержание

1 Солитонные решения
2 Разрывные решения
3 Примечания
4 Ссылки
5 Дополнительная литература

Солитонные решения

Среди решениями уравнения Дегаспериса – Прочези (в частном случае $κ = 0 {\ displaystyle \ kappa = 0}$ $\ kappa = 0$ ) являются так называемые решения multipeakon, которые являются функциями формы

u (x, t) знак равно ∑ я знак равно 1 nmi (t) e - | x - xi (t) | {\ displaystyle \ displaystyle u (x, t) = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} (t) e ^ {- | x-x_ {i} (t) |}}

\ displaystyle u (x, t) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} m_ {i} (t) e ^ {{- | x-x_ {i} (t) |}}

где функции $mi {\ displaystyle m_ {i}}$ $m_ {i}$ и $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ удовлетворяют

x ˙ i = ∑ j = 1 n m j e - | х я - х j |, m ˙ i = 2 m i ∑ j = 1 n m j sign ⁡ (x i - x j) e - | х я - х j |. {\ displaystyle {\ dot {x}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} e ^ {- | x_ {i} -x_ {j} |}, \ qquad {\ dot {m}} _ {i} = 2m_ {i} \ sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} \, \ operatorname {sgn} {(x_ {i} -x_ {j})} e ^ {- | x_ {i} -x_ {j} |}.}

{\ dot {x }} _ {i} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} m_ {j} e ^ {{- | x_ {i} -x_ {j} |}}, \ qquad {\ dot { m}} _ {i} = 2m_ {i} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} m_ {j} \, \ operatorname {sgn} {(x_ {i} -x_ {j})} e ^ {{- | x_ {i} -x_ {j} |}}.

Эти ОДУ могут быть явно решены в терминах элементарных функций, используя обратные спектральные методы.

Когда $κ>0 {\ displaystyle \ kappa>0}$ $\kappa>0$ солитонные решения уравнения Дегаспериса – Процесси гладкие; они сходятся к пикам в пределе как $κ {\ displaystyle \ displaystyle$ $\ kappa$ стремится к нулю.

Разрывные решения

Уравнение Дегаспериса – Прочези (с $κ = 0 {\ displaystyle \ kappa = 0}$ $\ kappa = 0$ ) формально эквивалентен (нелокальному) гиперболическому закону сохранения

∂ tu + ∂ x [u 2 2 + G 2 ∗ 3 u 2 2] = 0, {\ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} \ left [{\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {G} {2}} * {\ frac {3u ^ {2 }} {2}} \ right] = 0,}

\ partial _ {t} u + \ partial _ {x} \ left [{ \ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {G} {2}} * {\ frac {3u ^ {2}} {2}} \ right] = 0,

где $G (x) = exp ⁡ (- | х |) {\ displaystyle G (x) = \ exp (- | x |)}$ $G (x) = \ exp (- | x |)$ , а звездочка обозначает свертку относительно x. В этой формулировке он допускает слабые решения с очень низкой степенью регулярности, даже разрывные (ударные волны ). Напротив, соответствующая формулировка уравнения Камассы – Холма содержит свертку, включающую как $u 2 {\ displaystyle u ^ {2}}$ $u ^ {2}$ , так и $ux 2 {\ displaystyle u_ {x} ^ {2}}$ $u_ {x} ^ {2}$ , что имеет смысл, только если u лежит в пространстве Соболева $H 1 = W 1, 2 {\ displaystyle H ^ {1} = W ^ {1,2}}$ $ЧАС ^ {1} = W ^ {{1,2}}$ относительно x. По теореме вложения Соболева это, в частности, означает, что слабые решения уравнения Камассы – Холма должны быть непрерывными по x.

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература