Суженная кривая

редактировать

Синяя кривая точек, эффективных по Парето, в точках касания кривых безразличия в поле Эджворта. Если первоначальное распределение двух товаров находится в точке, отличной от этого локуса, то два человека могут торговать до точки на эффективном локусе в пределах линзы, образованной кривыми безразличия, на которых они изначально находились. Набор всех этих эффективных точек, до которых можно было бы торговать, и есть кривая контракта.. На приведенном ниже графике начальные способности двух людей находятся в точке X, на кривой безразличия Кельвина K 1 и кривой безразличия Джейн J 1. Оттуда они могли согласиться на взаимовыгодную торговлю в любую точку линзы, образованной этими кривыми безразличия. Но единственные точки, из которых не существует взаимовыгодной торговли, - это точки соприкосновения между кривыми безразличия двух людей, например точка E. Кривая контракта - это совокупность этих касаний кривых безразличия внутри линзы - это кривая, идущая вверх. вправо и проходит через точку E.

В микроэкономике кривая контрактов - это набор точек, представляющих окончательное распределение двух товаров между двумя людьми, которое могло произойти в результате взаимовыгодной торговли между этими людьми с учетом их первоначального распределения товаров. Все точки в этом локусе являются эффективными по Парето распределениями, что означает, что из любой из этих точек нет перераспределения, которое могло бы сделать одного из людей более удовлетворенным его или ее распределением, но не сделало бы другого менее удовлетворенным.. Контрактная кривая - это подмножество точек, эффективных по Парето, которые могут быть достигнуты при торговле из первоначальных запасов людей двумя товарами. Он изображен на приведенной здесь диаграмме блока Эджворта, на которой распределение каждого человека измеряется по вертикали для одного товара и по горизонтали для другого товара из источника этого лица (точка нулевого распределения обоих товаров); происхождение одного человека - это нижний левый угол прямоугольника Эджворта, а происхождение другого человека - верхний правый угол поля. Первоначальные ресурсы людей (начальные распределения двух благ) представлены точкой на диаграмме; двое людей будут торговать друг с другом товарами до тех пор, пока взаимовыгодные сделки не прекратятся. Набор точек, в которых они теоретически могут остановиться, - это точки на кривой контракта. Однако некоторые авторы идентифицируют кривую контракта как весь эффективный по Парето локус от одного источника к другому.

Любое вальрасовское равновесие лежит на контрактной кривой. Как и все точки, которые являются эффективными по Парето, каждая точка на кривой контракта является точкой соприкосновения между кривой безразличия одного человека и кривой безразличия другого человека. Таким образом, на кривой контракта предельная норма замещения одинакова для обоих людей.

Содержание

1 Пример
2 Математическое объяснение
3 См. Также
4 Ссылки

Пример

Предположим, что существует экономика с двумя агентами, Октавио и Эбби, которые потребляют два товара X и Y, из которых есть фиксированные запасы, как показано на приведенной выше диаграмме Эджворта. Кроме того, предположим, что между Октавио и Эбби начальное распределение (снабжение) благами, и пусть каждый из них имеет нормально структурированные (выпуклые) предпочтения, представленные кривыми безразличия, которые выпуклые по отношению к соответствующему происхождению людей. Если первоначальное распределение не находится в точке соприкосновения между кривой безразличия Октавио и кривой безразличия Эбби, тогда это первоначальное распределение должно быть в точке, где кривая безразличия Октавио пересекает кривую безразличия Октавио. Эти две кривые безразличия образуют форму линзы с начальным расположением в одном из двух углов линзы. Октавио и Эбби предпочтут совершать взаимовыгодные сделки - то есть они будут торговать до точки, которая находится на лучшей (более удаленной от начала) кривой безразличия для обоих. Такая точка будет внутри линзы, и скорость обмена одного товара на другой будет находиться между предельной скоростью замещения Октавио и Эбби. Поскольку сделки всегда предоставляют каждому человеку больше одного товара и меньше другого, торговля приводит к движению вверх и влево или вниз и вправо на диаграмме.

Два человека будут продолжать торговать до тех пор, пока каждый из них предельная норма замещения (абсолютное значение наклона кривой безразличия человека в этой точке) отличается от такового другого. лицо в текущем распределении (в этом случае будет взаимоприемлемое соотношение торговли одним товаром для другого между различными предельными ставками замещения). В тот момент, когда предельная норма замещения Октавио равна предельной норме замещения Эбби, взаимовыгодный обмен невозможен. Эта точка называется эффективным равновесием по Парето. В поле Эджворта это точка, в которой кривая безразличия Октавио касается кривой безразличия Эбби, и находится внутри линзы, образованной их начальными выделениями.

Таким образом, кривая сужения, набор точек, в которых могли бы оказаться Октавио и Эбби, является частью эффективного по Парето локуса, который находится внутри линзы, образованной начальным распределением. Анализ не может сказать, в какой конкретной точке контрактной кривой они окажутся - это зависит от навыков ведения переговоров между двумя людьми.

Математическое объяснение

В случае двух товаров и двух лиц кривую контракта можно найти следующим образом. Здесь $x 2 1 {\ displaystyle x_ {2} ^ {1}}$ $x_{{2}}^{{1}}$ относится к окончательному количеству товара 2, выделенному лицу 1 и т. Д., $u 1 {\ displaystyle u ^ {1}}$ $u ^ {1 }$ и $u 2 {\ displaystyle u ^ {2}}$ $u ^ {2}$ относятся к последним уровням полезности, испытываемой человеком 1 и человеком 2 соответственно, $u 0 2 {\ displaystyle u_ {0} ^ {2}}$ $u _ {{0}} ^ { {2}}$ относится к уровню полезности, которую человек 2 получил бы от первоначального распределения без торговли вообще, а $ω 1 tot { \ displaystyle \ omega _ {1} ^ {tot}}$ $\ omega _ {{1}} ^ {{tot}}$ и $ω 2 tot {\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {tot}}$ $\ omega _ {{2}} ^ {{tot}}$ относятся к фиксированным общее количество имеющихся товаров 1 и 2 соответственно.

макс. X 1 1, x 2 1, x 1 2, x 2 2 u 1 (x 1 1, x 2 1) {\ displaystyle \ max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1})}

\ max _ {{x _ {{1}} ^ {{1}}, x _ {{2}} ^ {{1}}, x _ {{1}} ^ {{ 2}}, x _ {{2}} ^ {{2}}}} u ^ {1} (x _ {{1}} ^ {{1}}, x _ {{2}} ^ {{1}})

при условии:

x 1 1 + x 1 2 ≤ ω 1 tot {\ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} \ leq \ omega _ {1} ^ {tot} }

x_ {{1}} ^ {{1}} + x _ {{1}} ^ {{2}} \ leq \ omega _ {{1}} ^ {{tot}}

x 2 1 + x 2 2 ≤ ω 2 tot {\ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} \ leq \ omega _ {2} ^ {tot}}

x _ {{2}} ^ {{1}} + x _ {{2}} ^ {{2}} \ leq \ omega _ {{2}} ^ {{tot}}

U 2 (Икс 1 2, Икс 2 2) ≥ u 0 2 {\ Displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}) \ geq u_ {0} ^ {2}}

u ^ {2} (x _ {{1}} ^ {{2}}, x _ {{2}} ^ {{2}}) \ geq u _ {{0}} ^ {{2}}

В этой задаче оптимизации говорится, что товары должны быть распределены между двумя людьми таким образом, чтобы на двоих вместе взятых распределялось не более доступного количества каждого товара, а полезность первого лица была быть как можно более высоким, делая полезность второго человека не ниже, чем при первоначальном распределении (чтобы второе лицо не отказывалось торговать от первоначального распределения до найденной точки); эта формулировка задачи находит на линзе точку, эффективную по Парето, как можно дальше от места происхождения человека 1. Это точка, которая была бы достигнута, если бы у человека 1 была вся сила на переговорах. (Фактически, чтобы создать хотя бы небольшой стимул для человека 2 согласиться торговать до указанной точки, точка должна быть немного внутри линзы.)

Чтобы проследить всю контрактной кривой, указанная выше задача оптимизации может быть изменена следующим образом. Максимизируйте средневзвешенное значение полезностей людей 1 и 2, с весами b и 1 - b, при условии, что распределение каждого товара не превышает его предложение, и с учетом ограничений, согласно которым полезности обоих людей должны быть не менее их полезности при начальных запасах:

max x 1 1, x 2 1, x 1 2, x 2 2 b ⋅ u 1 (x 1 1, x 2 1) + (1 - b) ⋅ u 2 (x 1 2, x 2 2) {\ displaystyle \ max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} b \ cdot u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) + (1-b) \ cdot u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2})}

\ max _ {{x _ {{1}} ^ {{1}}, x _ {{2}} ^ {{1}}, x _ {{1}} ^ {{2}}, x _ {{2}} ^ {{2}}}} b \ cdot u ^ {1} (x _ {{1}} ^ {{1}}, x _ {{2}} ^ {{1}}) + (1-b) \ cdot u ^ {2} (x _ {{1}} ^ {{2}}, x _ {{2}} ^ {{2}})

при условии:

x 1 1 + x 1 2 ≤ ω 1 tot {\ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} \ Leq \ omega _ {1} ^ {tot}}

x_ {{1}} ^ {{1}} + x _ {{1}} ^ {{2}} \ leq \ omega _ {{1}} ^ {{tot}}

x 2 1 + x 2 2 ≤ ω 2 tot {\ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} \ leq \ омега _ {2} ^ {tot}}

x _ {{2}} ^ {{1}} + x _ {{2}} ^ {{2}} \ leq \ omega _ {{2}} ^ {{tot}}

u 1 (x 1 1, x 2 1) ≥ u 0 1 {\ displaystyle u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) \ geq u_ {0} ^ {1}}

u ^ { 1} (x _ {{1}} ^ {{1}}, x _ {{2}} ^ {{1}}) \ geq u _ {{0}} ^ {{1}}

u 2 (x 1 2, x 2 2) ≥ u 0 2 {\ displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2 }, x_ {2} ^ {2}) \ geq u_ {0} ^ {2}}

u ^ {2} (x _ {{1}} ^ {{2}}, x _ {{2}} ^ {{2}}) \ geq u _ {{0}} ^ {{2}}

где $u 1 {\ displaystyle u ^ {1}}$ $u ^ {1 }$ - служебная программа, человек 1 будет опыт в отсутствии торговли вдали от начального капитала. Изменяя весовой параметр b, можно проследить всю кривую контракта: если b = 1, проблема такая же, как и в предыдущей задаче, и она определяет эффективную точку на одном крае линзы, образованную кривыми безразличия исходной эндаумент; если b = 0, весь вес приходится на полезность человека 2, а не человека 1, и поэтому оптимизация определяет эффективную точку на другом крае линзы. Поскольку b плавно изменяется между этими двумя крайними значениями, все промежуточные точки на кривой контракта прослеживаются.

Обратите внимание, что вышеупомянутые оптимизации - это не те оптимизации, в которых эти два человека фактически участвовали бы, явно или неявно. Вместо этого эти оптимизации - просто способ для экономиста определить точки на кривой контракта.

См. Также

Ссылки

Мас-Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D.; И Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-510268-1